1、專題28與圓有關(guān)的角聚焦考點溫習(xí)理解一、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓 或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。3、圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。4、圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角

2、所對的弦是直徑。WWWUUMMMUWMHUUMMUUWMWWMWMUWWMMUMHWWMUHUMWMWWUWMWWaWWWWWMWWMIMWWMWWWWWWWWMWWUMWW _* -； - - - _ _ - -/aWWWWWWMWWWMT推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。名師點睛典例分類考點典例一、圓心角、圓周角之間的換算 【例1】2021山東濟寧第5題如圖，在OO中，丨=，/ AOB=40，那么/ ADC的度數(shù)是 A. 40 B. 30 C. 20 D. 15【答案】C.【解析】 試題分析：，在00中，AB=AC, ZAOfiO* 根據(jù)同圓或等圓中

3、，同弧或等弧所對的圓周角相等，并 且都等于所對圓周角的一半可SZADC=ZA0E=20 故答案選-I考點：圓周角定理【點睛】此題運用了圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.【舉一反三】2021湖南婁底第6題如圖， AB是OO的直徑，/ D=40，那么/ CAB的度數(shù)為A. 20 B 40 C 50 D 70【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)圓周角定理可得/B=Z D=40,Z ACB=90，所以/ CAB=90 - 40 =50.故答案選 C.考點：圓周角定理考點典例二、圓周角與垂徑定理的關(guān)系【例2】2021內(nèi)蒙古巴彥淖爾第 3題如圖，線段 AB是O O的直徑，弦 CDL AB

4、, / CAE=40,那么/ ABD與/ AOD分別等于A. 40,80B.50, 100C.50,80D.40,100【答案】B.【解析】試題分析：丁CD丄戲孔 二厶値UXT ；j .C=5 .厶夠口=三0刃 *二乙站川5b , :.Z-4100* ,應(yīng)選 E.考點：圓周角定理；垂徑定理.【舉一反三】如圖，在O O 中，CDL AB于 E,假設(shè)/ BAD=30,且 BE=2,貝U CD 【答案】4.3 .【解析】試題分析：如答圖，連接 0D設(shè)O 0的半徑為r,/ BAD=30 ,/ BOD=Z BAD=60 ./ CD丄 AB, DE=CE.在 Rt ODE中, OE=OB-BE=r-2,

5、OD=r,OEt cos EOD cos60ODr 21，解得r =4 ,r 2 OE=4-2=2, DEOD2OE242一22 2 3. CD=2DE=4.3 .考點典例三圓周角與切線之間的關(guān)系【例3】2021海南省第12題如圖，AB是OO的直徑，直線PA與OO相切于點A, PO交OO于點C,連接BC.假設(shè)/ P=40，那么/ ABC的度數(shù)為C . 40D . 50A. 20B . 25【答案】B.【解析】試題分析：是0的直徑.直線站與00相切于點A八:, ；.ZPAO=SOa、:.ZABC=|ZPAO=35S .應(yīng)選：B.【舉一反三】2021黑龍江哈爾濱第18題如圖，AB為OO的直徑，直線

6、I與OO相切于點C, ADLI，垂足為 D, AD交OO于點E,連接OG BE假設(shè)AE=6, OA=5那么線段DC的長為【答案】4.【解析】試題分析：令 OC交 BE于 F,/ AB為O O的直徑，AEB=90,/ ADL CD/BE/ CD/CD為O O的切線, OCL CD OCLBE,.四邊形 CDEF為矩形，二 CD=EF 在 Rt ABE中，BE 、AB2 AE28 , v OF丄 BE, BF=EF=4 CD=4考點：1切線；2矩形的性質(zhì)；3勾股定理.考點典例四與圓周角有關(guān)的證明【例4】2021湖北黃石第19題本小題總分值7分如圖，OO的直徑為AB，點C在圓周上異于 代B ,AD

7、CD.1 假設(shè) BC =3，AB 5，求 AC 的值；2假設(shè)AC是 DAB的平分線，求證：直線 CD是O O的切線.【答案】14;2詳見解析.【解析】試範俞析：口棍捋直徑所對的圓周甬杲直角可得厶匸0二剜，再由勾股定理即可求得虻汕 心連接OC,根據(jù)角平井線的性質(zhì)氏誓JBI三角形時性質(zhì)可得dac=zoca,由平行線的性質(zhì)可得iiOC,又 因ADDC ,所以0C-DCS即DC是0O的切絨.試題解析:1 ： - AB罡30直徑,C在0上,二 二 90&又丁 BC=3, AB=5a:.AC = 42證明:AC是DAB的角平分線，DACBAC又ADDC,ADCACB 90ADCs ACB,DCACBA又O

8、AOC ,OACOCAOACOBC90 ,OCA ACDOCD 90DC是O O的切線.解法二2證明：AC是DAB的角平分線，DAC圓的性質(zhì) OA OC , OAC OCA DAC OCA即 AD / OC ,又 AD DC , OC DC DC 是O O 的切線考點：圓周角定理；勾股定理；切線的判定 【舉一反三】如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90，以 AC為直徑作O O交AB于點D,連接 CD (1 )求證：/ A=Z BCD (2)假設(shè)M為線段BC上一點，試問當點 M在什么位置時，直線 DM與O O相切？并說明理由.【解析】2)當MC=M(或點M是BC的中點)時，直線 DM與O O

9、相切，理由見解析試題分析：根據(jù)圓周角注理可得ZAIXf 再根據(jù)直角三角形的性JpTZA-ZDCA-90再由上DCB-爲 可得 ZDCB=ZA；(2)當皿時言線D相切連接DO,根據(jù)等邊對等角可得zTl=Z2； Z4-Z3.再根據(jù)Z ACB=50=可得:fi而證得直線*1與(30相切.試題解析：(1)證明：丁AC対直徑上ADCTT. /.ZA-ZDCA=?0/ ACB=90 ,/ DCB+Z ACD=90 . /-Z DCBM A.(2)當MC=MD或點M是BC的中點)時，直線 DM與O O相切，理由如下：如答圖，連接DO / DO=CO/Z 1 = Z 2/ DM=CM/Z 4=Z 3.Z 2+

10、Z 4=90/Z 1 + Z 3=90. 直線 DM與O O 相切.一選擇題1. 2021江蘇常州第5題如圖，把直角三角板的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點 M N,量得OM8cm O時6cm那么該圓玻璃鏡的半徑是A. .10 cmB. 5cmC. 6cmD. 10cm【答案】B.【解析】試題分析；如團J連接W V Z 0=9 ,是直徑又S忙刊、OG伽、w Jo亠。屮=7e:+s: =10，二該副牖鏡的半徑是-一以*立刑-應(yīng)選乩1考點：圓周角定理；勾股定理.2. 2021四川達州第7題如圖，半徑為3的OA經(jīng)過原點O和點C 0, 2, B是y軸左側(cè)OA優(yōu)弧上一點，貝U

11、tan / OBC為【答案】C.【解析】試題分析：連結(jié)6可得CD為直徑在聯(lián)ZlOCD中，CD=S, 0C=2,根據(jù)勾股定理求得0D=4血所由圓周角定理得，ZOBC=ZCDO,那么tZ0BC= ,故答鈾 C.考點：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義.3. 2021湖北襄陽第8題如圖，I是？ABC的內(nèi)心，AI向延長線和 ABC的外接圓 相交于點D,連接BI,BD DC以下說法中錯誤的一項為哪一項 A. 線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段 DC重合B. 線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段 DI熏合C. Z CA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定能與/ DAB重合D. 線段ID繞點I順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段 IB重合

12、心8業(yè)博【答案】D.【解析】試題分析：因為I是厶磁 的內(nèi)心.所IX Al. EIZBAC.三眩 的角平分纟圮ZBADZCAD,又ZBAD= ZBCDj ZCABZCBD,所臥山二 上CBD,所以，DB=DC；亶 正確；ZDIB= ZDAB4 2ABI;二DEI二ZDEC + ZCEIj 又ZI=ZcBI, ZDAB=ZDAC=ZDBCfl 所ZdIB=ZdBI；所以皿=DB iESSo 由上可知, C正確但ID與IE不一定相等，故答案選D*考點：內(nèi)心的概念；圓周角定理 4. 2021湖南婁底第6題如圖， AB是00的直徑，/ D=40，那么/ CAB的度數(shù)為CS0A. 20 B. 40 C.

13、50 D. 70【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)圓周角定理可得/B=Z D=40,Z ACB=90，所以/ CAB=90 - 40 =50 .故答案選 C.考點：圓周角定理5. 2021內(nèi)蒙古巴彥淖爾第 3題如圖，線段 AB是O O的直徑，弦 CDL AB / CAE=40,那么/ ABD與/A. 40,80B.50, 100C.50,80D.40,100【答案】B.【解析】試西分析；TCD丄衛(wèi)占，ZAEO9臚、ZG4=40c.Z0500 , .ZXBiZ50Q 、 ：O3=OD.Z.45D=ZOZ)=50C ,二ZAQ*厶BD+rOD賽Wb應(yīng)選 B-考點：圓周角定理；垂徑定理.6. 如下圖

14、，點 A, B, C在圓0上，/ A=64,那么/ BOC的度數(shù)是()A. 26116128154【答案】C.【解析】試題分析：A=64,/ BOC=Z A=2X 64 =128.應(yīng)選C.考點：圓周角定理.二.填空題1. 2021內(nèi)蒙古包頭第18題如圖，AB是OO的直徑，點C在OO上，過點C的切線與AB的延長線交于點P,連接AC,假設(shè)/ A=30 , PC=3那么BP的長為.【答案】3 .【解析】試題分析：連接0G0口G 厶二h ,所以ZtONF；由三角形夕卜角的性質(zhì)可得ZC0B=ZA-HZACX=60o ,又因 FC 5o 切線可得ZFC0=90 , ZP=30fl ,再S PC=3,根據(jù)銳

15、角三角函數(shù) 可得 0C=PC t：an3C 二不、PC=2OC=2 ；即可得 PS=P0 - 0E= 7J 考點：切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù).2. 2021湖南湘西州第7題如圖，在OO中，圓心角/ AOB=70，那么圓周角/ C= 【解析】11試題分析：根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可得/ C= / AOBd X 70 =3522考點：圓周角定理3. 2021山東棗莊第15題如圖，在半徑為3的OO中，直徑AB與弦CD相交于點E,連接AC, BD假設(shè)【答案】2 2.【解析】試題分析：如圖，連接BC根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得ACB為直角三角形，在直角三角形 ACB中,AC

16、=2, AB=6由勾股定理可得 BC=4 2，由圓周角定理可得/ A=Z D,所以tan D=tanA=BC 4-2 2 2 .AC 2考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數(shù)4. 2021貴州銅仁第16題如圖，點 A, B, C在O O上，/ OBC18。，那么/ A=【答案】72【解析】試題分析： U二OG Z0018 , -ZCOZOTOir，.Z5001SO 1 =144* , .Z= - ZfiOC 1 X144 =72* .故答案為：72 .-2ZG3ilS0& - 2X考點：圓周角定理.9【解析】13題如圖， ABC勺外接圓0的半徑為2,/ 0=40，那么Ab的長是80 2 8試

17、題分析：/ C=40,A/ AOB80,. Ab的長是=一.故答案為:1809考點：三角形的外接圓與外心；弧長的計算.6. 2021廣西來賓第18題如圖，在O 0中，點A B、0在O 0上,且/ AC咅110,89.貝 y/a=C【答案】140【解析】試題分析：憂弧肋上任取一點D連接汕丁四邊形且衍d內(nèi)接與Q6厶Dm刖-ZO180Q - iwe =70 , .Z.4O5=2M=2X70fl =140Q .故答案対：140 .BBDC勺大小是.【答案】40.考點：圓周角定理.7. 2021廣西河池第16題如圖，AB是OO的直徑，點 C D都在O O上，/ ABC50。，那么/【解析】BD(=- x

18、2試題分析：/ ABC50,. ADC的度數(shù)為100 ,v AB為直徑，二 ?C 的度數(shù)為80 ,.80 =40,故答案為：40.考點：圓周角定理.8. 2021青海第10題如圖，在O O中，AB為直徑，CD為弦，/ CAB=50，那么/ ADC=【答案】40【解析】試題分樂期為5的直徑根據(jù)直徑所對的圓周角為直角求出二配躋97即可得ZABC=40* ,根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得ZADC=ZAK=40考點：圓周角定理.9. 2021重慶A卷第15題如圖，OA OB是O O的半徑，點 C在O O上，連接AC, BC,假設(shè)/ AOB120。，1試題分析： OAL OB / AOB120./ ACB=120x _ =60,故答案為：60.2考點：圓周角定理.10. 2021遼寧葫蘆島第15題如圖，A, B, C, D是O O上的四個點，/ C=110 ,那么/ BOD 度.【答案】140.【解析】試題分析： A, B, C, D是O O上的四個點，/ C=110，