1、存檔日期： 存檔編號： 江蘇師范大學科文學院本科生畢業設計（論文）論 文 題 目： 貝塞爾大地主題正反算及程序設計姓 名： 姚瑤 系 別： 環境與測繪系 專 業： 測繪工程 年 級 、 學 號： 08測繪 、 088324135 指 導 教 師： 石雙忠 江蘇師范大學科文學院教務部印制摘要 在大地測量計算過程中，大地主題解算計算繁瑣復雜，手工計算易于出錯，而且費時費力。隨著計算機技術的高速發展，計算機計算的速度快、準確度高、計算機語言的豐富、編程可視化等優點為我們將復雜煩瑣的計算過程簡單、簡潔、高效化帶來了契機。為了便于工程計算，本課題著眼于研究借助計算機及其編程語言MATLAB來實現大地主題

2、解算問題。 大地主題解算方法，主要有高斯平均引數法、勒讓德級數法、貝塞爾法。前兩種方法受到大地線長度的制約，隨著大地線兩端點的距離加大，其解算精度明顯降低。而貝塞爾法具有不受大地線長度制約的優點，解算精度最大不超過5毫米，是大地主題解算方法中解算精度最高的一種。因此，本文就以貝塞爾法為研究對象，開發貝塞爾大地主題解算小程序。關鍵詞：貝塞爾大地主題正反算，程序設計Abstract In Geodetic computation process, the solution of geodetic problem computational complexity of manual calculat

3、ion, error prone, and took the time and trouble. With the rapid development of computer technology, computational speed, high accuracy, computer language, the advantages of rich programming visualization for we will complex complicated calculating process is simple, concise, efficient change brings

4、opportunity. For the convenience of engineering calculation, this paper focus on the research of have the aid of computer and programming language MATLAB to realize the geodetic problem solving. Solution of geodetic problem method, mainly Gauss average argument method, Legendre series expansion meth

5、od, Bessel method. The former two methods by geodesic length constraints, along with the line ends point distance increase, the calculation precision significantly reduced. Bessel law is not affected by the advantages of geodesic length restriction, calculation accuracy of less than 5mm, is the them

6、e of the earth solution method of calculating precision is highest kind. Therefore, this article on Bessel law as the object of study, the development of Bessel solution of geodetic problem of small procedures. Key words：Direct and inverse solution of geodetic problem，The designing of program目錄摘要IAb

7、stractII1. 橢球面和球面上對應元素間的關系11.1 貝塞爾法解算大地問題的基本思想11.2 對應元素關系式12. 在球面上進行大地主題解算52.1 球面上大地主題正解方法62.2 球面上大地主題反解方法63. 貝塞爾微分方程的積分83.1 用于大地主題反算時的大地線長度公式83.2 用于大地主題正算時的大地線長度公式103.3 橢球面大地線端點經差與球面經差的關系式113.4 反解時，大地線長度和球面長度關系式的簡化134. 貝塞爾大地主題正解算步驟154.1 計算起點的歸化緯度154.2 計算輔助函數值154.3 計算系數154.4 計算球面長度154.5 計算經差改正數164.6

8、 計算終點大地坐標及大地方位角165. 貝塞爾大地主題正解算MATLAB程序設計175.1 正算流程175.2 界面設計及功能模塊編寫186. 貝賽爾大地主題反解算步驟236.1 輔助計算236.2 用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長度及經差：236.3 計算系數及大地線長度S246.4 計算反方位角247. 貝塞爾大地主題反解算MATLAB程序設計257.1 反算流程257.2 界面設計及功能模塊編寫268 總結29參考文獻31致謝291. 橢球面和球面上對應元素間的關系1.1 貝塞爾法解算大地問題的基本思想基本思想：將橢球面上的大地元素按照貝塞爾投影條件投影到輔助球面上，繼而在球面

9、上進行大地問題解算，最后再將球面上的計算結果換算到橢球面上。由此可見，這種方法的關鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應元素之間的關系式，同時也要解決在球面上進行大地主題的解算。1.2 對應元素關系式 圖 1-1橢球面與球面 如圖 1-1所示，在橢球面極三角形中，用及分別表示大地線上某點的大地坐標，大地線長及大地方位角。在球面極三角形中，與之相應，用及分別表示球面大圓弧上相應點的坐標，弧長及方位角。在橢球面上，大地線微分方程為 （1.1）在單位圓球面上，易知大圓弧的微分方程為： （1.2） （1.3） （1.4） （1.5）為了簡化計算，貝塞爾提出以下三個投影條件：（1）橢球面大地線投影到

10、球面上為大圓弧；（2）大地線和大圓弧上相應點的方位角相等；（3）球面上任意一點緯度等于橢球面上相應點的歸化緯度。按照上述條件，在球面極三角形中，根據正弦定理得： （1.6）另外，根據大地線克萊勞方程 （1.7）比較兩式，易知： （1.8）這表明在貝塞爾投影方法中，方位角投影保持不不變。至此，在貝塞爾投影的六個元素中，其中四個元素()的關系已經確定，余下的與,與的關系尚未確定。下面我們首先建立他們之間的微分方程。 根據第一投影條件，可使用（1.3）、（1.4）及（1.5）式，顧及第二投影條件（），則由（1.5）式可得： （1.9）將上式代入（1.3）式，得： (1.10)進而得到 （1.11）

11、現在我們研究以上三個方程的積分。首先對（1.10）式，可寫成: （1.12）由于，則 （1.13）則 或 （1.14）式中C積分常數。根據貝塞爾投影第三條件確定常數C，由于，因為，于是。 再來研究（1.9）和（1.11）式，根據第三投影條件，他們可以寫成 （1.15） （1.16）又因為 則 因此（1.15）及（1.16）式可以寫成下式 （1.17） （1.18）以上兩式稱為貝塞爾微分方程，他們表達了橢球面上大地線長度與橢球面上大圓弧長度，橢球面上經差與球面上經差的微分關系，下面對這組方程進行積分： （1.19） （1.20）就可求得S與，L與的關系式。2. 在球面上進行大地主題解算 圖 2-

12、1球面 如圖2-1所示，在球面上有兩點和，其中P1點的大地緯度為，大地經度為，點的大地緯度為，大地經度為；和點間的大圓弧長為，的方位角為，其反方位角為，球面上大地主題正算是已知，要求，和經差；反算問題是已知，和經差，要求，及。 在球面上進行大地主題正反算，實質上是對極球面三角形的解算。為了解算極球面三角形可用采用多種球面三角形公式。在這里，我們給出正切函數式其優點是能保證反正切函數的精度。在有關計算中，反三角函數應用最少，易于編寫計算機程序，從而使其得到實質性的改善。 現在我們首先把極球面三角元素間的基本公式匯總如下： （2.1） （2.2） （2.3） （2.4） （2.5） （2.6）至此

13、，在貝塞爾投影的六個元素中，其中四個元素 （2.7） （2.8） （2.9）2.1 球面上大地主題正解方法此時已知：，要求和經差。首先按（2.9）式計算，繼而用下式計算： （ （2.1.1）為了確定經差，將（2.1）÷（2.6），得 （2.1.2）為求出反方位角，將（2.8）÷（2.7），得 （2.1.3）2.2 球面上大地主題反解方法反算問題是已知和經差，要求：及。為確定正方位角，我們將（2.1）÷（2.3）式，得 （2.2.1）式中 （2.2.2）為求定反方位角，我們將（2.2）÷（2.4）式，得 （2.2.3）為求解出球面距離，我們首先將（2.1）

14、式與相乘，（2.3）式與相乘，并將它們相加，將相得到的加結果再除以（2.5）式，得 （）式中及見（）式。3. 貝塞爾微分方程的積分 為了便于數值計算，有必要將（1.19）及（1.20）進行積分，展開為某個參數的具體函數式。3.1 用于大地主題反算時的大地線長度公式首先我們來探討（1.19）式的積分圖3-1 球面見圖3-1 球面所示，將大圓弧延長與赤道相交于，此點處大圓弧方位角為，則在球面直角三角形中， 則 于是（1.20）式可寫成 （3.1.1）式中b橢圓短半徑。 對被積函數的常數引用符號 （3.1.2）則 （3.1.3） 為了便于積分，將被積函數展開級數為： （3.1.4）很顯然，由于k中含

15、偏心率,所以它收斂快。 為了便于積分，將冪函數用倍數函數代替:合并同類相后，得 （3.1.5）對上式中的最后一項進行積分后，乘以橢球短半徑b，得 甚至在最精密的計算中，它也可以忽略不計。其他三角函數積分后，分別得 （3.1.6） （3.1.7）所以，我們可以得到具有足夠精度保證的S與的關系式： （3.1.8)式中 （3.1.9）將克拉索夫斯基橢球元素值代入上式，得 （3.1.10） 由此可知(3.1.8)式的解算精度與距離長短無關，其誤差最大不超過0.005m。利用此式可計算從赤道開始至大圓弧任意一點的大地線的長度。為了計算兩點間的大地線長度，對這兩點分別使用(3.1.8)式后，得： （3.1

16、.11）因為,所以 （3.1.12）此式用于大地主題反算。3.2 用于大地主題正算時的大地線長度公式 當正算時，可采用趨近法和直接法。對于逐次趨近法，由(3.1.12)式可得 （3.2.1）第一次趨近時，初值可采用 （3.2.2）對于直接法，由（）式第二式，得 （3.2.3）根據三角級數反解規則，由上式解出 (3.2.4)式中 (3.2.5)對于式右端第二項的數值很小，如果舍去，誤差不會超過0.0001",故在許多情況下可以認為。 由于,顧及（3.1.11）式第一式，得 依據（3.2.2）式，上式可寫為 （3.2.6）所以由（3.2.4）式和（3.2.6）式，經某些變換后，可得 （3

17、.2.7）此式即為對的直接解法公式，比（3.2.1）式有優點。3.3 橢球面大地線端點經差與球面經差的關系式 在積分前，必須對被積做某些變換，以使被積函數中的變量和積分變量一致。所以要探討（1.20）式的積分。首先將被積函數展開級數，并對第一項積分后，得： （3.3.1）注意到 （3.3.2） 又根據貝塞爾投影條件，在球面三角形中有 則易得 （3.3.3）將（3.3.2）式及（3.3.3）式代入（3.3.1）式，得 （3.3.4）將三角函數的冪函數用倍數函數代替，并且合并同類項后，得： （3.3.5）上式右端的截斷項，其值小于0.00015"。 對于上式積分，并代入及，則得到緯差計算

18、公式：對于正算，有 （3.3.6）對于反算，有 （3.3.7）式中 （3.3.8）當將克拉索夫斯基橢球元素值代入，得系數 （3.3.9）用這些系數計算經差的誤差不大于0.0002"。3.4 反解時，大地線長度和球面長度關系式的簡化下面我們來研究反解問題時，計算S和的更簡化的公式。對于（3.1.12）式可改寫為 （3.4.1）則 （3.4.2）為便于計算機編程計算，還需對上式進行一些變換。由于在球面三角形中有公式于是有根據，經某些變化則得此外把這些公式代入（3.4.2）式，可得： （3.4.3）引入符號 （3.4.4）將它代入到（3.4.3）式，得到反解時計算大地線長度的公式 （3.4

19、.5）然后將克拉索夫斯基橢球元素值代入，則 （3.4.6）（3.4.5）式的優點是不必計算及其三角函數值，且系數計算也簡單。仿此，對（3.3.7）式變換后有 式中系數，對克拉索夫斯基橢球 （3.4.7）4. 貝塞爾大地主題正解算步驟已知：點的大地經緯度，和,兩點間的大地方位角及大地線長度求：點的大地經緯度,和大地反方位角。4.1 計算起點的歸化緯度4.2 計算輔助函數值4.3 計算系數對于克拉索夫斯基橢球，有4.4 計算球面長度4.5 計算經差改正數4.6 計算終點大地坐標及大地方位角符號+-符號+-+180°-180°符號-+符號+-+-180°-180

20、6;+360°-,第一象限角。5. 貝塞爾大地主題正解算MATLAB程序設計5.1 正算流程Begin輸入a b B1 L1 A1 S計算起點歸化緯度W1 sinu1 cosu1計算輔助函數值sinA0 cot1 sin21 cot21計算系數A B C 計算球面長度計算經差改正數B2 L2 A2輸出B2， L2， A2算例：已知：=47°4652.6470;=35°4936.3300 =44°1213.664; S=44797.2826m求得：=48°0445.0004; =36°1452.6470 =224°3053.5

21、505.2 界面設計及功能模塊編寫（1）在開始運行系統時，首先呈現在用戶面前的是圖5-2-1所示的主界面。 圖5-2-1貝塞爾大地主題解算界面在該界面窗體上:A.添加一個菜單編輯（Menu Editor）,該菜單用于鏈接橢球參數設置界面。B.一個靜態文本框（Static Text),用于說明標題貝塞爾大地主題解算。C.兩個單選框（Radios Button），用于選擇正算和反算。D.兩個命令按鈕（Push Button),用于控制狀態，可供用戶選擇確定和取消功能。a.右擊確定按鈕中的View Callbacks中的Callback,添加代碼如圖5-2-2所示圖5-2-2單選框按鈕代碼編寫b.右

22、擊確定按鈕中的View Callbacks中的Callback,添加代碼如圖5-2-3所示圖5-2-3確定按鈕代碼（2） 選中正算按鈕，然后點擊菜單橢球參數設置界面。如圖5-2-4所示該界面窗體上：A. 三個靜態文本框（Static Text),一個用于說明標題橢球參數設置，兩個用于注釋橢球參數a和b.B.兩個可編輯文本（Edit Text）,用于輸入數據，即參數a和b的輸入。C.兩個命令按鈕（Push Button),用于控制狀態，可供用戶選擇確定和取消功能。 圖5-2-4橢球參數設置界面a. 右擊確定按鈕中的View Callbacks中的Callback,添加代碼如圖5-2-5所示圖5-

23、2-5確定按鈕代碼b.右擊取消按鈕中的View Callbacks中的Callback,添加代碼如圖5-2-6所示圖5-2-6取消按鈕代碼（3） 點擊圖5-2-4界面上的確定按鈕，然后點擊即5-2-1界面上的確定按鈕，即可進入正算界面。圖5-2-7所示 圖5-2-7正算界面在該窗體上：A.八個靜態文本框（Static Text),用于說明標題正算，四個靜態文本框用于注釋要輸入的數，即、和，另外三個用于計算時要輸出的結果，即、和。B.兩個命令按鈕用于計算和退出功能。a.右擊計算按鈕中的View Callbacks中的Callback,添加代碼如圖5-2-8所示圖5-2-8正算計算按鈕代碼b.同樣

24、右擊退出按鈕中的View Callbacks中的Callback，添加代碼如圖5-2-9 圖5-2-9退出按鈕代碼(4)在圖5-2-7中靜態文本框中輸入已知數據，然后點擊計算，則會出現如下界面 圖5-2-10正算結果運行界面通過與上面的算例結果進行比較，該結果與算例中的小數點后面的數據有點誤差，這是由于計算機取位的原因引起的。6. 貝賽爾大地主題反解算步驟已知：,兩點的大地經緯度,和,。求：,兩點間的大地線長S和正反大地方位角,。6.1 輔助計算 ， , , ， ， 6.2 用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長度及經差：第一次趨近時，取，符號+-符號+-+180°-180

25、76;+ 360°- 符號+-180°、第一象限的角度。系數及按（3-4-7）式計算，用算得的計算，依此，按上述步驟重新計算得再用計算，仿此一直迭代，直到最后兩次相同或小于給定的允許值。、及均采用最后一次計算的結果。6.3 計算系數及大地線長度S6.4 計算反方位角的符號確定與相同。7. 貝塞爾大地主題反解算MATLAB程序設計7.1 反算流程Begin計算A , B , C , S , A2計算， A1 ，, x , sinA0i>i i , i=l+i , A1計算輔助函數W1 W2 sinu1 sinu2 cosu1 cosu2 L a1 a2 b1 b2輸入a

26、 b B1 L1 L2 B2輸出S , A1 , A2算例：已知:=47°4652.6470； =35°4936.3300 =48°0409.6384； =36°1445.0004求得：S=44797.2826； =44°1213.664 =224°3053.55047.2 界面設計及功能模塊編寫（1）在開始運行系統時，點擊反算，呈現在用戶面前的是圖7-2-1所示的主界面。圖7-2-1貝塞爾大地主題解算界面（2）點擊左上角橢球參數設置菜單，如圖7-2-2所示圖7-2-2橢球參數設置界面（3） 在圖7-2-2界面中點擊確定，在主界面中點

27、擊確定，進入反算界面，如圖7-2-3所示。圖7-2-3反算界面在該窗體上：A.八個靜態文本框（Static Text),用于說明標題反算，四個靜態文本框用于注釋要輸入的數，即、和，另外三個用于計算時要輸出的結果，即S、和。B.兩個命令按鈕用于計算和退出功能。a. 右擊計算按鈕中的View Callbacks中的Callback,添加代碼如圖7-2-4所示。圖7-2-4反算計算按鈕代碼b.同樣右擊退出按鈕中的View Callbacks中的Callback，添加代碼如圖7-2-5所示。圖7-2-5退出按鈕代碼(4)在圖7-2-3中靜態文本框中輸入已知數據，然后點擊計算，則會出現如下界面。圖7-2-6反算運行結果界面通過與上面的算例結果進行比較，該結果與算例中的小數點后面的數據有點誤差，這是由于計算機取位的原因引起的。8 總結大地主題解算的步驟過程非常復雜，公式繁多。傳統的手工計算方法確實困難重重，嚴重不能滿足現代測繪的高速、高效、高精度、大批量處理的計算要求。因此，借助計算機語言編制大地主題解算的應用小程序具有現實意義和實用價值。本文編制的貝塞爾大地主題解算小程序，具有如下優點：（1） 界面美觀、簡潔、易讀性強。無論正算還是反算，設計界面只有幾個控件或菜單。