1、1第三節第三節一、函數項級數的概念一、函數項級數的概念 二、冪級數及其收斂性二、冪級數及其收斂性 三、冪級數的運算三、冪級數的運算 冪級數冪級數 第十二章第十二章 2一、一、 函數項級數的概念函數項級數的概念設設121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區間為定義在區間 I 上的上的函數項級數函數項級數 .對對,0Ix 若常數項級數若常數項級數10)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數項級數若常數項級數10)(nnxu為定義在區間為定義在區間 I 上的函數上的函數, 稱稱收斂收斂,發散發散 ,所有所有0 x稱為其為其收收 0 x稱為

2、其為其發散點發散點, ),2, 1()(nxun發散點的全體稱為其發散點的全體稱為其發散域發散域 .3, )(xS為為級數的和函數級數的和函數 , 并寫成并寫成)()(1xuxSnn若用若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項令余項)()()(xSxSxrnn則在收斂域上有則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數項級數前表示函數項級數前 n 項的和項的和, 即即在收斂域上在收斂域上, 函數項級數的和是函數項級數的和是 x 的函數的函數 稱它稱它4例如例如, 等比級數等比級數它的收斂域是它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn1

3、10它的發散域是它的發散域是或寫作或寫作.1x又如又如, 級數級數, )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數發散級數發散 ;所以級數的收斂域僅為所以級數的收斂域僅為. 1x,)1,1(時當x有和函數有和函數 ,1時收斂當x,10時但當 x5二、冪級數及其收斂性二、冪級數及其收斂性 形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數項級數稱為的函數項級數稱為冪級數冪級數, 其中數列其中數列), 1 , 0(nan下面著重討論下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如例如, 冪級數冪級數1,110 xxxnn為冪級數的為冪級數的系數系數 .即是此種情

4、形即是此種情形. .的情形的情形, 即即nnxxa)(0稱稱 6收斂收斂 發散發散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數若冪級數0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式則對滿足不等式0 xx 的一切的一切 x 冪級數都絕對收斂冪級數都絕對收斂.反之反之, 若當若當0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 該冪級數也發散該冪級數也發散 . 時該冪級數發散時該冪級數發散 ,則對滿足不等式則對滿足不等式證證: 設設00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂收斂, 則必有則必有),2, 1(0nMxann于是存在于是存在常數常數 M 0, 使使Ox發發 散散發發 散散收收 斂斂7當當

5、時時, 0 xx 00nnxxM收斂收斂,0nnnxa故原冪級數絕對收斂故原冪級數絕對收斂 .也收斂也收斂,反之反之, 若當若當0 xx 時該冪級數發散時該冪級數發散 ,下面用反證法證之下面用反證法證之.假設有一點假設有一點1x01xx0 x滿足不等式滿足不等式0 xx 所以若當所以若當0 xx 滿足滿足且使級數收斂且使級數收斂 ,面的證明可知面的證明可知, 級數在點級數在點故假設不真故假設不真. 的的 x , 原冪級數也原冪級數也發散發散 . 時冪級數發散時冪級數發散 , 則對一切則對一切則由前則由前也應收斂也應收斂, 與所設矛盾與所設矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nx

6、xM0證畢證畢8冪級數在冪級數在 (, +) 收斂收斂 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的區間中心的區間. 用用R 表示冪級數收斂與發散的分界點表示冪級數收斂與發散的分界點,的收斂域是以原點為的收斂域是以原點為則則R = 0 時時, 冪級數僅在冪級數僅在 x = 0 收斂收斂 ;R = + 時時,0 R冪級數在冪級數在 (R , R ) 收斂收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在在R , R 可能收斂也可能發散可能收斂也可能發散 .Rx外發散外發散; 在在(R , R ) 稱為稱為收斂區間收斂

7、區間.Ox發發 散散發發 散散收收 斂斂收斂收斂 發散發散9xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 若若0nnnxa的系數滿足的系數滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 若若 0,則根據比值審斂法可知則根據比值審斂法可知:當當,1x原級數收斂原級數收斂;當當,1x原級數發散原級數發散.x即即1x時時,1) 當當 0 時時,2) 當當 0 時時,3) 當當 +時時,即即時時,則則 1x102) 若若, 0則根據比值審斂法可知則根據比值審斂法可知,;R絕對收斂絕對收斂 ,3) 若若,則對除則對除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級數發原級數發.0R對任意

8、對任意 x 原級數原級數因此因此散散 ,因此因此 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明: :據此定理據此定理1limnnnaaR因此級數的收斂半徑因此級數的收斂半徑.1R11對端點對端點 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點對端點 x = 1, ,1) 1(11nnn收斂收斂; 級數為級數為,11nn發散發散 . . 1, 1(故收斂域為故收斂域為例例1.1.求冪級數求冪級數 limn 級數為交錯級數級數為交錯級數12例例2. 求下列冪級數的收斂域求下列冪級數的收斂域 :.!)2(;!1) 1

9、(00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域為所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數僅在所以級數僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規定規定: 0 ! = 1! ) 1(1n13例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數的收斂半徑的收斂半徑 .解解: 級數缺少奇次冪項級數缺少奇次冪項,不能直接應用定理不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(li

10、mxnnnn24x142x當時級數收斂時級數收斂時級數發散時級數發散 故收斂半徑為故收斂半徑為 .21R21x即142x當21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由14例例4.12) 1(nnnnx求冪級數的收斂域的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級數變為級數變為nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當當 t = 2 時時, 級數為級數為,11nn此級數發散此級數發散;當當 t = 2 時時, 級數為級數為,) 1(1nnn此級數條件收斂此級數條件收斂;因此級數的收斂域為因此級數的收斂域為,22t故原級數的收斂域為故原級數的收斂

11、域為,212x即即.31x15三、冪級數的運算三、冪級數的運算定理定理3. 設冪級數設冪級數nnnxa0nnnxb0及及的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為,21RR令令nnnxa0)(0為常數nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有則有 :nnnnnnxbxa00其中其中knnkknbac0以上結論可用部分和以上結論可用部分和的極限證明的極限證明 .16說明說明: 兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半徑可能比兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑小得多原來兩個冪級數的收斂半徑小得多. 例如例如, 設設

12、 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為它們的收斂半徑均為,R但是但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x1117定理定理4 若冪級數若冪級數nnnxa0的收斂半徑的收斂半徑,0R)(xS數(證明見第六節證明見第六節)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函則其和函在收斂域上在收斂域上連續連續, 且在收斂區間內可且在收斂區間內可逐項求導逐項求導與與逐項求積分逐項求積分, 運算前后收斂半徑相

13、同運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變運算前后端點處的斂散性不變.18解解: 由例由例2可知級數的收斂半徑可知級數的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級數0!)(nnnxxS)(x則則11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有故有0)(exSxxCxSe)(,e)(1)0(xxSS 得由故得故得.e!0 xnnnx的和函數的和函數 .因此得因此得設設19例例6. 1nnxn求冪級數的和函數的和函數解解: 易求出冪級數的收斂半徑為易求出冪級數的收斂半徑為 1 , x1 時級數發時級數發,)1,1(時故當x1)(nnxnxS1

14、)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散散,20例例7. 求級數求級數01nnnx的和函數的和函數. )(xS解解: 易求出冪級數的收斂半徑為易求出冪級數的收斂半徑為 1 , 時級數且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收斂收斂 , 0111nnnxxxnnxxx00d1,) 1, 1中則在 x = 1 時級數發散時級數發散, 有時當,0 x21) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數的連續性得因此由和函數的連續性得:)(xS而而 x = 0 時級數收斂于時級數收斂于1,

15、 , )1ln(1xx,10 x) 10( x1x及及,1)1 (lnlim0 xxx22例例8.2) 1(122的和求數項級數nnn解解: 設設,1)(22nnnxxS則則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(22331212)(nnnnnxxnxxxS1nnnx 101dnxnxx而而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS21S2ln4385)0( x)2(212xxx故故24內容小結內容小結1. 求冪

16、級數收斂域的方法求冪級數收斂域的方法1) 對標準型冪級數對標準型冪級數先求收斂半徑先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用求收斂半徑時直接用比值法比值法或或根值法根值法,2. 冪級數的性質冪級數的性質兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過也可通過換元換元化為標準型再求化為標準型再求 .乘法運算乘法運算. 252) 在收斂區間內冪級數的和函數連續在收斂區間內冪級數的和函數連續;3) 冪級數在收斂區間內可逐項求導和

17、求積分冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分.思考與練習思考與練習 1 已知已知nnnxa00 xx 在處條件收斂處條件收斂 , 問該級數收斂問該級數收斂半徑是多少半徑是多少 ?答答: 根據根據Abel 定理可知定理可知, 級數在級數在0 xx 收斂收斂 ,0 xx 時發散時發散 . 故收斂半徑為故收斂半徑為.0 xR 3. 求和函數的常用方法求和函數的常用方法 利用冪級數的性質利用冪級數的性質 262. 在冪級數在冪級數nnnnx02) 1(2中中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 為奇數為奇數,23n 為偶數為偶數,61能否確定它的收斂半徑不存在能否確定它的收斂半徑不存在 ?答答: 不能不能. 因為因為nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x當當2x時級數收斂時級數收斂 ,2x時級數發散時級數發散 ,.2R說明說明: