1、 一致收斂性的重要性在于可以將通項函數的許多解析性質遺傳給和函數，如連續性、可積性、可微性等，這在理論上非常重要.2 一致收斂函數列與函數項級數的性質 數學分析 第十三章函數列與函數項級數2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性一致收斂函數列的性質后退 前進 目錄 退出可積性可微性 定理13.8（極限交換定理）nf設函數列 在 上一致收斂于 , 00( ,)(, )a xx b ( )f x且對每個n , 0lim( )nnxxfxa，limnna則則和和0lim( )xxf x 均均存存在在且且相等.00lim lim( )lim lim( ).(2)nnxxnnxxfxfx即

2、na證 先證是收斂數列. 故存在正整數 N, 當 nN及對任意正整數 p, 對一切00( ,)(, )xa xx b ， 有 |( )( )|.nn pfxfx 0 ，nf由于 一 致收斂, 對任意lim,nnaA設設na于是由柯西準則可知是收斂數列,則0limlim( ).nnxxfxA下面證明00lim( )limlim( ).nxxxx nf xfxA注意到|( )|f xA111|( )( )|( )|NNNf xfxfxa2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性從而0|lim |( )( )|.nn pnn pxxaafxfx 1|NaA( )nfx( )f

3、 x ，由于 一致收斂于 na收斂于A， nN 當當時時，存在正數 N， 對任意 00( ,)(, )xa xx b 因此對任意0 ，|( )( )|33nnfxf xaA 和和同時成立. 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性11|( )( )|33NNfxf xaA 和和011lim( ),NNxxfxa又因為 0 ，故存在 當00 |xx 時,特別當n=N+1時，0,0,xxx 于于是是 當當滿滿足足時時|( )|f xA,333 這就證明了 0lim( ).xxf xA有11|( )|.3NNfxa 也有 1|( )( )|Nf xfx11+|( )|NNf

4、xa1+ |NaA定理指出: 在一致收斂的條件下, ( )nfx中關于獨 立變量 x與n 的極限可以交換次序, 即(2)式成立. ,( )( , )nfxa b類類似似地地 若若在在lim( )nxafx 上一致收斂, 且 存在, lim lim( )lim lim( );nnnnxaxafxfx( )( , )lim( ),nnxbfxa bfx若若在在上上一一致致收收斂斂, ,且且存存在在lim lim( )lim lim( ).nnnnxbxbfxfx2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性則有則有 推論 定理13.9（連續性）若函數列 nf在區間 I上一致收斂

5、,且每一項都連續, 則其極限函數 f在 I 上也連續. 證 0.xI設設為為上上任任一一點點于是由定理 13.8 知 0lim( )xxf x也存在, 且 000lim( )lim()(),nxxnf xfxf x0( ).f xx因因此此在在上上連連續續nfIf若若連連續續函函數數列列在在區區間間 上上內內閉閉一一致致收收斂斂于于 ，fI則則在在 上上連連續續. .2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性00lim( )(),nnxxfxfx由由于于nx( 1,1 例如 函數列 的各項在 上都是連續的, 其極限函數 0,11,( )1,1xf xx1x 在在時時不不

6、連連續續，nx( 1,1 所以在 上不一致收斂.注 定理13.9可以逆過來用:2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性但 列在區間 I 上其極限函數不連續, 若各項為連續函數的函數I 上一定不一致收斂. 則此函數列在區間 定理13.10（可積性）nf若函數列在a, b上一致收斂, 且每一項都連續, 則 lim( )dlim( )d .(3)bbnnaannfxxfxxnf證 設 f 為函數列 在a, b上的極限函數， (1,2,)nfn 從從而而與 f 在a, b上上都可積. , ,na bff因因為為在在上上一一致致收收斂斂于于, , ,nNxa b當當時時 對對一

7、一切切都都有有2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性lim( )d( )d .(3 )bbnaanfxxf xx于是(3)變為0 ，故對于任意存在N, 知 f 在 a, b上連續,由定理13.9|( )( )|.nfxf x 再根據定積分的性質, 當 nN 時有( )( ) d( )( ) dbbbnnaaafxf xxfxf xx( )( ) d(),bnafxf xxba 這就證明了等式 (3 ). 12,0,211( )22,1,2,.210,1,nnnnnxxnfxnxxnnnxn ( )nfx0,1顯然 是上的連續函數列, 0,1x lim( )0.nnf

8、x, 例1 設函數136 圖圖1nf12n1nn xyO2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性且對任意0,1sup |( )0|,nnxfx 又又( )0,1nfx在在 因此上一致 收斂于 0 的充要條件是 . 0()nn 10( )d,2nnfxxn 因為1100( )d( )d0nfxxf xx故lim02nnn 的充要條件是. 1,n 這這樣樣, ,當當時時雖然 ( )nfx( )f x不一致收斂于 , 但定理 13.10 的結論仍 ( )nfx( ).f x不一致收斂于但當 時, =nn 101( )d2nfxx同同時時10( )d0.f xx也不收斂于也不

9、收斂于( )nfx例1說明當收斂于 f(x) 時，一致收斂性是極 限運算與積分運算交換的充分條件, 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性成立. 不是必要條件. 定理13.11（可微分性）nf設為定義在a, b上的函數列, 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性的的收收斂斂點點，0 , xa b 若為nfddlim( )lim( ).(4)ddnnnnfxfxxx則 , nfa b的的每每一一項項在在上上有連續的導數 nf ，且在a, b上一致收斂, nf 0lim(),nnfxA設設 , gfa b 為為在在上上的的極極限限函函數數，0

10、0( )()( )d .xnnnxfxfxftt由定理條件, 對任一 , xa b，證 總有 ,nA當當時時 右右邊邊第第一一項項第第二二項項0( )d .xxg tt,于是 f 所以上式左邊極限存在, 記為 0( )lim( )( )d .xnxnf xfxAg tt由 g 的連續性及微積分學基本定理得.fg 這就證明了等式(4). 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性 推論設設函函數數列列定定義義在在區區間間上上，若若為為的的收收斂斂點點且且在在上上內內閉閉一一致致收收斂斂，( )lim( ).nnfxfx則則在在上上可可導導，且且2一致收斂函數列與函數項級數

11、的性質 極限交換定理連續性可積性可微性0 xnf注 請注意定理中的條件為的收斂點的作用. , a bnf在定理的條件下, 還可推出在 上函數列一 致收斂于f ,請讀者自己證明. 與前面兩個定理一樣, 運算交換的充分條件, 而不是必要條件, 請看例2. 一致收斂是極限運算與求導 推論設設函函數數列列定定義義在在區區間間上上，若若為為的的收收斂斂點點且且在在上上內內閉閉一一致致收收斂斂，( )lim( )nnfxfx則則在在上上可可導導，且且函數列221( )ln(1),1,2,2nfxn xnn與22( ),1,2,1nnxfxnn x在0,1上都收斂于0, 0,11limmax |( )( )

12、|,2nnxfxfx ( )0,1,nfx所所以以導導函函數數列列在在上上不不一一致致收收斂斂lim( )0lim( ) .nnnnfxfx 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性可積性可微性例2 由于但有在上述三個定理中, 我們都可舉出函數列不一致收 斂但定理結論成立的例子. (如實變函數論)將討論使上述定理成立的較弱條件, 但在目前情況下, 只有滿足一致收斂的條件, 才能 保證定理結論的成立. 下面討論定義在區間 , a b上函數項級數12( )( )( )(5)nu xuxux的連續性、逐項求積與逐項求導的性質, 可根據函數列的相應性質推出. 2一致收斂函數列與函數項級數

13、的性質 極限交換定理連續性可積性可微性在今后的進一步學習中 這些性質 定理13.12（極限交換定理、連續性定理）( )nux 0()Ux 1. 若函數項級數 在一致收斂, 0lim( )nnxxuxa ，每個n ,00lim( )lim( ).nnnxxxxuxuxa (6)( )nux , a b2. 若區間上一致收斂, 續, 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導則有且對且每一項都連 , a b上也連續. 則其和函數在 定理13.14（逐項求導定理） 定理13.13（逐項積分定理）( ) d( ) d .(7)bbnnaauxxuxx , a b在在上上一一

14、致致收收斂斂，0 , xa b 為 ( )nux 的收斂點, dd( )( ) .(8)ddnnuxuxxx 且每一若函數項級數( )nux 在a, b上一致收斂, 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導若函數項級數( )nux 在a, b上每一項都有連續的則( )nux都連續, 項則導函數，且( )nux 定理 13.13 和 13.14 指出, 在一致收斂條件下, 逐項 求積或求導后求和等于求和后再求積或求導. 注 本節六個定理的意義不只是檢驗函數列或函數 項級數是否滿足關系式(2)(4), (6)(8), 根據定理的條件, 即使沒有求出極限函數或和函數,

15、也能由函數列或函數項級數本身獲得極限函數或和 函數的解析性質.2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導更重要的是 例3 設 2231( )ln(1),1,2,.nuxn xnn( )nux 0,1證明函數項級數 在上一致收斂, 并討 論和函數在0,1上的連續性、可積性與可微性. ( )nux證 對每一個 n, 易見 為0, 1上的增函數, 231( )(1)ln(1),1,2,.nnuxunnn21,ln(1),ttt又又當當時時 有有不不等等式式2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導231( )ln(1)nuxnn故有 所以 32

16、11,1,2,.nnnn21( )nuxn收收斂斂級級數數是是的的優優級級數數, ,因此級數 ( )nux 0,1在上一致收斂. ( )nux0,1由于每一個 在上連續, 定理13.13知 ( )nux ( )S x0,1的和函數 在上連 續且可積. 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導222221( ),1,2,(1)2nxxuxnnn xn nxn21( )nuxn即即也也是是的的優優級級數數, ,( )nux 0,1故 在 由定理13.14, 得知( )S x在0, 1上可微. 又由上一致收斂. 根據定理13.12與*例4 確定函數項級數 11nnxn

17、的收斂域并討論 和函數的連續性. 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導解 首先利用連續性定理(或極限交換定理)建立一個 ( )nux , )a b若函數項級數的每一項在 上 有定義, ,( )nn ux a(i) 在點右連續;( , )xa b ( )nux (ii) 收斂; , (iii) 級數( )nu a 發散, ( )nux ( , )a b則在上不一致收斂.判別法: 且lim( )( )nnxauxu a , 及極限交換定理得 lim( )lim( )( )nnnxaxauxuxu a 與( )nu a 發散矛盾. 對函數項級數11,nnxn 用根式

18、判別法求出其收 11|nnxxxnn()n 因為, | 1x | 1x 所以當時級數收斂, 時級數發散. 2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導( )nux ( , )a b理由是, 如果在上一致收斂, 則由(i) 斂域. 這就證明了上述判別法.11nn 1x 當 時, 1( 1)10,nnn 也發散. ( 1,1). 因此這個級數的收斂域為( 1,1) 11( ),nnf xxn 設在上2一致收斂函數列與函數項級數的性質 極限交換定理連續性逐項積分逐項求導11e0,nn1x 時, 而當發散; 111nnn 的一般項級數111nnn 的一般項級數1( )nnuxxn 1x 1x 因為在和處分別為左