1、第十八講二次函數與平行四邊形綜合、教學內容1. 二次函數的表示，二次函數圖像與性質；2. 平行四邊形的性質和判定；3. 函數圖像與平行四邊形的綜合應用，典型應用、圖像題；二、例題細看【例1】：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y - x 6與x軸、y軸的交點分 別為A B，4將 OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.1直接寫出點C的坐標，并求過 A、B C三點的拋物線的解析式；2 假設拋物線的頂點為 D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形 ODAP為平行四邊形？假設 存在，求出點P的坐標；假設不存在，說明理由；3設拋物線的對稱軸與直線 BC的交點為T ,Q為線段BT

2、上一點，直接寫出 QA QO的取值 范圍考點分析二次函數綜合題xPEC分析1點A的坐標是縱坐標為 0，得橫坐標為8,所以點A的坐標為8，0；點B的坐標是橫坐標為 0，解得縱坐標為6，所以點B的坐標為0，6；由題意得：BC是/ ABO的角平分線，所以 OC=CH BH=OB=6AB=10, AH=4 設 OC=x 貝U AC=8-x 由勾股定理得：x=3點C的坐標為3，0將此三點代入二次函數一般式，列的方程組即可求得；2 求得直線 BC的解析式，根據平行四邊形的性質，對角相等，對邊平行且相等，借助于三函 數即可求得；(3)如圖，由對稱性可知 QO=QH |QA-QO|=|QA-QH| .當點Q與

3、點B重合時，Q H A三點共線，|QA-QO|取得最大值4 (即為AH的長)；設線段 OA的垂直平分線與直線 BC的交點為K當點Q與 點K重合時，|QA-QO|取得最小值0.跟蹤練習例1.(浙江義烏市)如圖，拋物線y x2 2x 3與x軸交A B兩點(A點在B點左側)，直 線丨與拋物線交于 A、C兩點，其中C點的橫坐標為2.(1) 求A B兩點的坐標與直線 AC的函數表達式；(2) P是線段AC上的一個動點，過 P點作y軸的平行線交拋物線于 E點，求線段PE長度的最大值；(3) 點G是拋物線上的動點，在 x軸上是否存在點 F,使A C F、G這樣的四個點為頂點的四邊形 是平行四邊形？如果存在，

4、求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由.【例2】 如圖，點O是坐標原點，點 A(n , 0)是x軸上一動點(n 0).以AO為一邊作矩形 AOBC，點C在 第二象限，且 OB 2OA .矩形AOBC繞點A逆時針旋轉 90得矩形AGDE .過點 A的直線 y kx m (k 0)交y軸于點F , FB FA .拋物線y ax2 bx c過點E、F、G且和直線 AF 交于點H，過點H作HM x軸，垂足為點M .求k的值；點A位置改變時，AMH的面積和矩形 AOBC的面積的比值是否改變？說明你的理由.PEC分析(1)由題意知 OB=2OA=2n在直角三角形 AEO中, OF=OB-BF=

5、-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF的表達式，也就求出了 FB的長，由于F的坐標為(0, nr)據此可求出 m n的關系式，可用n替換掉一 次函數中m的值，然后將 A點的坐標代入即可求出 k的值.(2) 思路同(1) 一樣，先用n表示出E、F、G的坐標，然后代入拋物線的解析式中，得出 a, b, c與n 的函數關系式，然后用 n表示出二次函數的解析式，進而可用 n表示出H點的坐標，然后求出 AMH的面 積和矩形AOBC勺面積進行比擬即可.跟蹤練習(1)在圖1, 2, 3中，給出平行四邊形 ABCD的頂點A, B, D的坐標 2, 3中的頂點C的坐標，yF圖)，寫出圖1 ,CD(4,0)圖1(

6、2)在圖4中，給出平行四邊形B(1,2)ABCD的頂點A B,B(c, d)A(a, b) D(e, b)> XD的坐標(如下列圖)，求出頂點坐標用含a , b, c, d , e, f的代數式表示)；歸納與發現(3) 通過對圖1, 2 , 3 , 4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發現：無論平行四邊形 ABCD處于直角 坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為 A(a , b) , B(c, d) , C(m , n) , D(e, f)(如圖4)時，那么四個頂 點的橫坐標a , c, m , e之間的等量關系為；縱坐標 b , d , n , f之間的等量關系為運用與推廣21519(4) 在

7、同一直角坐標系中有拋物線y x (5c 3)xc和三個點G c, c, S c, c,2 22 2H (2c , 0)(其中c 0) 問當c為何值時，該拋物線上存在點P,使得以G , S, H , P為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點坐標.【例3】 如圖1, Rt ABC中， A 90 , tanB 3，點P在線段AB上運動，點Q、R分別在線段BC、4AC上，且使得四邊形 APQR是矩形設AP的長為x ,矩形APQR的面積為y，y是x的函 數，其圖象是過點 12,36的拋物線的一局部(如圖 2所示).(1 )求AB的長；(2) 當AP為何值時，矩形 APQR的面積最大，并求出

8、最大值為了解決這個問題，孔明和研究 性學習小組的同學作了如下討論：張明：圖2中的拋物線過點 12,36在圖1中表示什么呢？李明：因為拋物線上的點(x,y)是表示圖1中AP的長與矩形APQR面積的對應關系，那么12,36表示當AP 12時，AP的長與矩形APQR面積的對應關系趙明：對，我知道縱坐標 36是什么意思了！B孔明：哦，這樣就可以算出 AB，這個問題就可以解決了 請根據上述對話，幫他們解答這個問題考點點評此題結合三角形、矩形的相關 知識考查了二次函數的應用，用數形結 合的思路求得相應的函數關系式是解 題的關鍵PEC分析(1)由于y是x的函數且過(12, 36)點，即AP=12時，矩形的面

9、積為 36，可求出PQ的長, 進而在直角三角形 BPQ中得出BP的值，根據 AB=AP+B唧可求出AB的長.(2)與(1)類似，可先用 AP表示出BP的長，然后在直角三角形 BPQ中，表示出PQ的長；根據矩形的 面積計算方法即可得出關于 y , x的函數關系式然后可根據得出的函數的性質求出矩形的最大面積以與 此時對應的x的值.跟蹤練習如圖，與X軸交于點A(1,0)和B(5,0)的拋物線h的頂點為C(3,4)，拋物線12與li關 于x軸對稱，頂點為C .(1) 求拋物線12的函數關系式；(2) 原點O，定點D(0,4) , 12上的點P與li 上的點P始終關于x軸對稱，那么當點P運動 到何處時，

10、以點D, O, P, P為頂點的四邊形是平行四邊形？(3) 在12上是否存在點M，使 ABM是以AB為斜邊且一個角為30的直角三角形？假設存， 求出點M的坐標；假設不存在，說明理由.【例4】 如圖，在矩形OABC中，A、C兩點的坐標分別為 A(4,0) C(0,) , D為OA的中點.設點P 是 AOC平分線上的一個動點(不與點 O重合).(1) 試證明：無論點 P運動到何處，PC總與PD相等；(2) 當點P運動到與點B的距離最小時，試確 定過O、P、D三點的拋物線的解析式；(3) 設點E是(2)中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和 PDE的周長；(

11、4) 設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點 P，使 CPN 90° ?假設存在，請直接寫出 點P的坐標.PEC分析此題綜合考查了三角形全等、一次函數、二次函數，與線段最短和探索性的問題.(1) 通過 P03 POD而證得 PC=PD.(2) 首先要確定P點的位置，再求出P、F兩點坐標，利用待定系數法求的拋物線解析式；(3) 此問首先利用對稱性確定出P點位置是EC與/ AOC的平分線的交點，再利用拋物線與 直線CE的解析式求出交點P的坐標.進而求的 PED的周長；(4) 要使/ CPN=90 °，貝U P點是以CN的中點為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點，由 此就易

12、于寫出P點的坐標.【例5】 如圖，拋物線h : y x2 4的圖象與x軸相交于A、C兩點，B是拋物線h上的動點(B不與 A、C重合)，拋物線12與li關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形 ABCD的第四個頂點為 D .(1 )求12的解析式；(2) 求證：點D 一定在12 上;(3) 平行四邊形 ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共局部的面積(假設只有一個 矩形符合條件，那么求此矩形的面積)；如果不能為矩形，請說明理由.(注：計算結果不取 近似值.)2y=x2-4PEC分析(1)根據11的解析式可求11與x軸的交點為A (-2 , 0), C( 2, 0)，頂點坐標是(0, -

13、4 ), 12與l1關于x軸對稱，實際上是l2與l1的頂點關于x軸對稱，即l2的頂點為(0, 4),設頂點式，可 求拋物線12的解析式；(2) 平行四邊形是中心對稱圖形， A、C關于原點對稱，那么 B、D也關于原點對稱，設點 B(m, n),那么點 D (-m, -n )，由于 B (m, n)點是 y=x2-4 上任意一點，那么 n=m2-4,. -n=- (m2-4) =-m2+4=- (-m) 2+4, 可知點D (-m, -n)在l2y=-x2+4 的圖象上；(3) 構造/ ABC=90是關鍵，連接 OB只要證明 OB=OC即可，為求 OB長，過點B作BHL x軸于H,用B 的坐標為(

14、x0, x02-4 )，可求 OB用OB=O(求x0,再計算面積.跟蹤練習如圖，拋物線 G與坐標軸的交點依次是 A 4 , 0 , B 2 , 0 , E 0 ,8 .(1 )求拋物線G關于原點對稱的拋物線 C2的解析式；(2)設拋物線G的頂點為M，拋物線C2與x軸分別交于C , D兩點(點C在點D的左側)，頂點為N，四邊形MDNA的面積為S .假設點A，點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M，點N同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止.求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式, 并寫出自變量t的取值范圍；(3)

15、 當t為何值時，四邊形 MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值;t的值；假設不能，說明理由.(4) 在運動過程中，四邊形 MDNA能否形成矩形？假設能，求出此時三、課堂一試1. 如圖，在直角坐標系xOy中，點P為函數y -x2在第一象限內的圖象上的任一點，點A的坐標為0, 1 ,4直線I過B 0 , 1且與x軸平行，過P作y軸的平行線分別交 x軸、直線I于C、Q ,連結AQ交x軸于H , 直線PH交y軸于R .求證：H點為線段AQ的中點； 求證：四邊形 APQR為菱形；1 除P點外，直線PH與拋物線yx2有無其它公共點？假設有，求出其它公共點的坐標；假設沒4有，請說明理由.2.如圖，在平面直

16、角坐標系內，以y軸為對稱軸的拋物線經過直線2與y軸的交點A和點(1 )求這條拋物線所對應的二次函數的關系式；(2 )將(1)中所求拋物線沿x軸平移. 在題目所給的圖中畫出沿 x軸平移后經過原點的拋物線大致圖象； 設沿x軸平移后經過原點的拋物線對稱軸與直線AB相交于C點判斷以O為圓心，OC為半徑的圓與直線 AB的位置關系，并說明理由；求P點的坐標，使得以O、A C、P(3) P點是沿x軸平移后經過原點的拋物線對稱軸上的點。四點為頂點的四邊形是平行四邊形.y3.如下列圖，在平面直角坐標系中，矩形 ABOC的邊BO在x軸的負半軸上，邊 0C在y軸的正半軸上，且 AB 1，0B 3，矩形ABOC繞點0

17、按順時針方向旋轉 60后得到矩形EFOD 點A的對應點為點 E , 點B的對應點為點 F，點C的對應點為點 D，拋物線y ax2 bx c過點A , E , D .(1) 判斷點E是否在y軸上，并說明理由；(2) 求拋物線的函數表達式；(3) 在x軸的上方是否存在點 P，點Q，使以點0 , B , P , Q為頂點的平行四邊形的面積是矩 形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上，假設存在，請求出點P，點Q的坐標；假設不存在， 請說明理由. 2 4.如圖10,拋物線P: y=ax +bx+c(a工0)與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上), 與y軸交于點C,矩形DEFG勺一條邊DE在線段AB

18、上，頂點F、G分別在線段BC AC上，拋物線P上局部點的橫坐標對應的縱坐標如下:x-3-212y52-4520(1)求A B、C三點的坐標;-EDAOr 11圖10(2) 假設點D的坐標為(m, 0)，矩形DEFG勺面積為S,求S與m的函數關系，并指出m的 取值范圍；(3) 當矩形DEFG勺面積S取最大值時，連接DF并延長至點M使FM=kDF,假設點M不 在拋物線P上，求k的取值范圍.5. 如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH點H的坐標為(一8，0)，點N的坐標為(一6， 4).(1) 畫出直角梯形 OMN繞點O旋轉180°的圖形OABC并寫出頂點 A，B, C的坐標(點M的對

19、應點 為A 點N的對應點為B,點H的對應點為C);(2) 求出過A，B, C三點的拋物線的表達式；(3) 截取CE=OF=AG=m且E, F, G分別在線段 CQ OA AB上，求四邊形 BEFG勺面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積 S是否存在最小值？假設存在，請求出這個最小值；假設不存在，請說明理由;(4) 在(3)的情況下，四邊形 BEFG是否存在鄰邊相等的情況，假設存在，請直接寫出此時m的值,并指出相等的鄰邊；假設不存在，說明理由.6. 如圖1,在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片QABC Q0, 0) , A(4 , 0), C(0 , 3)，點P是QA邊上的動點

20、(與點Q A不重合)現將 PAB沿PB翻折，得到 PDB再在QC邊上選取適當的點 E, 將厶PO曰沿PE翻折，得到 PFE并使直線 PD PF重合.(1) 設F(x, 0) , E(0 , y)，求y關于x的函數關系式，并求 y的最大值； 如圖2,假設翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數關系式；(3) 在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q使厶PEC是以PE為直角邊的直角三角形？假設不存在，說明理由；假設存在，求出點 Q的坐標.四、課后有練1.如圖，矩形 ABCDh AB= 3，BC= 4，將矩形ABC沿對角線A平移，平移后的矩形為 EFGH A、E、C G 始終在同一條直線上)，當點E與C重時停止移動.平移中EF與BC交于點N GHW BC的延長線交于點 M EH與DC交于點P, FG與 DC的延長線交于點 Q設S表示矩形PCM的面積，S表示矩形NFQC勺面積.(1) S與S相等嗎？請說明理由.(2) 設AE= x,寫出S和x之間的函數關系式，并求出 x取何