1、第五節曲線與方程及軌跡問題一、選擇題1(2008年北京卷)若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解析：把P到直線x1向左平移一個單位，兩個距離就相等了，它就是拋物線的定義答案：D2一條線段AB的長為2，兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB的中點的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線的一分支C圓 D橢圓答案：C3已知|3，A、B分別在y軸和x軸上運動，O為原點，則動點P的軌跡方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21答案：A4已知兩定點F1(1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的

2、軌跡是() A橢圓 B雙曲線 C拋物線 D線段答案：D 5.設過點P的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點，點Q與點P關于y軸對稱，O為坐標原點，若2，且·1，則P點的軌跡方程是()A3x2y21B3x2y21C.x23y21D.x23y21解析：由2及A，B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上知，A(x,0)，B(0,3y)，(x,3y)，由點Q與點P關于y軸對稱知，Q(x，y)，(x，y)，則··(x，y)x23y21(x>0，y>0)答案：D二、填空題6已知兩定點A(2,0)、B(1,0)，如果動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌

3、跡方程為：_.解析：設動點P的坐標為P(x，y)，由|PA|2|PB|2平方整理得：x2y24x0，故點P的軌跡方程是x2y24x0.答案：x2y24x07一動圓與兩圓M：x2y21和N：x2y28x120都外切，則動圓圓心的軌跡為_答案：雙曲線4(x2)2y21的左支8過拋物線x24y的焦點F作直線l交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是_答案：x22y2三、解答題9.(2009年福建卷)已知直線x2y20經過橢圓C：1(ab0)的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS、BS與直線l：x分別交于M、N兩點(1)求橢圓C的方程；(2)求線

4、段MN的長度的最小值；(3)當線段MN的長度最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得TSB的面積為？若存在，確定點T的個數，若不存在，說明理由解析：(1)由已知得，橢圓C的左頂點為A(2,0)，上頂點為D(0,1)，a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)直線AS的斜率k顯然存在，且k0，故可設直線AS的方程為yk(x2)，從而M，由得(14k2)x216k2x16k240.設S(x1，y1)，則(2)·x1得x1，從而y1，即S，又B(2,0)，由得，N，故|MN|，又k0，|MN|2.當且僅當，即k時等號成立k時，線段MN的長度取最小值.(3)由(2)可知，當MN取最小值時，

5、k，此時BS的方程為xy20，S，|BS|，要使橢圓C上存在點T，使得TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l上設直線l：xyt0，則由，解得t或t.當t時，由得5x212x50，由于440，故l與橢圓C有兩個不同的支點；當t時，由得5x220x210，由于200，故直線l與橢圓沒有交點綜上所述，當線段MN的長度最小時，橢圓上僅存在兩個不同的點T，使TSB的面積為.10(2009年安徽卷)點P(x0，y0)在橢圓1(ab0)上，x0acos ，y0bsin ，0.直線l2與直線l1：xy1垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為，直線l2的傾斜角為

6、.(1)證明：點P是橢圓1與直線l1的唯一交點；(2)證明：tan ，tan ，tan 構成等比數列證明：(1)法一：由xy1得y(a2x0x)，代入橢圓1，得x2x0.將，代入上式，得x22acos ·xa2cos 2 0，從而xacos .因此，方程組有唯一解，即直線l1與橢圓有唯一交點P.法二：顯然P是橢圓與l1的交點，若Q(acos 1，bsin 1)，012是橢圓與l1的交點，代入l1的方程xy1，得cos cos 1sin sin 11，即cos(1)1，1，故P與Q重合法三：在第一象限內，由1可得y，y0，橢圓在點P處的切線斜率ky(x0)，切線方程為y(xx0)y0，即1.因此，l1就是橢圓在點P處的切線根