1、 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一） 池州第六中學(xué) 王超教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)橢圓的范圍、對(duì)稱性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、離心率及頂點(diǎn).（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生了解并掌握橢圓的范圍.2使學(xué)生掌握橢圓的對(duì)稱性，明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心.3.使學(xué)生掌握橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)以及a、b、c的幾何意義，明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓的截距.4.使學(xué)生掌握離心率的定義及其幾何意義.教學(xué)重點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).（這是第一次用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)的）教學(xué)方法師生共同討論法.通過師生的共同討論研究，學(xué)生的親身實(shí)踐體驗(yàn)，使學(xué)生明確橢圓的幾何性質(zhì)的研究方法，加強(qiáng)對(duì)性質(zhì)

2、的理解，掌握橢圓的幾何性質(zhì).教學(xué)過程.課題導(dǎo)入師前面，我們研究討論橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（焦點(diǎn)在x軸上）或（焦點(diǎn)在y軸上）（板書）那么我們研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么實(shí)際作用呢？同學(xué)們知道，2008年的8月，中國(guó)為世界奉獻(xiàn)了一個(gè)空前盛況的奧運(yùn)會(huì)，一個(gè)多月后的9月25日，世界的目光再次投向中國(guó)，同學(xué)們知道是什么事嗎？（出示神七發(fā)射畫片并解說）：2008年9月25日21時(shí)，“神舟七號(hào)”載人飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多人多天飛行和宇航員太空行走等多項(xiàng)先進(jìn)技術(shù)，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階，請(qǐng)問： “神舟七號(hào)”載人飛船的運(yùn)行軌道是什么？對(duì)，是橢圓。據(jù)有關(guān)資料報(bào)道，飛船發(fā)射升空后，進(jìn)入的是以地球的地心為一個(gè)焦點(diǎn)，距

3、地球表面近地點(diǎn)高度約公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約公里的橢圓軌道。我們?cè)谇皫坠?jié)課剛剛學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)同學(xué)們回憶橢圓是標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？它們有幾種形式？問題1：我們前面剛剛學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同學(xué)們還記得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？它有幾種形式（板書）（焦點(diǎn)在軸上）（焦點(diǎn)在軸上）問題2：你想求出神七在宇宙中運(yùn)行的橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？.講授新課（板書標(biāo)題）橢圓的幾何性質(zhì)首先我們進(jìn)入本節(jié)課的第一個(gè)環(huán)節(jié)一、幾何性質(zhì)師我們不妨對(duì)焦點(diǎn)在x軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（板書）(ab0)進(jìn)行討論.在解析幾何里，我們常常是從兩個(gè)方面來研究曲線的幾何性質(zhì)：一是由曲線的圖像去“看”曲線的幾何特征（以形輔數(shù)），同時(shí)又由曲線的方程來“證”明

4、它（以數(shù)助形）。我們今天也用這種方法來研究橢圓的幾何性質(zhì)，1.范圍：師所謂范圍，就是指橢圓圖象上的所有的點(diǎn)在什么約束范圍內(nèi)，也就是說橢圓上所有的點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)應(yīng)該在哪個(gè)范圍內(nèi)取值。那么，你能從橢圓的圖形上看出橢圓上所有的點(diǎn)所在的范圍嗎？師請(qǐng)看，如果我們過橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)作兩條平行于y軸的直線，再過橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)作兩條平行于x的直線（出示幻燈片）。此時(shí)，你能說出橢圓的范圍嗎？生在一個(gè)矩形中師這兩組平行線所在的直線方程是多少？能從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中找出它來嗎？生方程中兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于1，所以，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）適合不等式：1, 1即：x2a2,y2b2|x|a,|y|b這說明橢圓位

5、于直線x=a,y=b所圍成的矩形里. 結(jié)論（板書）橢圓的范圍是-axa; -byb 師很好！請(qǐng)大家思考：對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究常常是根據(jù)函數(shù)的解析來討論的，那么我們能否從函數(shù)的思想出發(fā)，對(duì)橢圓的范圍進(jìn)行分析呢？生（師點(diǎn)撥、提示）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可化為兩個(gè)函數(shù)y=、y=-，對(duì)它們的定義域、值域分別進(jìn)行討論可得-axa,-byb,即橢圓位于直線x=a,y=b所圍成的矩形里.師將由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)與由橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)結(jié)合起來學(xué)習(xí)，有助于我們理解知識(shí)與知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，對(duì)我們的進(jìn)一步學(xué)習(xí)是大有益處的.2.對(duì)稱性：師你能從橢圓的圖形上看出橢圓的對(duì)稱性嗎？生關(guān)于軸、軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)

6、稱。師我們?cè)鯓佑蓹E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究橢圓的對(duì)稱性？想一想，我們前面在函數(shù)中是怎樣研究函數(shù)圖像的對(duì)稱性的？師在函數(shù)里，我們討論過對(duì)稱性，如果以如果以-x代x方程不變，那么曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，同理，以-y代y方程不變，那么曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，如果同時(shí)以-x代x，以-y代y方程不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.師我們來看橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以-x代x，或以-y代y或同時(shí)以-x代x,-y代y，方程怎樣改變？生沒有改變.師所以橢圓關(guān)于x軸、y軸及原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心.結(jié)論（板書）坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心

7、.3.頂點(diǎn)：師什么叫做橢圓的頂點(diǎn)？橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).（板書）師由剛才我們所學(xué)的第二條性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的對(duì)稱軸是哪個(gè)？生坐標(biāo)軸師那么標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓的頂點(diǎn)就在坐標(biāo)軸上。你能從橢圓的圖形上看出橢圓有幾個(gè)頂點(diǎn)？他們分別在什么地方？師（出示幻燈提示）橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，其中，在x軸有兩個(gè)頂點(diǎn)，我們把它命名為，在y軸有兩個(gè)頂點(diǎn)，我們把它命名為師想一想，怎樣由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)？（再提示：直線方程與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是怎樣求的？與y軸的坐標(biāo)又是怎樣求的？）生在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程里，令y=0，得可得A1（a,0）、A2(a,0)是橢圓在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，同理. 令x=0得y=b,

8、所以得到：B1（0,b）、B2（0,b）是橢圓在y軸的兩個(gè)頂點(diǎn)結(jié)論（板書）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A1(a,0)A2(-a，0)、B1（0，b）、B2（0，b）。師線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.它們的長(zhǎng)分別是2a和2b ,其中a和b分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).（板書）師通過以上性質(zhì)，我們就知道了在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程節(jié)課里我們接觸到的三個(gè)基本量：a、b、c的幾何意義是a、b、c分別是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距 師請(qǐng)觀察圖形，如果我們吧短軸的一個(gè)端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連接起來，則短軸端點(diǎn)、中心、焦點(diǎn)構(gòu)成一直角，顯然，這個(gè)直角的兩直角邊的長(zhǎng)分別是b和c，那么，它的斜邊隱私多長(zhǎng)呢？由橢圓的對(duì)稱性

9、可知，橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等，且等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，即|B1F1|=|B2F1|=|B1F2|=|B2F2|=a所以斜邊長(zhǎng)是a，在RtOB2F2中|B2F2|2-|OF2|2=|OB2|2即a2-c2= b2這就是在上節(jié)中令a2-c2=b2的幾何意義.我們把RtOB2F2叫做橢圓的特征三角形，請(qǐng)大家注意這個(gè)特征三角形，我們?cè)诤罄m(xù)內(nèi)容中還將研究它。師現(xiàn)在，我們來舉一個(gè)例子來說明橢圓的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性的作用。（出示幻燈）根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形（1） （2）（在學(xué)生思考后教師評(píng)講）第一步，作出坐標(biāo)軸，第二步找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，第三步，畫出范圍，第四步作出一象限的圖像（必要時(shí)還可以取x等于

10、1、2、3、4，求出y的值來描點(diǎn)）最后根據(jù)對(duì)稱性畫出其他幾個(gè)象限的圖像，用同樣方法可作出（2）的圖像。師從以上兩個(gè)橢圓的形狀看，同為橢圓為什么有些橢圓“圓”些，有些橢圓“扁”些？是什么因素影響了橢圓的扁圓程度？我一起來研究橢圓是性質(zhì)4離心率。4.離心率師橢圓的離心率是怎樣定義的？生橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比=e,叫做橢圓的離心率.（板書）師橢圓離心率e的范圍是怎樣的？生因?yàn)閍c0,所以0e1結(jié)論（板書）離心率，（0e1）師e既然在（0，1）變化，e的變化又對(duì)橢圓有什么影響呢？師我們不妨用兩個(gè)例子來看一看。對(duì)于（1），橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距a、b、c分別等于多少？離心率呢？生a=5, b=4,

11、 c=3；離心率師（2）呢？生a=5, b=2, c=；離心率師兩個(gè)的離心率那股大？生第二個(gè)大于第一個(gè)師從橢圓的圖形上看，哪個(gè)橢圓更扁些？哪個(gè)橢圓更圓些？生第二個(gè)扁些，第一個(gè)圓些。師你能得出什么結(jié)論來？生離心率越大橢圓就越扁，離心率越小，橢圓越圓。師我們可以再用一個(gè)動(dòng)畫展示一下橢圓的扁圓程度受離心率影響的情況。師（4）e與a,b的關(guān)系:師到此為止，我們已學(xué)習(xí)了橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)及離心率，我們把這些性質(zhì)總結(jié)一下 師生共同完成下表標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍-axa,-b yb-b xb, -aya對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)（a,0）(0,b)(b,0),(0,a)離心率師（指出）以上我們是

12、對(duì)焦點(diǎn)在x 軸上的標(biāo)準(zhǔn)橢圓的性質(zhì)的總結(jié)，那么，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓呢？請(qǐng)同學(xué)們自己完成表的右半部分師下面我們來看看橢圓的這些幾何性質(zhì)的應(yīng)用。二、應(yīng)用（板書）師下面同學(xué)們自己來看例1 求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)。師根據(jù)橢圓方程求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先應(yīng)該做些什么？生首先應(yīng)將橢圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.師然后呢？師（歸納）解決這類問題的關(guān)鍵是1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求出橢圓的基本量a、b、c、e等；2，判斷焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置。師（總結(jié)）解決這類問題的一般步驟是：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a、b、c、知，判斷焦點(diǎn)位置，回答所提問題。師想一想，為什么要

13、判斷焦點(diǎn)位置？哪些問題與焦點(diǎn)位置有關(guān)？哪些問題與焦點(diǎn)位置無關(guān)？解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程于是因此，橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是,四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是學(xué)生練習(xí)1師（提出例2）回到我們本節(jié)課開頭提出的問題如圖，神舟七號(hào)宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）F2 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面200km，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面346 km，并且F2、A、B在同一直線上，地球半徑約為6371 km.求飛船的軌道方程（精確到1 km）。（解題過程略）學(xué)生練習(xí)2 如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和的