1、名校名師推薦第三章三角恒等變換【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法.2.會運(yùn)用正弦、余弦、正切的兩角和與差公式與二倍角公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值和證明U知識梳理1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(a3)=cosacos)+sinasinrcos(a+3)=cosacos)sinasinrsin(a+3)=sinacos3+cosasin)sin(a3)=sinacos3cosasin3tana+tanBtan(a+3)d,.1tanatan3tan(、tanatanBa3)',.c.1+tanatanB2.二倍角公式sin2a=2sinacosa.cos2a=cos

2、2asin2a=2cos2a1=12sin2a.tan 2 a2tana2-1tana3.升哥縮角公式1+cos2a=2cos2a.1cos2a=2sin2a.4.降哥擴(kuò)角公式sin 2 x sin xcos x= -2,cos2x=1 + cos 2 x2訪21cos2xx2.5 .和差角正切公式變形tana+tan3=tan(a+6)(1tanatan6),tanatan3=tan(a6)(1+tanatan6).6 .輔助角公式y(tǒng)=asinwx+bcoswx=*Ja2+b2sin(wx+0).題型探究類型一靈活變角的思想在三角恒等變換中的應(yīng)用19為銳角，cosa=4,tan(a3)=?,

3、求cos3的值.53是銳角,sin35, tan3 a =4tan=tan a ( a 3 )tan a tan( a1 + tan a tan( a3133 r于3是銳角，cos3=50.反思與感悟給值求值的重要思想是探求已知式與待求式之間的聯(lián)系，常常在進(jìn)行角的變換時，要注意各角之間的和、差、倍、半的關(guān)系，如|JX_、a=2,1,a=(a+3)-3,a11j3(3a),a=2(a+3)+(a3),3=5(a+g(a3)等.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角”，3,它們的終邊分別與單位圓相交于AB兩點(diǎn)，已知 A, B的橫坐標(biāo)分別為斗0”,可3求tan(a3)的值

4、;(2)求a + 3的值.由題可知，cos3 110市-,cos 32,55 .由于a3為銳角，則sin.10.行sin故tan則 tan(tan a tan1 + tan a tan 31 13211+617.1o，tan3311一十一32(2)因?yàn)閠an(a+3)=一1=1,1-6nr-兀t.z.兀即a+3<,故a+3=.類型二整體換元思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例2求函數(shù)f(x)=sinx+cosx+sinx,cosx,xCR的最值及取到最值時x的值.解設(shè)sinx+cosx=t,貝U t =sin x+ cos x=2 sin x + cos x7t/sin 'x+ .，(s

5、in x+ coscos x=xj-1 t2-1.f(x)=sinx+cosx+sinx-cosx,t2112rr.g(t)=t+=2(t+1)-1,t-A；2,用.當(dāng)t=1,即sinx+cosx=1時，f(x)min=1,此時，由sing+!=.,、.Tt._解得x=2k%一兀或x=2kjt,kCZ.當(dāng)t=J2,即sinx+cosx=，2時，f(x)max=5+2,此時，由42sin3+亍i=恒即sin十：!；=葭,一一兀解得x=2kjt+,kez.f ( x) min= - 1 ；當(dāng) x= 2k 兀，、一八兀、一綜上，當(dāng)x=2k%兀或x=2kTt-,kCZ時，”*)取得取小值,+Y，kJ時

6、，f(x)取得最大值，f(x)max=小+1反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把一個代數(shù)式整體視為一個“元”來參與計(jì)算和推理，這個“元”可以明確地設(shè)出來.跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)y=sinx+sin2xcosx(xCR»的值域.解令sinx-cosx=t,則由t=/sinjx-4MtC啦，a又sin2x=1(sinxcosx)2=112,y=(sinxcosx)+sin2x=t+1t1 2 52 J + 4.當(dāng)t=J2時)ymin=21.函數(shù)的值域?yàn)閕-v2-i,4.類型三轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)=2，3sin(x3兀)sin1x-2)!+2sin2|x+2

7、L：1,xCR(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間|0,-2上上的最大值和最小值；(2)若 f (x0) = 5, xo 52 I求cos 2 xo的值.解(1)因?yàn)閒(x)=/3(2sinxcosx)+(2cos2x1)=/sin2x+cos2x=2sin2x+-6-；,所以f(x)的最小正周期為兀.又因?yàn)閤0,-2,所以2x+-6：-6,-6-,所以f(x)的最大值為2,最小值為一1.(2)由(1)可知，f(x0)=2sin?x0+6j.6又因?yàn)閒(x0)=-,5所以sin2x0+-6j=55.所以coscos 2 x0= cos2 !得 2x0+ 上 £ 123,兀 i2x

8、0+3 廠45,號X。+次；-in=cos12x0+寺cos7-+sin12x0+66.3-4410（余弦型）減少角的反思與感悟（1）為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，這是解決問題的前提.（2）解答此類題目要充分運(yùn)用兩角和（差）、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，種類和函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)，將三角函數(shù)表達(dá)式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練3已知cos3 5'17%7%-sin2x+2sin2X-N<X<T，求1tanx的彳sin2x+2sin2x2sinxcosx+2sin2x1tanxsinx1-cosx2sinxco

9、sx(cosx+sinx)cosxsinxsin2x(1+tanx)1tanx.c,i兀，一=sin2x,tan'-4-+x17兀 7兀<x<,12 x 4 '5兀7t3"<x+Z<2 兀,卜x工；sin5兀+ x 1=445.7t tan N+x廠3.7tcosx=cos=cos 4 4+ x cos7t7t十 sin i-+ x sin3 3-42 * * 5廠N10.sinx= sin7t=sin7t7t7t-4+ x cos sin _7_i2cos 0 +x 廠10，7tsin 2x= 25.,7 sin 2 x+ 2sin 2x28

10、1tan x75,類型四構(gòu)建方程（組）的思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例4已知sinx+2cosy=2,求2sinx+cosy的取值范圍.解設(shè)2sinx+cosy=a.sin x+2cos y=2,由52sin x+cos y=a,sin解得cos2a2x =,34- ay= 3，從而2a-23<15解得1waw/.,-51故2sinx+cosy的取值范圍是|1,l反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，聯(lián)系已知條件或三角公式，設(shè)法建立關(guān)于未知數(shù)的方程組，從而使問題得以解決跟蹤訓(xùn)練4已知關(guān)于0的方程43cos0+sin0+a=0在區(qū)間(0,27t)上有兩個不相等的實(shí)數(shù)

11、解“，3,求cos(a+3)的值.x2+y2=1,解設(shè)x=cos0,y=sin0,則有、3x+y+a=0,消去y,并整理得4x2+2，3ax+a21=0.由已知得cosa,cos3是的兩個實(shí)數(shù)解，cos由根與系數(shù)的關(guān)系，得cos-a2 1a cos 3 = -4-sin a sin 3=( cos a+ a)( /3cos 3 + a)=3cosacos3+#(cosa+cos3)a+a2a2-34cos(a+3)=cosacos3sinasin3a21a2-31442.當(dāng)堂訓(xùn)練1.若a是第三象限角，且sin(a+3)cos3sin3cos(a+3)=卷，則tan彳等于132A.5B.-C.1

12、2D.513答案解析sin(a3)cos3一sin3cos(=sin(3=sin513?是第三象限角，cos1213tana1cosa1一12一百2sina513=-5.2.已知0是第三象限角，且sin40+cos5則sin29。等于（）2C.32D.-3答案解析由-=sin4o+cos409=(sin0+cos20)2-2sin20cos0=12sin220,得sin220=即sin2922e=9.又=2k%+%<0<2k兀+3f-(kZ),.UkTt+2%<20<4kTt+3兀(kZ),故sin20=232.故選A.3.已知sina+cossin331cosa=2,

13、則sin(答案5972解析由(sina+cos3)2+(sin3cosa)2=36,59信2sin("3)=一覆一59即sin(a_3)=72.4.設(shè)答案為銳角，若cos口+看+5,則加(12"十711217.250兀+ 6兀、24十豆廠2545'解析sinIe兀'sin2a+3-e2sinIe，兀iC2cos'2a+12cos兀)70c+-6廠1=25,I兀isin2a+f(兀兀i2a)sin12a+3i(u2LCos十§-50-.5.已知函數(shù)f(x)=cosx-sin(x+5)一點(diǎn)cos(2sin x + cos x) ,/3cos x

14、+x+乎,xCR求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在閉區(qū)間-兀7上的最大值和最小值.由已知，有f(x)=cosx-1=2sinx.cosx乎cos2x+乎1=Tsin24x-g+cos2x)+1=一sin24x-cos2xsin(242兀xF2兀所以f(x)的最小正周期為T=兀.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間十，一12上是減函數(shù)，在區(qū)間j亍上是增函數(shù),f(-t)=-4'"弋)=-2,f(：)=1，一,、冗底，一1一，1所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間：,j上的最大值為4,最小值為一2.L規(guī)律與方法本章所學(xué)的內(nèi)容是三角恒等變換重要的工具，在三角函數(shù)式求值、化簡、證明，進(jìn)而研究三角函數(shù)

15、的性質(zhì)等方面都是必要的基礎(chǔ)，是解答整個三角函數(shù)類試題的必要基本功，要求準(zhǔn)確,快速化到最簡，再進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì).課時作業(yè)一、選擇題1 .C0S2017°cos1583°sin2017°sin1583°等于()A.0B.1C.-2D.122答案D解析原式=cos(2017°+1583°)=cos3600°=1.，12一一2 .函數(shù)y=2sin2x+sinx(xCR)的值域是()A.312'1B.口|，C.D.卜A1答案C解析11cos2x2sin2x+222=2 ( 2 sin 2 x-(cos 21x) +221-

16、sin(2兀 1x-Z)+|.兀一.xCR,.2x-R,兀sin(2x-y)-1,1,二.函數(shù)的值域是乎+2,9+23.函數(shù)f（x）=sinxcosx+乎cos2x的最小正周期和振幅分別是（）B.兀，2C.2兀D.2兀，2答案解析-f(x)1= 2sin 2x+x=sin 2x + -3 j，最小正周期振幅A= 1.4.已知tan(兀、+力一12,2L , sin 2 a 2cos a 兀，則sin7t4等于（BB.一5C. 一3、55答案解析sin 22a 2cos a2cos asinRin(sin a cos a )2 2costan1 tan a tan102sin 2 a 2cos

17、a則=2 2cossin f a7t42,5105 .5.已知向量 a=(sin a , 1),b=(2 , 兀2cos a y2)( < a <兀-兀),右 a±b,則 sin( a -)A.11C.2等于（）1B.-23D.方答案D解析a±b,a b= 2sina + 2cos a J2= 212sin( a + -4-) - ,2=0,.兀sin( a + -)12.3兀4<+兀5兀，cos(,3 3 V3+ T)=- 2 .sin(兀-y) =-sin(7t4(X )=兀cos( a + -)6.tan 0=3,則 cos2 01十 ,sin 2的

18、值是（4B.-5C.5答案D解析由題意知，tan0 cos 0 - sin 2 9 + cos2 0tan 2 Q + 1 5.cos120+sin0cos01+tan063的圖象的一個對稱中心為（7 .函數(shù)y=sinxcosx+小cos2x一A.B.5716，C.2兀3，兀D.百，答案解析y=；sin2x+乎(1+cos2x)-/3x=k2L弋（2），當(dāng)k=2時，x=5f,=sin7t,32入 _兀.,令 2x + w=kTt (kC Z), 3函數(shù)圖象的一個對稱中心為、填空題8 .若點(diǎn)P(cosa,sina)在直線y=2x上，則sin2a+2cos2a=答案2解析由題意知，tana=-2,

19、sin2a+2cos2a=2sinacosa+2cos2a2sin2a2sinacosa+2cosa-2sinasina+cosa22tana+22tan民一4+22X4-tan2a+1-5-2.9.函數(shù)y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值1,則實(shí)數(shù)a=,b=.答案1±2-722解析y=acosx+bsinxcosxbaa=2sin2x+2cos2x+2a+ba2sin(2x+()+-,a=1,b=±2p.10.若(4tana+1)(1-4tan3)=17,則tan(a-3)=.答案4解析由已知得4(tanatan3)=16(1+tanatan3),.t

20、anatanB即-=4.I +tanatan3tan(a-3)=4.三、解答題II .已知函數(shù)f(x)=(1+tanx)sin2x2sinJx+_4；sinx-4.若tana=2,求f(a);(2)右xC|方1求f(x)的取值氾圍.解(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+cos2x=1-c°s2x+1sin2x+cos2x2211=2(sin2x+cos2x)+2,2.2sinacosa由tana=2,得sin2a=-i2-22tana_4tan2a+1=5,2cosa2sin a2+ cos acos2a=2sina1tan2atan2a+13S'1所以f(a)=&

21、#39;X431355戶2=5.,11(2)由(1)得f(x)=2(sin2x+cos2x)+2i兀11sin(2x+了廣萬,所以.1c.一兀 sin ?x +了 r-從而f(x)=乎sin 12x +兀 1了廣 2cb所以f（x）的取值范圍為I。，匕虛.若 BC= a, CA= b,且 a, b滿足:B+ 0 ).12.已知ABC勺內(nèi)角B滿足2cos2B-8cosB+5=0,=9,|a|=3,|b|=5,。為a,b的夾角.求sin(解2(2cos2B1)-8cosB+5=0,4cos2B-8cosB+3=0,解得1cosB=2，sinb=i3cos35, sina-b0=；-|a|b|sin(B+0)=sinBcos0+cosBsin0=13.設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+cos(2x+爭求函數(shù)f（x）的最大值及