1、8平面向量線性運算及綜合應用問題1(2012廣東)若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)2(2012四川)設a，b都是非零向量下列條件中，使成立的充分條件是()Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|3(2012浙江)設a，b是兩個非零向量，下列選項正確的是()A若|ab|a|b|，則ab B若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實數，使得baD若存在實數，使得ba，則|ab|a|b|4(2012新課標全國)已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.1高考一般會以客觀題的形式重點考查向量的線性運算及

2、其應用，向量的垂直、平移、夾角和模的運算，向量的幾何運算等2平面向量作為工具在考查三角函數、平面解析幾何等內容時常用到，屬于中等偏難題1要理解平面向量具有兩個方面的特征：幾何特征和代數特征，可以認為平面向量是聯系幾何圖形和代數運算的紐帶，因此復習時要抓住平面向量的核心特征2由于平面向量在三角函數、平面解析幾何中的工具作用，所以備考時要熟練掌握平面向量的基礎知識.必備知識向量的概念(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為.(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4)如果直線l的斜率為k，則a(1，

3、k)是直線l的一個方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影向量的運算(1)向量的加法、減法、數乘向量是向量運算的基礎，應熟練掌握其運算規律(2)平面向量的數量積的結果是實數，而不是向量，要注意運算數量積與實數運算律的差異，平面向量的數量積不滿足結合律與消去律ab運算結果不僅與a，b的長度有關而且與a與b的夾角有關，即ab|a|b|cosa，b兩非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab，abx1y2x2y10.abab0，abx1x2y1y20.可利用它處理幾何中的兩線平行、垂直問題，但二者不能混淆必備方法1當向量以幾何圖形的形式

4、出現時，要把這個幾何圖形中的一個向量用其余的向量線性表示，就要根據向量加減法的法則進行，特別是減法法則很容易使用錯誤，向量(其中O為我們所需要的任何一個點)，這個法則就是終點向量減去起點向量2根據平行四邊形法則，對于非零向量a，b，當|ab|ab|時，平行四邊形的兩條對角線長度相等，此時平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價于向量a，b互相垂直，反之也成立3兩個向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數量積小于零，還要求不能反向共線一常考查平面向量的基本概念、線性運算、加減運算等基礎知識同時，要加強三角形法

5、則、平行四邊形法則應用技巧的訓練和常用結論的記憶，難度以中低檔為主【例1】 (2010湖北)已知ABC和點M滿足0，若存在實數m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5 (1)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結果向量的方向是指向被減向量(2)有的問題可以采用坐標化解決更簡單【突破訓練1】 如圖，平面內有三個向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若(，R)，則的值為_解析法一如圖，11，|1|2，|1|4，42.6.法二以O為原點，OA為x軸建立直角坐標系，則A(1,0)

6、，C(2 cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B，.由得，6.答案6二數量積是平面向量最易考查的知識點，常考查：直接利用數量積運算公式進行運算；求向量的夾角、模，或判斷向量的垂直關系，試題較容易也常常與解析幾何結合命制解答題【例2】 (2012臨沂質檢)如圖，ABC中，C90，且ACBC3，點M滿足2，則()A2 B3 C4 D6 平面向量問題的難點就是把平面向量的幾何運算與數量積運算的結合，這里要充分利用平面向量的幾何運算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數量積的運算法則，探究解題的思想【突破訓練2】 (20

7、12重慶)設x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A. B. C2 D10三在近年高考中，三角函數與平面向量相結合來命制綜合問題是高考考查的熱點，三角函數的變換與求值、化簡及解三角形等問題常以向量為載體，復習時應注意解題的靈活性，難度不大【例3】 (2012河北衡水調研)已知向量a(sin x，1)，b.(1)當ab時，求cos2x3sin 2x的值；(2)求f(x)(ab)b的最小正周期和單調遞增區間解(1)由ab，得sin xcos x0，即tan x，cos2x3sin 2x.(2)因為a(sin x，1)，b（cos x，）ab（sin x

8、cos x，）f(x)(ab)b(sin xcos x)cos x(sin 2xcos 2x)sin（2x），所以最小正周期為.由2k2x2k，得kxk，故單調遞增區間為【k，k】(kZ) 平面向量與三角函數結合的這類題目的解題思路通常是將向量的數量積與模經坐標運算后轉化為三角函數問題，然后利用三角函數基本公式求解【突破訓練3】 在ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，且滿足cos ，3. (1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解(1)因為cos ，所以cos A2cos21，sin A，又由3，得bccos A3，所以bc5，所以SABCbcsin A2.(2)對于bc5

9、，又bc6，所以b5，c1或b1，c5，由余弦定理得，a2b2c22bccos A20，所以a2.【鞏固練習】【練習1】 (2012北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_；的最大值為_【練習2】 (2011新課標全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題：p1：|ab|1；p2：|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4【練習3】 (2011遼寧)若a，b，c均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1 C. D2【練習4】 (2012天

10、津)已知ABC為等邊三角形，AB2.設點P，Q滿足，(1)，R，若，則()A. B. C. D.1解析以，為基向量，設(01)，則，所以()()2011.又，所以()2101，即的最大值為1.2答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，則(ab)21，a22abb21，即ab，cos ab，；若|ab|1，同理求得ab，cos ab，故p1，p4正確，應選A.3解析設a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，則x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，則(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc| ，法一如圖，c(x，y)

11、對應點在上，而式的幾何意義為P點到上點的距離，其最大值為1.法二|abc|，由xy1，|abc|1，最大值為1.答案B4答案A9等差、等比數列的基本問題本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現，考查這兩種數列的概念、基本性質、簡單運算、通項公式、求和公式等，屬于中檔題；以解答題出現時，考查等差、等比數列的通項公式與求和等知識，屬于中檔題；有的與函數、不等式、解析幾何等知識結合考查，難度較大必備知識1.等差數列的有關公式與性質(1)an1and(nN*，)(2)ana1(n1)d.(3)Snna1d.(4)2anan1an1(nN*，n2)(5)anam(nm)d(n，mN*)；若mnpq，則

12、amanapaq(m，n，p，qN*)；等差數列an的前n項和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數列2.等比數列的有關公式與性質(1)q(nN*，q為非零常數)(2)ana1qn1.(3)Sn(q1)(4)aan1an1(nN*，n2)(5)anamqnm；若mnpq，則amanapaq；等比數列an(公比q1)的前n項和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比數列必備方法1運用方程的思想解等差(比)數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算2深刻理解等差(比)數列的定義，

13、能正確使用定義和等差(比)數列的性質是學好本章的關鍵解題時應從基礎處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數列的相關性質及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運算量，既準又快地解決問題3等差、等比數列的判定與證明方法：(1)定義法：an1and(d為常數)an是等差數列；q(q為非零常數)an是等比數列；(2)利用中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數列；aanan2(nN*)an是等比數列(注意等比數列的an0，q0)；(3)通項公式法：anpnq(p，q為常數)an是等差數列；ancqn(c，q為非零常數)an是等比數列；(4)前n項和公式法：SnAn2Bn(A，B常數)an是

14、等差數列；Snmqnm(m為常數，q0)an是等比數列；(5)若判斷一個數列既不是等差數列又不是等比數列，只需用a1，a2，a3驗證即可1.等差數列和等比數列在公式和性質上有許多相似性，是高考必考內容，著重考查等差、等比數列的基本運算、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題、填空題、還有解答題，題目難度中等【例1】 (2011江西)已知兩個等比數列an、bn滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數列an的通項公式；(2)若數列an唯一，求a的值解(1)設an的公比為q，則b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比數列得(2q)2

15、2(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通項公式為an(2)n1或an(2)n1.(2)設an的公比為q，則由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有兩個不同的實根，由an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a.【突破訓練1】 (2011廣東改編)等差數列an前9項的和等于前4項的和若a11，aka40，則k()A10 B12 C15 D20答案： 設等差數列an的前n項和為Sn，則S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70，而aka40，故k10.2.高考對該內容的考查主要是等差、等比數列

16、的定義，常與遞推數列相結合考查常作為數列解答題的第一問，為求數列的通項公式做準備，屬于中檔題【例2】 設數列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設bnan12an，證明：數列bn是等比數列；(2)求數列an的通項公式(1)證明由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13，由Sn14an2，則當n2時，有Sn4an12.得an14an4an1.an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首項b13，公比為2的等比數列，(2)解由(1)可得bnan12an32n1，.數列是首項為，公差為的等差數列，(n1)n，所以a

17、n(3n1)2n2.【突破訓練2】 在數列an中，a11，an12an2n.(1)設bn.證明：數列bn是等差數列；(2)求數列an的前n項和Sn. (1)證明an12an2n，1.即有bn1bn1，所以bn是以1為首項，1為公差的等差數列(2)解由(1)知bnn，從而ann2n1.Sn120221322(n1)2n2n2n1，2Sn121222323(n1)2n1n2n.兩式相減得，Snn2n2021222n1n2n2n1(n1)2n1.3.從近幾年的考題看，對于等差與等比數列的綜合考查也頻頻出現考查的目的在于測試考生靈活運用知識的能力，這個“靈活”就集中在“轉化”的水平上【例3】 (201

18、2石家莊二模)已知等比數列an的前n項和為Sn，a12，S1、2S2、3S3成等差數列(1)求數列an的通項公式；(2)數列bnan是首項為6，公差為2的等差數列，求數列bn的前n項和 解(1)由已知4S2S13S3,4(a1a1q)a13a1(1qq2)，3q2q0，q0(舍)，或q，an2n1.(2)由題意得：bnan2n8，bnan2n82n12n8.設數列bn的前n項和為Tn，Tn3n(n7)n27n3. (1)在等差數列與等比數列的綜合問題中，特別要注意它們的區別，避免用錯公式(2)方程思想的應用往往是破題的關鍵【突破訓練3】 數列an為等差數列，an為正整數，其前n項和為Sn，數列bn為等比數列，且a13，b11，數列ban是公比為64的等比數列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求證：.(1)解設an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數，an3(n1)d，bnqn1.依題意有由(6d)q64知q為正有理數，故d為6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)證明Sn35(2n1)n(n2)，.遞推數列及其應用遞推數列問題一直是高考命題的特點，遞推數列在求數列的通項、求和及其它應用中往往起至關重要的紐帶作用，是解決后面問題的基礎和臺階，此類題