1、導數(shù)的計算【學習目標】 1. 牢記幾個常用函數(shù)的導數(shù)公式，并掌握其推導過程。2. 熟記八個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，并能準確運用。3. 能熟練運用四則運算的求導法則， 4. 理解復合函數(shù)的結構規(guī)律，掌握求復合函數(shù)的求導法則：“由外及內，層層求導”【要點梳理】知識點一：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（1）（C為常數(shù)），（2）（n為有理數(shù)），（3），（4），（5），（6），（7），（8）， 。要點詮釋：1常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0，即C=0（C為常數(shù)）其幾何意義是曲線（C為常數(shù)）在任意點處的切線平行于x軸 2有理數(shù)冪函數(shù)的導數(shù)等于冪指數(shù)n與自變量的（n1）次冪的乘積，即（nQ）特別地，。 3正弦函數(shù)的導數(shù)等于余弦函

2、數(shù)，即（sin x）=cos x 4余弦函數(shù)的導數(shù)等于負的正弦函數(shù)，即（cos x）=sin x5指數(shù)函數(shù)的導數(shù)：，6對數(shù)函數(shù)的導數(shù)：，有時也把 記作： 以上常見函數(shù)的求導公式不需要證明，只需記住公式即可 知識點二：函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)運算法則：（1）和差的導數(shù)：（2）積的導數(shù)：（3）商的導數(shù)：（）要點詮釋： 1. 上述法則也可以簡記為： （）和（或差）的導數(shù)：， 推廣： （）積的導數(shù)：， 特別地：（c為常數(shù)） （）商的導數(shù)：， 兩函數(shù)商的求導法則的特例 ， 當時， 這是一個函數(shù)倒數(shù)的求導法則 2兩函數(shù)積與商求導公式的說明（1）類比：，（v0），注意差異，加以區(qū)分 （2）注意：且（v0）

3、 3求導運算的技巧 在求導數(shù)中，有些函數(shù)雖然表面形式上為函數(shù)的商或積，但在求導前利用代數(shù)或三角恒等變形可將函數(shù)先化簡（可能化去了商或積），然后進行求導，可避免使用積、商的求導法則，減少運算量知識點三：復合函數(shù)的求導法則 1復合函數(shù)的概念 對于函數(shù)，令，則是中間變量u的函數(shù)，是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)是自變量x的復合函數(shù) 要點詮釋： 常把稱為“內層”， 稱為“外層” 。2復合函數(shù)的導數(shù) 設函數(shù)在點x處可導，函數(shù)在點x的對應點u處也可導，則復合函數(shù)在點x處可導，并且，或寫作3掌握復合函數(shù)的求導方法 （1）分層：將復合函數(shù)分出內層、外層。（2）各層求導：對內層，外層分別求導。得到（3）求積并回代：求出

4、兩導數(shù)的積：，然后將，即可得到 的導數(shù)。要點詮釋： 1. 整個過程可簡記為分層求導回代，熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復合，可以相應地多次用中間變量。2. 選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關鍵。求導時需要記住中間變量，逐層求導，不遺漏。求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)。【典型例題】類型一：求簡單初等函數(shù)的導數(shù)例1. 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1) (2) (3)（4）（5）【解析】(1) (x3)=3x31=3x2； (2) ()=(x2)=2x21=2x3(3) （4）；（5）；【點評】（1）用導數(shù)的定義求導是求導數(shù)的基本方法，但運算較繁。利用常用函數(shù)的導數(shù)公式，可以簡化求導過程，降低運

5、算難度。（2）準確記憶公式。（3）根式、分式求導時，先將根式、分式轉化為冪的形式。舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y = (2)y = （3）y=2x33x2+5x4 （4）； 【答案】 (1) y=()=(x3)=3x31=3x4(2（3）（4），.類型二：求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)例2. 求下列函數(shù)導數(shù)： (1) y3x2xcosx； (2)y； (3)ylgxex；（4）y=tanx.【解析】 (1)y6xcosxxsinx.(2)y.(3)y(lgx)(ex)ex.(4)=tanx+.【點評】（1）熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和靈活運用導數(shù)的四則運算法則，是求導函數(shù)的前提。（

6、2）先化簡再求導，是化難為易，化繁為簡的基本原則和策略。舉一反三：【變式1】函數(shù)在處的導數(shù)等于( )A1 B2 C3 D4【答案】D法一： .法二：.【變式2】 求下列各函數(shù)的導函數(shù)（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。 （2）y=x2sinx; （3）y=【答案】（1）y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11。（2）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx（3）=【變式3】求下列函數(shù)的導數(shù).（1） y （2 x25 x 1）ex； （2）；（3） y 【答案】（1） y(2 x25 x 1)e x (2 x25 x 1)

7、(e x )（4 x 5）e x （2 x 25 x 1）e x （2x 2x 4）ex（2），.（3）y(sin x x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x)(cos x x sin x)(cos x cos x x sin x) (cos x x sin x)(sin x x cos x) (x cos x)類型三：求復合函數(shù)的導數(shù)例3求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）； （2）；（3）； 【解析】 （1）設=1-3x，則 。 （2）設，y=cos，則 。（3）設【點評】 把一部分量或式子暫時當作一個整體，這個整體就是中間變量。求導數(shù)時需要記住中間變量，注意逐層求

8、導，不能遺漏。求導數(shù)后，要把中間變量轉換成自變量的函數(shù)。舉一反三：【變式】 求下列函數(shù)導數(shù). （1）； （2）； （3）.【答案】（1）， （2），.（3），.例4 求下列函數(shù)導數(shù). (1)； （2）； （3）【解析】 (1) 令,（2） 。（3）設，=sinv，則 在熟練掌握復合函數(shù)求導以后，可省略中間步驟： 【點評】 （1）復合函數(shù)求導數(shù)的步驟是：分清復合關系，適當選定中間變量，正確分解復合關系（簡稱分解復合關系）；分層求導，弄清每一步中哪個變量對哪個變量求導數(shù)（簡稱分層求導）；將中間變量代回為自變量的函數(shù)。簡記為分解求導回代，當省加重中間步驟后，就沒有回代這一步了，即分解（復合關系）求導

9、（導數(shù)相乘）。（2）同一個問題可有多種不同的求導方法，若能化簡的式子，則先化簡，再求導。舉一反三：【變式1】 求y sin4x cos 4x的導數(shù)【答案】解法一 y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x解法二 y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【變式2】求下列函數(shù)導數(shù)：（1）； （2）求函數(shù)的導數(shù)（）。【答案】 （1）設u=12x2，則。 。（2）方法一： 。方法二：， 。類型四：利用導數(shù)求函數(shù)式中的參數(shù)例5 （1），若，則a的值為（ ）A B C D（2）設函數(shù)，若是奇函數(shù)，則=_。【解析】 （1），故選A。（2）由于，若是奇函數(shù)，則，即，所以。又因為，所以。【點評】 求函數(shù)的導數(shù)的基本方法是利用函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)運算法則以及復合函數(shù)的導數(shù)運算法則，轉化為常