1、一、函數列及其一一、函數列及其一致收斂性致收斂性 二、函數項級數及二、函數項級數及其一致收其一致收 斂性斂性三、函數項級數的三、函數項級數的一致收斂一致收斂 判別法判別法 對于一般對于一般項是函數的無窮項是函數的無窮級數，其收斂性級數，其收斂性要比數項級數復要比數項級數復雜得多，特別是雜得多，特別是有關一致收斂的有關一致收斂的內容就更為豐富內容就更為豐富，它在理論和應，它在理論和應用上有著重要的用上有著重要的地位地位. .1 級數的收斂性數學分析 第十三章函數列與函數項級數*點擊以上標題可直接前往對應內容設設12,(1)nfff是一列定義在同一數集是一列定義在同一數集 E 上的函數上的函數,上

2、的函數列上的函數列. . ,1,2,.nnffn或或以以0 xE 代入代入 (1), 10200(),(),(),.(2)nfxfxfx1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法(1) 也可記為也可記為 可得數列可得數列 函數列及其一致收斂性后退 前進 目錄 退出稱為定義在稱為定義在 E E 0 x0 x如果數列如果數列(2)收斂收斂, 則稱函數則稱函數列列(1)在點在點收斂收斂, 稱稱 為函數列為函數列(1)的收斂點的收斂點. 列列(1)在點在點 發散發散. 0 x當函數列當函數列(1)在數集在數集 上每一上每一 DE 點都收斂時點都收斂時, 就

3、稱就稱(1)在數集在數集 D 上收斂上收斂. x( )nfx一一 點點 都有數列都有數列 的一個極限值與之相對應的一個極限值與之相對應 , 根據這個對應法則所確定的根據這個對應法則所確定的 D 上的函數上的函數, 稱為函數稱為函數 列列(1)的極限函數的極限函數. lim( )( ) ,nnfxf xxD1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法如果數列如果數列(2)發散發散, 則稱函數則稱函數 這時這時 D 上每上每 若將此極限函數記作若將此極限函數記作f, 則有則有或或( )( )() ,.nfxf xnxD 函數列極限的 定義N xD 對每一

4、固定的對每一固定的 , 任給正數任給正數 , 數數N , (注意注意: 一般說來一般說來N值與值與 和和 的值都有關的值都有關, x, x)表示三者之間的依賴關系表示三者之間的依賴關系) 所以有時也用所以有時也用N( 使當使當nN 時時, 總有總有 |( )( )|.nfxf x 使函數使函數列列nf收斂的全體收斂點集合收斂的全體收斂點集合, 稱為函數列稱為函數列 nf的的收斂域收斂域. 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法總存在總存在正正例例1 ( ),1,2,nnfxxn 設設為為定定義義在在( (- -) )上的上的 函數列函數列, 證

5、明它的收證明它的收斂域是斂域是( 1,1 , 且有極限函數且有極限函數 0,| 1,( )1,1.xf xx0(1),0 | 1,x 任任給給不不妨妨設設當當時時|( )( )| |,nnfxf xxln( ,),( ,)ln|NxnNxx 只只要要取取當當時時, ,|( )( )| |.nNnfxf xxx 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法由于由于 證證 就有就有01,xx當當和和時時|(0)(0)| 0nff ，|(1)(1)| 0.nff 所表示的函數所表示的函數. | 1|(),nxxn當當時時, ,有有又又1,1,1,1,對對應

6、應的的數數列列為為 顯然是發散的顯然是發散的. nx( 1,1 所以函所以函數列數列在區間在區間 外都是發散的外都是發散的. 故所討論故所討論的的函數列的收斂域是函數列的收斂域是 ( 1,1. 這就證明了這就證明了 在在( , 1 上收斂上收斂, nf11 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法對任何正整數對任何正整數 n , 都有都有1,x當時當時 且極限就是且極限就是(3)(3)式式例例2 sin(,)( ),nnxfxn 定定義義在在上上的的函函數數列列1,2,.n sin1,nxnn10,nN 故故對對任任給給的的只只要要就就有有sin0.

7、nxn , x由由于于對對任任何何實實數數都都有有所以函數所以函數列列sin(,),nx n 的的收收斂斂域域為為( )0.f x 極極限限函函數數為為1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法注注 對于函數列對于函數列, 僅停留在討論在哪些僅停留在討論在哪些點上收斂是遠遠點上收斂是遠遠1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法例如例如, , 能否由函數列每項的連續性、能否由函數列每項的連續性、可導性來判斷出可導性來判斷出重要的是要研究極限函數與函數列所具有的重要的是要研究極限函數與函數列所具有的解析性

8、質的關系解析性質的關系. . 極限函數的連續性和極限函數的連續性和可導性可導性; ; 必須對它在必須對它在 D D上上的收斂性的收斂性或極限函數的導數或積或極限函數的導數或積分是否分別是函數列每項導數或積分的極限分是否分別是函數列每項導數或積分的極限. .對這些更深刻問題的討論對這些更深刻問題的討論, ,提出更高的要求才行提出更高的要求才行. . 不夠的不夠的, , 定義1設設函函數數列列nff與與函函數數定定義義在在同同一一D數集數集 上上,N 若若對對任任給給的的正正數數總總存存在在某某一一正正整整數數nN,xD對對一一切切都都有有時時，|( )( )|nfxf x ，nfDf則則稱稱函函

9、數數列列在在上上一一致致收收斂斂于于, ,記記作作( )( )(),.nfxf x nxD1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法由定義看到由定義看到, 一致收斂就是對一致收斂就是對 D 上上任何一點任何一點, 使使當當 于極限函數的速度是于極限函數的速度是 “ “一致一致” ” 的的. . 這種一致性體現為這種一致性體現為: : 函數函數列趨列趨與與 相對應相對應的的 N 僅僅與與 有關有關, 而與而與x x在在D D上的取上的取值無關值無關, ,( ).N 因而把這個對所有因而把這個對所有 x 都適用的都適用的 N 寫作寫作 例例2 中的函數

10、列中的函數列 sinnxn 是一致收斂的是一致收斂的,1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法,x 正正數數不不論論(- ,+ )(- ,+ )因為對任意給因為對任意給定的定的取取上什么值上什么值 , N 1 1只只要要取取，,nN當時 恒有當時 恒有sin.nxn sin( )0nxf xn所所以以函函數數列列在在( (- - , ,+ + ) )上上一一致致收收斂斂于于. .顯然顯然, 若函數列若函數列 nf在在 D 上一致收斂上一致收斂, 則則必在必在 D 上上每一點每一點都都收斂收斂. 它在它在 D 上不一定一致收斂上不一定一致收斂. 反

11、之反之, , 在在 D D 上每一點都收斂的函數列上每一點都收斂的函數列, , 在在 D 上不一致收斂于上不一致收斂于 f 的正面陳述是的正面陳述是: nf函函數數列列存在某正數存在某正數0, 對任對任何正數何正數 N, 必定存在必定存在 0 xD和和00 xn與與的取值與的取值與 N 有關有關 ), ( 注意注意: 0nN正正整整數數使使得得1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法0000()().nfxf x (0,1)0.nx在在上上不不可可能能一一致致收收斂斂于于由例由例1 中知道中知道, 下面來證明這下面來證明這個結論個結論. 事實上事

12、實上 , 若取若取01,2,2N 對對任任何何正正整整數數10011(0, 1),NnNxN取取正正整整數數及及就有就有 001101.2nxN nff函函數數列列一一致致收收斂斂于于的的幾幾何何意意義義: :號大于號大于N 的的所所有有曲曲線線( )yf x 都都落落在在曲曲線線與與( )yf x 所所夾夾的的帶帶狀區域之內狀區域之內.( ) (),nyfxnN00,N , ,對對于于序序yOxba( )yf x ( )yf x ( )yf x ( )nyfx 圖圖 13-1 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法就是存在某個預預先給定的就是

13、存在某個預預先給定的 (0,1)nx函函數數列列在在區區間間上上不不一一致致收收斂斂1xyxO2x113x 不能全部落在由不能全部落在由 與與 y y 夾成的帶狀區域內夾成的帶狀區域內. . (1)b上上, 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法( 1), 總存在某條總存在某條曲線曲線 (),nyxnN從幾何意義從幾何意義上看上看nx所所以以在在0, b上是一致收上是一致收斂的斂的. y y 和和 所夾成的帶狀所夾成的帶狀nyx曲曲線線 就全部就全部落在落在ln(01),lnnb 其其中中只要只要 無論無論 N N 多么大多么大, ,只限于在區

14、間只限于在區間nx若函數列若函數列 0, b則容易看到則容易看到, , 區域內，區域內， 定理13.1（函數列一致收斂的柯西準則）函數函數列列nfD在數在數集集上一致收斂的充要條件是上一致收斂的充要條件是: 對任給正數對任給正數 , ,n mN時時 總存在正數總存在正數 N , 使當使當xD 對一切對一切, 都有都有 |( )( )|.(4)nmfxfx 即對即對證證 必要性必要性 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法存在正數存在正數N, 使得當使得當 nN時時, 任給任給0, 都有都有 |( )( )|.(5)2nfxf x ,n mN于是

15、當,由(5)得于是當,由(5)得|( )( )| |( )( )|( )( )|nmnmfxfxfxf xf xfx ( )( )(),nfxf xnxD設設,xD對一對一切切 .22 充分性充分性 若條件若條件 (4) 成立成立, 由數列收斂的柯西準則由數列收斂的柯西準則, 在在D上任一點都收斂上任一點都收斂, nf1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法 (4),nm現現固固定定式式中中的的讓讓x D對對一一切切都都有有|( )( )|.nfxf x 由定義由定義1知知, ( )( )(),.nfxf xnxD 定理13.1（函數列一致收斂的

16、柯西準則）函數列函數列nfD在數集在數集上一致收斂的充要條件是上一致收斂的充要條件是: 對任給正數對任給正數 , ,n mN 總存在正數總存在正數 N , 使當使當xD 對一切對一切, 都有都有 |( )( )|.(4)nmfxfx ,nN于于是是當當時時( ),.f xx D 記其極限函數為記其極限函數為 定理13.2（余項準則）根據一致收斂定義可推出下述定理根據一致收斂定義可推出下述定理:limsup|( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x則對任則對任 證證 必要性必要性 ( )( )(),.nfxf xnxD若若1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級

17、數的一致收斂性判別法nffD函數列函數列 在區間在區間 上一致收斂于上一致收斂于 的充分必要條件是的充分必要條件是: 由上確界的定義由上確界的定義, 對所有對所有nN, 也有也有sup|( )( )|.nx Dfxf x 這就得到了這就得到了(6)式式.有有 |( )( )|,.nfxf xxD 給的正數給的正數 , 存在不依賴于存在不依賴于 x 的正整數的正整數 N, nN當當時時, ,充分性充分性 由假設由假設, 對任給對任給0, 存在正整數存在正整數N, 使得使得 nN當當時時, ,有有sup|( )( )|.(7)nx Dfxf x ,xD因因為為對對一一切切總總有有|( )( )|

18、sup|( )( )|.nnx Dfxf xfxf x故由故由 (7) 式得式得( )( ),nfxf x 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法 定理13.2（余項準則）limsup|( )( )| 0.(6)nnx Dfxf x nffD函數列函數列 在區間在區間 上一致收斂于上一致收斂于 的充分必要條件是的充分必要條件是: .nfDf于于是是在在上上一一致致收收斂斂于于1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法注注 柯西準則的特點是不需要知道極限函數是什么柯西準則的特點是不需要知道極限函數是什

19、么, , 只是根據函數列本身的特性來判斷函數列是否一致只是根據函數列本身的特性來判斷函數列是否一致 收斂收斂，較為方便較為方便. . (,)sin1limsup0lim0,nnxnxnn sin(,),0().nxnn所所以以在在上上而使用余項準則需要知道而使用余項準則需要知道極限函數極限函數, , 但使但使用用如例如例2, 2, 由于由于 推論函數列函數列 在在 D上不一致收斂于上不一致收斂于 f 的充分必要條件是的充分必要條件是: nf存在存在 ,nxD|()()|nnnfxf x 使得使得 不收斂于不收斂于0.例例3 定義在定義在0,1上上的函數列的函數列2212,0,211( )22,

20、1,2,(8)210,1,nn xxnfxnn xxnnnxn(0)0,nf由由于于(0)f故故lim(0)0.nnf01,x當當時時1,nx只只要要就就有有( )0,nfx (0,1故故在在上上有有( )lim( )0.nnf xfx1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法1, 2, 3n 其其中中的圖的圖像如圖像如圖13-3 所示所示. (8)0,1于于是是在在上上的的極極限限函函數數( )0.f x為為0,11sup( )( )(),2nnxfxf xfnnn 所以函數列所以函數列 (8) 在在0,1上不一致收斂上不一致收斂.133 圖圖(

21、)f x11f2f3f12131614213xyO1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法又由于又由于例例4 討論函數例討論函數例222( )e,0,1n xnfxn xx 的一致的一致 收斂性收斂性. 解解 為了使用余項準則為了使用余項準則, 首先求出函數列的極限函數首先求出函數列的極限函數. 易見易見222( )lim( )lime0,0,1,n xnnnf xfxn xx 于是于是 222|( )(0)|e.n xnfxfn x 222en xn x 0,1容易驗證容易驗證 在在 上只有惟一的極大值點上只有惟一的極大值點 01,2xn 因此

22、為最大值點因此為最大值點. 12sup|( )( )|e2nnfxf x 根據余項準則知該函根據余項準則知該函數列在數列在0,1上不一致上不一致收斂收斂.1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法于于是是00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.511.522.5n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5圖圖13 4 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法 定義2注注 222( )en xnfxn x 不一致收斂是因為函數列余不一致收斂是因為函數列余 0 x 項的數值在

23、項的數值在 附近不能隨附近不能隨 n 的增大一的增大一致趨于零致趨于零 (見圖見圖13-4), ,1(0aa 222( )en xnfxn x 在該區間上一致收斂于零在該區間上一致收斂于零. 1), 0 1.nf因因此此在在， 上上內內閉閉一一致致收收斂斂nffI設設函函數數列列與與 定定義義在在區區間間 上上，1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法,a bI區區間間上上若若對對任任意意閉閉,nfa bf在在上上一一致致收收斂斂于于 ，.nfIf在在 上上內內閉閉一一致致收收斂斂于于則則稱稱因此對任何不含原點的區間因此對任何不含原點的區間( )

24、nuxE設設是是定定義義在在數數集集上上的的一一個個函函數數列列, ,表表達達式式12( )( )( ),(9)nu xuxuxxE1( )nnux簡記為或簡記為或( ).nux1( )( ),1,2,(10)nnkkSxuxxE n為函數項級數為函數項級數(9)的部分和函數列的部分和函數列.1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法函數項級數及其一致收斂性稱為定義在稱為定義在E上的函數項級數上的函數項級數, 稱稱0,xE若若數數項項級級數數10200()()()(11)nu xuxux0 x稱為稱為 (9)(9)的收的收斂點斂點. .收斂收斂,

25、, 0 x收斂收斂, , 則稱級數則稱級數(9)(9)在點在點1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法若級數若級數(11)(11)發散發散, , 則稱級數則稱級數(9)(9)在點在點0 x發散發散. . E E 的某個子集的某個子集 D D上每點都收斂上每點都收斂, , 則稱則稱 D D為級數為級數(9)(9)的的若級數若級數(9)(9)在在 則稱級數則稱級數(9)(9)在在D D上收斂上收斂. . 若若 D D 為級數為級數(9)(9)全體收斂點的集合全體收斂點的集合, ,級數級數(9)(9)在在 D D上每一點上每一點 x x 與其所對應的數

26、項級與其所對應的數項級收斂域收斂域. .數數(11)(11)的的和和( )S x構成一個構成一個定義在定義在 D D 上的函數上的函數, , 12( )( )( )( ) ,nu xuxuxS xxD即即lim( )( ),.nnSxS xxD(9)(9)的和函的和函數數, , 記作記作稱為級稱為級也就是說也就是說, , 函數項級數函數項級數(9)(9)的收斂性就是指它的部分和的收斂性就是指它的部分和函數列函數列(10)(10)的收斂性的收斂性. . 例例5 (,) 定定義義在在上上的的函函數數項項級級數數( (幾幾何何級級數數) )21,(12)nxxx1( ).1nnxSxx的的部部分分和

27、和函函數數為為( )lim( )nnS xSx1(12)( 1,1)( );1S xx所所以以幾幾何何級級數數在在收收斂斂于于|1,.x 當當時時 幾幾何何級級數數是是發發散散的的1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法| 1x當當時時, ,1.1x 定義3( )( )nnSxux設設是是函函數數項項級級數數的的部部分分和和函函數數列列. .( )( ),nSxDS x若若在在數數集集 上上一一致致收收斂斂于于 則稱則稱( )( ),nuxDS x函函數數項項級級數數在在上上一一致致收收斂斂于于函函數數( ).nuxD或或稱稱在在上上一一致致收收

28、斂斂由于函數項級數的一致收斂性是由由于函數項級數的一致收斂性是由它的部分和函數它的部分和函數1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法列來確列來確定定, ,所以得到的有關函數項級數的定理所以得到的有關函數項級數的定理. . 定理13.3（一致收斂的柯西準則）函數項級數函數項級數 ( )nux在數集在數集 D 上一致收斂的充要上一致收斂的充要存在正整數存在正整數N， ，對任給的對任給的正數正數使使當當 對一切對一切 ,xDp和和一一切切正正整整數數|( )( )|,n pnSxSx 或或12|( )( )( )|.nnnpuxuxux 此定理中當此定

29、理中當 p=1 時時, 得到函數項級數一致收斂的一個得到函數項級數一致收斂的一個1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法條件為條件為: :n N時時，都有都有必要條件必要條件. . 定理13.4（余項法則） 推論 (函數項級數一致收斂的必要條件) 函數項函數項級級數數( )nuxD在在數數集集上上一一致致收收斂斂的的( )nuxD必要條件是函必要條件是函數數 列列 在在 上一致收斂于零上一致收斂于零. ( )( ),nuxDS x設設函函數數項項級級數數在在上上的的和和函函數數為為稱稱( )( )( )nnRxS xSx( ).nux為為函函數數

30、項項級級數數的的余余項項limsup |( )| limsup |( )( )| 0.nnnnx Dx DRxS xSx1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法( )( )nuxDS x函函數數項項級級數數在在數數集集 一一致致收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是0,nnx我我們們再再來來看看例例4 4中中的的級級數數則由則由 ,sup |( )( )|sup0()11nnnxa axa axaSxS xnxa0, nnxa a可可得得級級數數在在上上一一致致收收斂斂. .若在若在(1, 1)上討論這個級數上討論這個級數, 則由則由 1 級數的收

31、斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法 ( 1,1)( 1,1)sup |( )( )|sup1111nnnxxxnnSxS xnnx 1()1nnnnn0( 1,1)nnx知知道道級級數數在在內內不不一一致致收收斂斂. .,(1)a a a若若僅僅在在上上討討論論20(1)nnxx 0,1例例6 討論函數項討論函數項級數級數在在上一致上一致收斂性收斂性. 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法210( )(1)(1)(1)nknnkSxxxxx 所以所以 ( )lim( )(1)0,1.nnS xSxxx

32、 ，于是于是|( )( )|(1),0,1,nnS xSxxxx 由由1(1)(1)0nnnxxnxnx 解得最大值點解得最大值點 0,1nxn 故故 0 x (1)0nS 01x 當當時時,; 當當 時時解解0,1sup |( )( )|nxS xSx 1011nnnn 因此因此20(1)nnxx 在在0,1上一致收斂上一致收斂.注注 當和函數容易當和函數容易求出時求出時, 0n 1n 2n ( )1S xx ( )()()111nnS xxx xy0.510.20.40.60.81O圖圖 13 - 51 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法2

33、0(1)nnxx 0,1例例6 討論函數項討論函數項級數級數在在上一致上一致收斂性收斂性. 余項準則是比較好用的余項準則是比較好用的一種判別方法一種判別方法. . 定理13.5 ( 魏爾斯特拉斯判別法，或優級數判別法 ) 判別函數項級數的一致收斂性除了根判別函數項級數的一致收斂性除了根據定義、柯西據定義、柯西( ),nuxD定定義義在在數數集集上上nM設函數項級數設函數項級數為收為收 斂的正項級數，斂的正項級數，,xD若若對對一一切切有有|( )|,1,2,(13)nnuxMn( )nuxD則則函函數數項項級級數數在在上上一一致致收收斂斂. .1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其

34、一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法函數項級數的一致收斂判別法準則或余項準則外準則或余項準則外, , 有些級數還可以根據級數一般項有些級數還可以根據級數一般項的某些特性來判別的某些特性來判別. . 證證 ,nM由由假假設設正正項項級級數數收收斂斂 根根據據數數項項級級數數的的柯柯西準則西準則, 及任何正整數及任何正整數 p, 有有 11|.nn pnn pMMMM (13)xD又又由由式式對對一一切切有有11|( )( )| |( )|( )|nn pnn puxuxuxux根據函數項級數一致收斂的柯西準則根據函數項級數一致收斂的柯西準則, 級數級數( )nux在在 D 上一致收斂上一致收斂

35、. 1.nn pMM 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法, 存在某正整數存在某正整數N, 使得當使得當 n N 任給正數任給正數|( )|,1,2,(13)nnuxMn例例7 函數項級數函數項級數 22sincos,nxnxnn (,)在在上上一一致致收收斂斂. .2222sin1cos1,nxnxnnnn21.n而而正正項項級級數數是是收收斂斂的的當級數當級數( ) , nnuxMa b 與與級級數數在在區區間間上成立關系式上成立關系式1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法( )nnMux

36、為為或稱或稱的的優級數優級數. nM , a b則稱級數則稱級數 在區間在區間 上優于級數上優于級數 ( )nux (,)x因因為為對對一一切切有有(13)時時, 優級數判別法也稱為優級數判別法也稱為M M 判別法判別法. . 定理13.6 (阿貝爾判別法) 對于定義在區間對于定義在區間I上的函數項級數上的函數項級數有類似的判有類似的判別定理別定理:1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法設設 (i)( );nuxI在在區區間間上上一一致致收收斂斂(ii),( );nxI vx對對于于每每一一個個是是單單調調的的(iii)( ),nvxIxI在在

37、上上一一致致有有界界 即即對對一一切切整數整數 n , 存在正數存在正數 M, |( )|,nvxM則級數則級數(14)在在 I 上一致收斂上一致收斂.1122( )( )( ) ( )( )( )nnux vxu x v xu x vx( )( )(14)nnux vx和正和正使得使得 12|( )( )( )|nnn puxuxux 又由又由(ii),(iii)及阿貝耳引理及阿貝耳引理(第十二章第十二章3的引理的推的引理的推 論論)得到得到 11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx由函數項級數一致收斂性的柯西準則由函數項級數一致收斂性的柯西準則, 得級數得級數(

38、14) 在在 I 上一致收斂上一致收斂. 1(|( )| 2|( )|)3.nn pvxvxM 證證 (i),0,NnN 由由任任給給存存在在某某正正數數使使得得當當及及,pxI任任何何正正整整數數對對一一切切有有1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法 定理13.7 (狄利克雷判別法) 設設(i)( )nux 的的部部分分和和數數列列1( )( )(1,2,)nnkkUxuxn在在 I 上一致有界上一致有界;(ii),( );nxI vx對對于于每每一一個個是是單單調調的的 (iii)( )0(),nIvxn在在上上則級數則級數(14)在在I上

39、一致收斂上一致收斂.|( )|.nUxM證證 由由(i), 存在正數存在正數 M, 對一切對一切x I, 有有 1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法因此當因此當 n, p 為任何正整數時為任何正整數時, 12|( )( )( )|nnnpuxuxux|( )( )| 2.n pnUxUxM對任何一個對任何一個 x I, 再由再由(ii)及阿貝耳引理得到及阿貝耳引理得到 11|( )( )( )( )|nnnpnpux vxux vx 0, 存在正數存在正數N, 當當nN 時時, 對對 再由再由(iii), 對任給的對任給的 一切一切x I, 有有 |( )|,nvx 所以所以12(|( )| 2|( )|).nn pMvxvx1 級數的收斂性函數列及其一致收斂性函數項級數及其一致收斂性函數項級數的一致收斂性判別法11|( )( )( )( )|nnn pn pux vxux vx2(2 )6.MM 于是由一致收斂性的柯西準則于是由一致收斂性的柯西準則, 級數級數(14)在在I上一致收斂上一致收斂. 例例8 函數項級數函數項級數11( 1) ()nnnnxnn在在0, 1上一致收斂上一致收斂.( 1)( ),