1、8平面向量線性運(yùn)算及綜合應(yīng)用問(wèn)題1(2012廣東)若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)2(2012四川)設(shè)a，b都是非零向量下列條件中，使成立的充分條件是()Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|3(2012浙江)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，下列選項(xiàng)正確的是()A若|ab|a|b|，則ab B若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得baD若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|4(2012新課標(biāo)全國(guó))已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.1高考一般會(huì)以客觀題的形式重點(diǎn)考查向量的線性運(yùn)算及

2、其應(yīng)用，向量的垂直、平移、夾角和模的運(yùn)算，向量的幾何運(yùn)算等2平面向量作為工具在考查三角函數(shù)、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)常用到，屬于中等偏難題1要理解平面向量具有兩個(gè)方面的特征：幾何特征和代數(shù)特征，可以認(rèn)為平面向量是聯(lián)系幾何圖形和代數(shù)運(yùn)算的紐帶，因此復(fù)習(xí)時(shí)要抓住平面向量的核心特征2由于平面向量在三角函數(shù)、平面解析幾何中的工具作用，所以備考時(shí)要熟練掌握平面向量的基礎(chǔ)知識(shí).必備知識(shí)向量的概念(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.(2)長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量，a的單位向量為.(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4)如果直線l的斜率為k，則a(1，

3、k)是直線l的一個(gè)方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影向量的運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握其運(yùn)算規(guī)律(2)平面向量的數(shù)量積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，而不是向量，要注意運(yùn)算數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的差異，平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律與消去律ab運(yùn)算結(jié)果不僅與a，b的長(zhǎng)度有關(guān)而且與a與b的夾角有關(guān)，即ab|a|b|cosa，b兩非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab，abx1y2x2y10.abab0，abx1x2y1y20.可利用它處理幾何中的兩線平行、垂直問(wèn)題，但二者不能混淆必備方法1當(dāng)向量以幾何圖形的形式

4、出現(xiàn)時(shí)，要把這個(gè)幾何圖形中的一個(gè)向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易使用錯(cuò)誤，向量(其中O為我們所需要的任何一個(gè)點(diǎn))，這個(gè)法則就是終點(diǎn)向量減去起點(diǎn)向量2根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)于非零向量a，b，當(dāng)|ab|ab|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價(jià)于向量a，b互相垂直，反之也成立3兩個(gè)向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線一常考查平面向量的基本概念、線性運(yùn)算、加減運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)同時(shí)，要加強(qiáng)三角形法

5、則、平行四邊形法則應(yīng)用技巧的訓(xùn)練和常用結(jié)論的記憶，難度以中低檔為主【例1】 (2010湖北)已知ABC和點(diǎn)M滿足0，若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5 (1)在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量(2)有的問(wèn)題可以采用坐標(biāo)化解決更簡(jiǎn)單【突破訓(xùn)練1】 如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若(，R)，則的值為_(kāi)解析法一如圖，11，|1|2，|1|4，42.6.法二以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)

6、，C(2 cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B，.由得，6.答案6二數(shù)量積是平面向量最易考查的知識(shí)點(diǎn)，常考查：直接利用數(shù)量積運(yùn)算公式進(jìn)行運(yùn)算；求向量的夾角、模，或判斷向量的垂直關(guān)系，試題較容易也常常與解析幾何結(jié)合命制解答題【例2】 (2012臨沂質(zhì)檢)如圖，ABC中，C90，且ACBC3，點(diǎn)M滿足2，則()A2 B3 C4 D6 平面向量問(wèn)題的難點(diǎn)就是把平面向量的幾何運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合，這里要充分利用平面向量的幾何運(yùn)算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，探究解題的思想【突破訓(xùn)練2】 (20

7、12重慶)設(shè)x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A. B. C2 D10三在近年高考中，三角函數(shù)與平面向量相結(jié)合來(lái)命制綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，三角函數(shù)的變換與求值、化簡(jiǎn)及解三角形等問(wèn)題常以向量為載體，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意解題的靈活性，難度不大【例3】 (2012河北衡水調(diào)研)已知向量a(sin x，1)，b.(1)當(dāng)ab時(shí)，求cos2x3sin 2x的值；(2)求f(x)(ab)b的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由ab，得sin xcos x0，即tan x，cos2x3sin 2x.(2)因?yàn)閍(sin x，1)，b（cos x，）ab（sin x

8、cos x，）f(x)(ab)b(sin xcos x)cos x(sin 2xcos 2x)sin（2x），所以最小正周期為.由2k2x2k，得kxk，故單調(diào)遞增區(qū)間為【k，k】(kZ) 平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的這類題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解【突破訓(xùn)練3】 在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足cos ，3. (1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解(1)因?yàn)閏os ，所以cos A2cos21，sin A，又由3，得bccos A3，所以bc5，所以SABCbcsin A2.(2)對(duì)于bc5

9、，又bc6，所以b5，c1或b1，c5，由余弦定理得，a2b2c22bccos A20，所以a2.【鞏固練習(xí)】【練習(xí)1】 (2012北京)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)；的最大值為_(kāi)【練習(xí)2】 (2011新課標(biāo)全國(guó))已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題：p1：|ab|1；p2：|ab|1；p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4【練習(xí)3】 (2011遼寧)若a，b，c均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1 C. D2【練習(xí)4】 (2012天

10、津)已知ABC為等邊三角形，AB2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，(1)，R，若，則()A. B. C. D.1解析以，為基向量，設(shè)(01)，則，所以()()2011.又，所以()2101，即的最大值為1.2答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，則(ab)21，a22abb21，即ab，cos ab，；若|ab|1，同理求得ab，cos ab，故p1，p4正確，應(yīng)選A.3解析設(shè)a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，則x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，則(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc| ，法一如圖，c(x，y)

11、對(duì)應(yīng)點(diǎn)在上，而式的幾何意義為P點(diǎn)到上點(diǎn)的距離，其最大值為1.法二|abc|，由xy1，|abc|1，最大值為1.答案B4答案A9等差、等比數(shù)列的基本問(wèn)題本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，考查這兩種數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等，屬于中檔題；以解答題出現(xiàn)時(shí)，考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和等知識(shí)，屬于中檔題；有的與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查，難度較大必備知識(shí)1.等差數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)(1)an1and(nN*，)(2)ana1(n1)d.(3)Snna1d.(4)2anan1an1(nN*，n2)(5)anam(nm)d(n，mN*)；若mnpq，則

12、amanapaq(m，n，p，qN*)；等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差數(shù)列2.等比數(shù)列的有關(guān)公式與性質(zhì)(1)q(nN*，q為非零常數(shù))(2)ana1qn1.(3)Sn(q1)(4)aan1an1(nN*，n2)(5)anamqnm；若mnpq，則amanapaq；等比數(shù)列an(公比q1)的前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比數(shù)列必備方法1運(yùn)用方程的思想解等差(比)數(shù)列是常見(jiàn)題型，解決此類問(wèn)題需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算2深刻理解等差(比)數(shù)列的定義，

13、能正確使用定義和等差(比)數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵解題時(shí)應(yīng)從基礎(chǔ)處著筆，首先要熟練掌握這兩種基本數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，然后要熟悉它們的變形使用，善用技巧，減少運(yùn)算量，既準(zhǔn)又快地解決問(wèn)題3等差、等比數(shù)列的判定與證明方法：(1)定義法：an1and(d為常數(shù))an是等差數(shù)列；q(q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(2)利用中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列；aanan2(nN*)an是等比數(shù)列(注意等比數(shù)列的an0，q0)；(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列；ancqn(c，q為非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B常數(shù))an是

14、等差數(shù)列；Snmqnm(m為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列；(5)若判斷一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用a1，a2，a3驗(yàn)證即可1.等差數(shù)列和等比數(shù)列在公式和性質(zhì)上有許多相似性，是高考必考內(nèi)容，著重考查等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算、基本技能和基本思想方法，題型不僅有選擇題、填空題、還有解答題，題目難度中等【例1】 (2011江西)已知兩個(gè)等比數(shù)列an、bn滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an唯一，求a的值解(1)設(shè)an的公比為q，則b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2q)2

15、2(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通項(xiàng)公式為an(2)n1或an(2)n1.(2)設(shè)an的公比為q，則由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根，由an唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a.【突破訓(xùn)練1】 (2011廣東改編)等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和若a11，aka40，則k()A10 B12 C15 D20答案： 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70，而aka40，故k10.2.高考對(duì)該內(nèi)容的考查主要是等差、等比數(shù)列

16、的定義，常與遞推數(shù)列相結(jié)合考查常作為數(shù)列解答題的第一問(wèn)，為求數(shù)列的通項(xiàng)公式做準(zhǔn)備，屬于中檔題【例2】 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13，由Sn14an2，則當(dāng)n2時(shí)，有Sn4an12.得an14an4an1.an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列，(2)解由(1)可得bnan12an32n1，.數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，(n1)n，所以a

17、n(3n1)2n2.【突破訓(xùn)練2】 在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. (1)證明an12an2n，1.即有bn1bn1，所以bn是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知bnn，從而ann2n1.Sn120221322(n1)2n2n2n1，2Sn121222323(n1)2n1n2n.兩式相減得，Snn2n2021222n1n2n2n1(n1)2n1.3.從近幾年的考題看，對(duì)于等差與等比數(shù)列的綜合考查也頻頻出現(xiàn)考查的目的在于測(cè)試考生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上【例3】 (201

18、2石家莊二模)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，S1、2S2、3S3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bnan是首項(xiàng)為6，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 解(1)由已知4S2S13S3,4(a1a1q)a13a1(1qq2)，3q2q0，q0(舍)，或q，an2n1.(2)由題意得：bnan2n8，bnan2n82n12n8.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，Tn3n(n7)n27n3. (1)在等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題中，特別要注意它們的區(qū)別，避免用錯(cuò)公式(2)方程思想的應(yīng)用往往是破題的關(guān)鍵【突破訓(xùn)練3】 數(shù)列an為等差數(shù)列，an為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a13，b11，數(shù)列ban是公比為64的等比數(shù)列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求證：.(1)解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正整數(shù)，an3(n1)d，bnqn1.依題意有由(6d)q64知q為正有理數(shù)，故d為6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)證明Sn35(2n1)n(n2)，.遞推數(shù)列及其應(yīng)用遞推數(shù)列問(wèn)題一直是高考命題的特點(diǎn)，遞推數(shù)列在求數(shù)列的通項(xiàng)、求和及其它應(yīng)用中往往起至關(guān)重要的紐帶作用，是解決后面問(wèn)題的基礎(chǔ)和臺(tái)階，此類題