1、初等數學研究課程教學大綱課程名稱初等數學研究/The Research on Elementary Mathematics課程編碼10011500310課程類型專業選修課課程性質專業主干課適用范圍數學與應用數學（教師教育）專業學分數3先修課程心理學基礎、高等數學等課程學時數54實驗/實踐學時無課外學時無考核方式考試 一、教學大綱的說明（一）課程的地位、作用和任務初等數學研究為第四學期的課程，是為數學系數學與應用數學（教師教育）專業本科生開設的專業選修課，是師范院校教學計劃的重要組成部分，也是整個師范教育結構體系的重要支柱，學生通過學習和訓練，對中小學數學教學內容有一個較全面的高觀點的認識，掌握

2、作為一名數學教師應掌握的專業知識和基本解題技能，打下扎實基礎。（二）課程教學的目的和要求本課程的教學目的是使學員掌握中小學數學教學所需的初等數學的基礎理論、基本知識和基本技能；了解初等數學的內容和知識結構；在數學思想上得到啟發，在數學方法上得到初步培訓，為教好初等數學打下較堅實的基礎。本課程分為初等代數和初等幾何兩部分，其基本要求是：掌握：數系擴展的理論、解析式分類及其恒等變形理論、掌握用初等方法討論函數、方程的基本概念及其解法、不等式的基本性質及其證明不等式的常用方法、利用初等幾何變換解題、軌跡命題的證明方法、作圖的基本知識和常用的方法。 理解：代數延拓原理、方程的同解理論、解不等式的概念和

3、理論、合同變換、位似變換和相似變換等概念。了解：數系擴展的形式及其所遵循的原則、函數概念的發展與幾種定義方式、中學幾何的邏輯結構。（三）課程與其他課程的聯系本課程涉及到部分高等數學知識，因而在開設本課程之前需為學生開設預備課程：數學分析、高等代數、解析幾何。（四）教材與教學參考書 教材：華南師范大學王林全、林國泰教授主編，初等代數研究教程初等幾何研究教程，暨南大學出版社2004年6月教學參考書：1、余元希等編著，初等代數研究，高等教育出版社，1988年2月2、王仁發編著，高觀點下的中學數學，高等教育出版社3、陳計編，初等數學前沿，江蘇教育出版社二、課程的教學內容、重點和難點第一部分 初等代數第

4、一章 緒 論 內容：代數學發展概述、作為教學科目的中學代數第二章 數 系內容：數的概念的擴展、自然數集基數理論、序數理論、整數環、有理數域、近似計算初步、實數域、無理數的引入、實數的概念及其大小比較、實數的運算、實數集的性質、復數、復數的代數形式、復數的幾何表示、復數的三角形式、復數的運算、復數集的性質。重點：自然數的基數理論及整數環的構造、有理數大小比較的法則、有理數的運算法則和有理數集的性質。難點：了解數系擴展的形式及其所遵循的原則；確切理解無理數、實數概念、掌握實數大小比較的法則、實數的運算和實數集的性質；確切理解復數概念，掌握復數的兩種表示形式、復數的運算和復數集的性質。 第三章 解析

5、式內容：解析式及其分類、多項式的基本概念、多項式的恒等、待定系數法、多項式的因式分解方法、分式的基本概念、分式恒等的充要條件、分式的基本性質、代數延拓原理、部分分式、根式的運算法則和變形、復合二次根式、共軛根式、指數式與對數式、指數概念的擴展、對數及其性質、常用對數、三角式的概念、三角式的恒等變形、反三角式的概念、三角式的反三角運算、反三角式的恒等變形。重點：確切理解多項式概念、掌握待定系數法和多項式的因式分解方法、根式的運算法則和變形難點：代數延拓原理第四章 初等函數內容：函數概念的發展、函數的三種定義方式、函數的相等、函數的幾種表示方式、函數的一般定義；用初等方法討論函數：函數的定義域與值

6、域、函數的有界性、單調性、奇偶性和周期性；基本初等函數。重點：了解函數概念的發展與幾種定義方式、掌握用初等方法討論函數。難點：掌握基本初等函數的性質和圖象。第五章 方 程內容：方程的基本概念、方程的同解性；一元代數方程（特殊類型）的解法：方程的變換、一元三次方程的解法、倒數方程的解法、二項方程的解法、解含有參數的方程、二元一次不定方程；初等超越方程：指數方程、對數方程、三角方程、反三角方程；方程組的基本概念、方程組的同解性、方程組的解法（特殊類型方程組的解法舉例）。重點：確切理解方程（組）的基本概念、會解一些特殊類型的方程（組）。難點：掌握方程（組）的同解性。第六章 不等式內容：不等式及其基本

7、性質；證明不等式的常用方法：分析法、綜合法、比較法、反證法、傳遞法、數學歸納法、利用已知不等式；幾個著名不等式；解不等式（組）：同解不等式、一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）、一元高次不等式、一元分式不等式、一元無理不等式、絕對值不等式、指數不等式 、對數不等式、三角不等式；不等式的應用。重點：掌握不等式的基本性質、掌握證明不等式的常用方法、熟悉幾個著名的不等式。難點：確切理解解不等式的概念和理論、運用不等式求函數的最大（小）值。第七章 排列與組合*內容：加法原理與乘法原理、相異元素的不重復排列、相異元素的重復排列、相異元素的環狀排列、不相異元素的全排列、相異元素的不重復組合、組合的性

8、質、組合恒等式、相異元素的重復組合、組合公式在多項式定理中的應用。重點：掌握加法原理和乘法原理、掌握排列與組合的概念及公式推導。 難點：掌握幾個組合恒等式及其在多項式定理中的應用。第二部分 初等幾何第一章 緒 言內容：初等幾何研究的對象和目的、中學幾何的邏輯結構。第二章 幾何的證明內容：證度量關系：證兩線段或兩角相等、和差倍分與不等、證成比例線段間的關系、證定值問題；證位置關系：證線段的垂直與平行、證共點線與線共點、證共點圓與圓共重點：熟悉常用的證題方法和技巧。 第三章 幾何量的計算內容：線段度量的概念、勾股定理推廣、斯蒂瓦爾特定理及其應用、面積概念、面積的計算、解三角形。重點：會面積的計算和

9、解三角形。 難點：掌握勾股定理推廣和斯蒂瓦爾特定理及其應用。 第四章 初等幾何變換內容：合同變換及其間的關系、位似變換和相似變換、初等變換的應用（解題）。重點：能利用初等幾何變換解題。 難點：理解合同變換、位似變換和相似變換等概念。第五章 幾何軌跡內容：軌跡的概念與證明方法、軌跡命題的類型、常用軌跡命題及其證明、軌跡的探求。重點：確切理解軌跡的概念、掌握軌跡命題的證明方法、掌握常用的幾個軌跡命題。 難點：軌跡的探求。第六章 幾何作圖*內容：作圖的基本知識：尺規作圖與作圖公法、作圖成法；常見的作圖方法；尺規作圖不可能問題簡介。重點：掌握作圖的基本知識和常用的方法。 難點：尺規作圖與作圖公法、作圖成法。第七章 立體幾何*內容：直線與平面的各種位置關系、空間作圖公法、簡單作圖題、三面角及其性質、三面角的相等、多面角及其性質、四面體的一些性質、凸多面體的歐拉定理、正多面體、截面圖的畫法、體積概念、擬柱體體積公式、體積計算。重點：掌握空間直線與平面的各種位置關系。難點：掌握三面角、四面體的性質。備注：* 部分為學生自學章節二、 學時分配教學內容各教學環節學時分配備注