1、一. 定義域1.基本: 定義域通常實際背景和使式子有意義兩部確定,I>分母0.II>偶次方根被開方數非負.III>定義式中的規(guī)定(a=1(a0).Iv>求交集.2.復合函數定義式:I>若f(x)定義式為a,b則fg(x)有ag(x)b,II> fg(x) 定義域指x的取值范圍(如fg(x) 定義式為a,b則axb,III>已知fg(x)的解析式求f(t)定義域:先求f(t)的解析式,再求t范圍.IV>.已知fg(x)的解析式,求fh(x)定義域: 先求f(t) 定義域為a,b再由ah(x)b求x范圍.總之定義域是自變量x的取值范圍.二.值域常用方

2、法L(1)配方法(形如y=ax+bx+c(a0)型)(2)分離常數法(形如y=(分子次數分母次數)化成y=k+形式,以(h,k)為中心的反比例函數)(3)判別式法(形如y=(能化為一元二次方程)(4)換元法(形如y=ax+b+或y=此類型用三角換元型,此類還可以用單調性或導數方法求解)(5)圖像法(形如y=型)(6)單調性(7)反函數(形如y=)(8)均值不等式(9) 導數 常用均值不等式的應用L(1)x+2(x>0), x+-2(x<0)(2)x(1-2x)=.2x.(1-2x)(3)x+=x+(4)x(1-2x)=(5)(6)以上均注意“配式”及“等號”成立的條件三函數的單調性

3、(1) 定義:對于給定區(qū)間上的函數f(x).(i) 如果對于屬于這個區(qū)間上的任意兩個變量的值則就說f(x)在此區(qū)間上是增(或減)函數(ii)若y=f(x)在某區(qū)間上是增(或減) 函數,就說f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性,這一區(qū)間叫f(x)的單調區(qū)間.(iii)對于些點不連續(xù)的函數,單調區(qū)間不包括不連續(xù)點,如y=在x=0不屬于定義域,故它只能在單調減區(qū)間(2) 單調性判定方法:1>從圖象上略觀察2>用定義(步驟:I>設II>作差III>看號碼3>轉化為熟知函數4>導數5>復合函數單調性(若6>配式(適合于抽象函數)(構造法)(說明:

4、奇,偶函數只需判斷原點左(或右)側單調性,另一部份利用其性質判定)(3) 最值(1)I>定義:<1>(即M在值域內),則稱f(x)在a,b上的最大(或最小)值為M.<2>從圖像上看最高(或最低)點的縱坐標為最大(或最小)值.其中稱為最大(或最小)值點。II>求最值方法與求值域方法類似.但注意二者區(qū)別,如f(x)在(a,b)有值域,不一定有最值(.4).重要結論I>反比例函數II>圖像 (1) (2) (3) (4) y=x+ 用途:求最值III>.1.一次函數，二次函數:1.> 一次函數的解析式:y=kx+b(k0),b叫一次函數y在

5、軸上的截距。圖像和性質。2>. 二次函數的三種表示形式:y=ax+bx+c=a(x+)+=a(x-) (x-x)(a0),圖像和性質,及a,b,c的作用,例如a確定開口方向,形狀,開口大小,a.2>二次函數是偶函數b=0.推廣:多行式為偶函數奇次項系數為0; 多行式為奇函數偶次項系數為0(包括常數項). 2.二次函數最值問題: 二次函數在p,q上最值問題（分對稱軸在區(qū)間左，中，右三種情況討論）.3.恒成立問題 I> 1>注意的區(qū)別.例如 I>使f(x)取遍所有正數,定義域只需f(x)>0即可II>.定義域為Rf(x)>0恒成立其解集為R。說明:1

6、.a>f(x)(或<f(x)恒成立,而f(x)的最值不易求,可對a分類討論求解,合適部分取,不合適部分舉反例舍之(尤其與導數有關的題).23說明：若f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立，等價于在區(qū)間D上函數y=f(x)圖象位于y=g(x)圖象上方2>恒成立3>一元二次不等式(或方程)在p,q恒成立(或有解)求參數范圍問題的處理策略:i>分離變量法.ii>數行結合iii>對“對稱軸”在p,q左,中,右討論找最值iiii>根的分布(實質是用函數的觀點解決方程或不等式，一元二次不等式(或方程)對“,對稱軸與端點關系, 端點與函數值符號” 討論；一般情況根的

7、分布和零點問題解題方法：一元二次問題（見下面）；數形結合；分離常數法)(1)i>一元二次方程在R上有解ii>一元二次方程在上有解及韋達定理求解iii>一元二次方程在p,q 有解,據在p,q有無根,一根, 兩根 討論.(2)i>一元二次不等式在R上恒成立及二項式系數符號ii>一元二次不等式在p,q恒成立可用述 iiiii方法求解。說明：解題歸納:<1>與函數f(x) 相關:i>若f(x)定義域為A且f(x)在集合B上有意義,則BA.ii> f(x)的單調增(或減)區(qū)間為A且f(x)在區(qū)間B上單調增(或減), 則BA.i>.ii>關

8、鍵字是“在”. 例如：集合與恒成立關系：集合A在B上恒成立BA；f(x)在a,b上單調遞增 0在a,b上恒成立；其中恒成立問題解題方法：（1）分離常數法（2）數形結合（3）根的分布（函數觀點）。(iii>若f(x)值域為A且f(x)取值范圍為B,則AB.四函數奇偶性L(1)定義: 定義域關于原點對稱且f(-x)=±f(x)稱偶(或奇) 函數(2)性質1>奇函數關于原點對稱;偶函數關于y軸對稱且f(x)=f(x)反只亦然.2>兩奇(或偶) 函數之積(或商)為偶函數;一奇一偶 函數之積(或商)為奇函數3>I>f(x)為奇函數且x=0處有定義f(0)=0II&

9、gt;f(x)為奇函數:若0,+則f(x)在R;若(0,+則f(x)只能說在(3) 復合函數的奇偶性:I>f(x)為偶函數則f-(x+1)=f(-x-1)=f(x+1);f(x+1)為偶函數,設g(x)=f(x+1)則g(-x)=g(x)即f(-x+1)=f(x+1)II>f(x)為奇函數,則f-(x+1)=-f(x+1);f(x+1)為奇函數則f(-x+1)=-f(x+1)(4)判定方法:1>定義域關于原點對稱且f(-x)=±f(x)(或變行式).2>圖象法3>性質五函數周期性(1) 定義:當x在定義域每一個值都有f(x+T)=f(x)則T為f(x)的

10、一個周期(x+T必須在定義域)(2)性質:I>若T為f(x)的一個周期則nT亦為f(x)周期;無數個周期中,其中最小正的周期叫最小正周期(不是所有周期函數都有最小正周期).沒有特殊說明一般指最小正周期II>由定義f(x+T)=f(x)知x系數相同可考慮周期如f(x+a)=-f(x)或或等可由f(x+2a)=-f(x+a)=f(x)T=2aIII>y=f(x)既是奇函數又是偶函數則f(x)恒為0,這樣的函數有無數個(定義域不定)（3）周期的求法:I>定義II>性質:據f(x)與同周期III>圖像法六、圖像變換 1.平移變換(只與x,y有關,即向負軸方向移為“+

11、”,向正軸方向移為“-”) y=f(x)y=f(x)+k(或y=f(x)-k) 2.伸縮變換(只與x,y系數即x,y前面系數變化值與伸縮變化倍數互為倒數)3對稱變換：一、特殊對稱及軸對稱變換1>關于原點,x軸,y軸,y=x,y=-x對稱特征2>作圖：I>y=f(x)圖象可將y=f(x)圖象x軸下方圖沿x軸翻折到x軸上方,其余部分不變.II>y=f(x)作y=f(x)的x0的圖象,再作關于y軸的對稱圖象 III>y=;均關于直線kx+b=0對稱。3>.軸對稱(1)特例:y=f(x)關于x=a對稱(2)一般情況f(a+x)=f(b-x)y=f(a+x)與y=f(

12、b-x)兩圖象關于x+a=b-x即x=對稱4>復合函數對稱問題:y=f(2x)關于x=1對稱,則y=f(x)關于x=2×1=2對稱;y=f(x)關于x=1對稱則y=f(2x)關于2x=1即x=.5>.一般對稱I）軸對稱為PP為中垂線二、.中心對稱問題:（1）關于點(a,b)成中心對稱,證明方法I>即證;II>(常用于抽象函數) 在y=f(x)上成中心對稱,即證y=f(x)上任兩點關于(a,b)對稱（2）若f(a+x)=-f(b-x),則y=f(x)關于(,0)對稱;y=f(x)關于M(a,b)對稱f(a+x)+f(a-x)=2b;歸納：I）中心對稱問題:f(x

13、)+f(2a-x)=2b的對稱中心II）中心對稱:點O為的中點4作圖方法I描點法II變換作圖（平移，對稱，伸縮） 圖 (1) 圖 (2)5解題歸納：(1)對稱與周期的綜合:y=f(x)關于(a,0)和(b,0)對稱,則y=f(x)以2(b-a)為周期；y=f(x) 關于(a,c)及x=b對稱,則y=f(x)以T=4(b-a)(b>a)為周期;f(x)為奇，偶函數且關于x=a對稱;則y=f(x)分別以T=4a,2a為周期。y=f(x)關于x=m和x=n對稱,則y=f(x)以T=2m-n周期.歸納：對稱與周期關系：有兩對稱，則必為周期函數，可利用三角圖象記憶。（2）x系數互為相反數可考慮對稱

14、,x系數相同可考慮周期.(3)已知y=f(x)在某區(qū)間上解析式求另一區(qū)間上解析式方法:方法1:利用周期將自變量轉化到已知解析式內;方法2:圖象法(尤其是一次,二次函數)七、零點個數的判斷方法:求根；存在性定理；數形結合八.由導數圖像可得原函數(1)單調性(2)極值(3)凹凸性，如,如九.三次函數與四次函數相關結論1>有唯一對稱中心, 對稱中心的橫坐標與其導數頂點的橫坐標相同.2>.以對稱中心為切點的切線有且僅有一條.如y=,對稱中心為(0,0),中心為切點的切線僅有x軸.3>.設f(x)的對稱中心為（P在f(x)的圖象上）是圖象上關于P的兩對稱點，則由對稱性可知，f(x)在A

15、,B兩點處斜率相等，即；從而求點的坐標。說明:I >之根為三次多項式對稱中心的橫坐標; 為四次多項式對稱軸.II>對圓或圓錐曲線求導可利用隱函數求導方法進行.(與大學有關知識還有中值定理（零點存在性定理）,兩邊夾法則,洛比達法則,二階求導).十有關切線問題I>（）為切線上另一點。PII>P在y=f(x)外,設切點為III>切線斜率k不存在時,利用數形結合求解IV>.注意在點與過點P切線區(qū)別.十一.單調性I>(充分性)設y=f(x)在(a,b)內可導,若則f(x)為增(或減)函數(適合于求已知函數f(x)單調區(qū)間)II>(必要性)已知函數f(x)

16、在(a,b)內單調遞增(或減),則.III>(充要性) 已知函數f(x) 在(a,b)內單調遞增(或減),則且不恒為0(適合于求參數范圍)極值點處特征I>代數特征: =0或不存在.II>幾何特征:=0或不存在.(4)I>可導函數f(x)在處存在極值=0且在兩側異號.II>函數f(x) 在處存在極值=0且在兩側異號或不存在,如右圖.5. =0既不是函數f(x)在處取極值的充分條件,也不是必要條件.6解題小結:I> (0,1)恒成立,則 a0 若在 0,1 恒成立則 a<0。II>端點處連續(xù),則加“”.III>兩單調區(qū)間一般不能用“”, 應單獨

17、寫用“和”字連接.IV>若f(x) 存在極值且=>0而不是0.V>區(qū)間端點不能為極值點,但可以為最值點十二.導函應用:1>單調性.2>極值和最值.3>在物理上應用 (如；).4>近似計算().5>不等式:I>證不等式(函數不等式證明方法1>.單調性.2>導數:步驟:構造函數F(x),利用導數求最值,據F(x)或F（x）進行證明.II>求參數a的范圍:如a>f(x)恒成立(利用導數畫草圖求f(x)最值或當f(x)最值不易求時,有時進行分類討論或.7>判斷方程的根的情況I>可利用中值定理.II>求參數a

18、的范圍:如利用導數畫草圖(當x或開區(qū)間時,有時利用極限找其變化情況):據數形結合a=f(x)(即a可分離出來)或構造函數F(x)=0(即a不易分離出來)利用極值符號求解(包括兩曲線有交點的題型).十三.定積分的簡單應用:1、求曲邊梯形的面積;S=2、 物理上的應用;路程：s=vt=v(t)位移s=;路程S=.功;W=FSF(x) W=(力與位移同向，F（x）0)典型例題 1、（2013年重慶（理）若,則函數的兩個零點分別位于區(qū)間( )A.和內 B.和內 C.和內 D.和內2、2013年高考四川卷（理）設函數(,為自然對數的底數).若曲線上存在使得,則的取值范圍是( )(A) (B) (C) (

19、D)3、（2013年大綱版（理）已知函數的定義域為,則函數的定義域為(A) (B) (C) (D)4、（2013年高考四川卷（理）函數的圖象大致是( )5、（2013年遼寧（理）已知函設表示中的較大值,表示中的較小值,記得最小值為得最小值為,則 (A) (B) (C) (D)6、（2013年安徽（理）若函數有極值點,且,則關于的方程的不同實根個數是(A)3 (B)4 (C) 5 (D)67、（2013年高考新課標1（理）若函數=的圖像關于直線對稱,則的最大值是_.8、（2013年高考湖南卷（理）設函數(1)記集合,則所對應的的零點的取值集合為_.(2)若_.(寫出所有正確結論的序號)若9、（2013年安徽（理）設函數,其中,區(qū)間()求的長度(注:區(qū)間的長度定義為);()給定常數,當時,求長度的最小值.10、（2013年高考湖北卷（理）已知為常數,函數有兩個極值點,則（）AB CD11、（2013年遼寧（理）設（）A有極大值,無極小值B有極小值,無極大值 C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值12、（2013