1、 “平行四邊形、三角形和梯形的面積公式教學研究”校本教研活動方案(二) 在本周的活動方案中，筆者主要闡述了兩個方面的容：一是平行四邊形、三角形和梯形面積公式教學的整體思考；二是如何進行平行四邊形面積公式教學。本方案重在研究三角形和梯形面積公式的教學問題。一、 活動目標1經歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關于三角形和梯形的面積計算公式教學的相關資料與問題。2明確可以有哪些不同的方法推導出三角形和梯形面積公式。3了解三角形和梯形面積計算公式教學的不同思路。二、活動容、形式與時間1數學組老師每個人獨立解答關于三角形與梯形面積計算公式教學的相關問題，不集中，由每一個老師自己抽時間書面解答問題，時間約2小

2、時。2與同事交流獨立解答出的問題答案，時間約1小時；3教研組確定一個人上一節(或兩節)三角形(或梯形)面積公式的教研課，數學組其他老師聽課。時間約40分鐘； 4評課與交流。(1)結合聽課筆記，獨立寫出評課提綱，時間約15分鐘；(2)數學組全體老師進行評課交流，時間約45分鐘。(一個年級如果有兩個或兩個以上的數學教師，可以在獨立寫出評課提綱的基礎上，先進行年級組數學教師交流，并確定一人發言，代表年級組到全體數學教師交流會上發言。最后，全體數學教師評課交流。)可以根據學校教研活動的時間和教研組老師的情況，選擇下面“活動前準備”中的一些問題進行解答與交流。三、活動前準備解答下面的問題，并準備交流。(

3、注：以下帶有*號表示問題有一定的難度。)(一)1根據你們學校使用的這套教材，學生在學習三角形面積計算公式之前，有哪些經驗、知識、能力與推導三角形面積計算公式關系密切？2在上三角形面積公式這節課前，某教師想為學生準備一些用白紙做的三角形學具，以便學生在課堂上操作。你覺得：(1) 應該為學生準備不同類型的三類三角形，即分別準備銳角、直角和鈍角三角形各若干個，還是只準備一類銳角三角形就可以了？為什么？(2)應該為學生準備一些空白的紙質三角形，還是應該在紙質的三角形上標出一組底和高的長度？為什么？(3)如果要標出一組底和高的長度，那么選擇哪些數據比較合適？就數據的奇偶性來說，底與高的長度數是選擇偶數合

4、適，還是奇數合適？還是奇、偶數都無所謂？為什么？(4)是否應該準備一些有網格背景的三角形(也就是在方格紙上畫三角形)？理由是什么？是不是會有部分學生求不出空白的三角形面積，但有了網格背景后，他們能夠求出三角形面積？如果有這樣的學生，根據你的經驗，這部分學生數占全班學生數的百分比大約是多少？3*查一查不同版本教材，三角形面積教學這節容，有哪幾個版本的教材給出了網格背景？哪幾個版本教材給出的三角形中，標注出了一組底與高的數據？這些數是奇數，還是偶數？想一想并寫一寫，通過這樣的比較你發現了什么？你認為在上三角形面積這節課前，學生準備哪些操作材料是合適的？為什么？4如果在方格紙中畫一個三角形，并標注出

5、這個三角形的一條底邊的長和這條底邊上高的長度，要求學生求出這個三角形的面積。(1)學生可能會有哪些方法？(2)閱讀下面的每一種轉化過程，并象第種轉化方法那樣，根據圖示請你寫出相應的計算三角形面積的算式。問題：如下圖所示，求三角形ABC的面積是多少？第種轉化方法的圖示：求三角形面積的算式： 三角形面積=長方形的面積 =6×(4÷2) =底×(高÷2) =底×高÷2第種轉化方法的圖示： 第種轉化方法的圖示：第種轉化方法的圖示：這種轉化方法是把這個三角形面積轉化成兩個長方形的面積。就是沿三角形水平的這條中位線對折，然后把左右兩個三角形往右或

6、左折。這樣就得到一個長方形，三角形的面積是這個長方形面積的兩倍。第種轉化方法的圖示： 畫出三角形底邊上的高，聯系整個長方形，就可以知道三角形(1)與三角形(2)的面積相等，三角形(3)與三角形(4)的面積相等。 5上題中有五種不同的方法求出三角形的面積計算公式，如果在教學中要引導學生理解推導的過程，那么，雖然這些方法不同，但在教師引導學生理解時，有哪些共同點？想一想，下面的這些引導過程是教學這些方法時共同的地方嗎？ (1)要為學生準備多個要求面積的圖形，并要把轉化前后的兩個圖形都要呈現給學生觀察，而不能因為剪拼不呈現原來的圖形；可以讓學生先想象原來的圖形，再呈現出來。(2)要引導學生觀察、比較

7、轉化前后的兩個圖形面積是否有變化；(3)要引導學生觀察分析，要求出轉化后的圖形的面積需要知道哪幾條線段的長度，這些線段的長度是否已經知道；(4)怎樣由轉化后圖形的面積計算公式得到三角形的面積計算公式；(5)雖然轉化的過程不同，計算的算式也有不同，有三角形面積等于底×(高÷2)，有三角形面積等于(底÷2)×高，但都可以統一成三角形面積等于底×高÷2這樣一個公式。 6大家知道，可以用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法推導出三角形的面積計算公式。這種解決問題的方法，學生在學習平行四邊形面積計算公式時并沒有接觸到，這是第一次運用這種

8、方法求出一個平面圖形的面積，這種方法為求梯形面積公式奠定了方法上的基礎。(1)你覺得可以怎樣引導，能夠讓更多的學生自己想到用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的這種推導方法？(2)有人認為：在學習長方形與平行四邊形概念時，就要求學生通過剪、拼的方法，明確一個長方形可以剪成兩個完全一樣的直角三角形，一個平行四邊形可以剪成兩個完全一樣的銳角三角形或兩個完全一樣的鈍角三角形。反過來，兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形(包括長方形)。在概念教學時，讓學生有這樣的操作活動，會使得更多的學生在求三角形面積時，想到用兩個三角形拼成一個平行四邊形的這種推導方法。你同意這個觀點嗎？為什么？也有人認為

9、：在學習三角形面積計算公式這節課開始時，讓學生進行上面的剪、拼等操作活動，也可以讓更多的學生想到這種推導方法。如果我們把前一種鋪墊叫做遠鋪墊，后一種叫做近鋪墊，那么，你喜歡遠鋪墊，還是近鋪墊？為什么？(3)以下是兩種推導出三角形面積計算公式的教學思路：思路一，從平行四邊形出發，把一個平行四邊形分割成兩個完全一樣的三角形，根據平行四邊形面積等于底乘高，從而求出三角形的面積等于底乘高除以2；思路二，用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式得出三角形的面積計算公式；你覺得這兩種推導過程是否一樣？如果有不同，主要的差異是什么？7推導三角形面積計算公式有多種方法，如果按照“獨

10、立思考-小組交流-全班匯報”這樣的順序進行教學，那么在學生匯報方法時，你覺得，有沒有必要對某一種或幾種推導方法(如兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法)特別重視，要求全班每一個學生都掌握這種推導的方法？還是每一種方法只要求學生理解就可以了，并不要求學生自己會推導？為什么？8在推導三角形面積計算公式時，是否可以先解決直角三角形面積計算的問題，然后把銳角三角形與鈍角三角形轉化成直角三角形的方法求出面積，再歸納出三角形面積計算公式？想一想，如果按照這樣的思路設計三角形面積這節課，教學流程可以是怎樣的？以下的教學流程是否能夠體現出上面的設計思路？(1)開門見山揭示今天研究的課題：三角形面積。長

11、方形與平行四邊形都有了自己的面積計算公式，也就是只要知道長方形與平行四邊形中幾條線段的長度，就可以通過計算求出它們的面積。三角形的面積是否也有計算公式呢？今天這節課我們一起來研究。(2)三角形可以分成哪幾類？想一想，哪一類三角形的面積可能容易求出？結合下面的圖，引導學生先研究直角三角形的面積。(3)在下面的網格中，如果一個小正方形的邊長是1厘米，那么，下圖中兩個直角三角形的面積分別是多少？如果也要像長方形與平行四邊形這樣，知道它們圖形中的幾條線段的長度，通過計算求出面積，那么在求出直角三角形的面積時，要知道(測量出)哪幾條線段的長度？公式是怎樣的？在求第(1)個直角三角形的面積時，引導學生運用

12、不同的方法得到它的面積：數方格的方法得到這個直角三角形的面積是8平方厘米；通過剪、拼的方法得到一個2×4的長方形，求出它的面積是2×4=8平方厘米；以這個直角三角形的三個頂點作為一個長方形的三個頂點，再確定這個長方形的第四個頂點，得到一個4×4的長方形(正方形)，這個直角三角形的面積是這個長方形面積的一半，即4×4÷2=8平方厘米。進而歸納出直角三角形面積等于底×高÷2。再要求學生運用公式求第(2)個直角三角形的面積，并用其他方法驗證運用公式求出面積的正確性。最后要求學生求出第(3)個直角三角形的面積。直角三角形的面積=底&

13、#215;高÷2，那么，其他類型的三角形面積計算公式可能會是怎樣的呢？進一步猜想：銳角(或鈍角)三角形面積=底×高÷2。(4)出示下圖，讓學生自己研究銳角三角形的面積；學生求出這兩個三角形的面積可以有不同的方法，其中重視引導學生通過作高，把銳角三角形轉化成兩個直角三形，并用求直角三角形面積的方法求出銳角三角形的面積，最后歸納出：銳角三角形的面積=底×高÷2。(5)出示下圖，讓學生研究鈍角三角形的面積。與求銳角三角形面積的思路一樣，引導學生轉化成直角三角形求出鈍角三角形的面積。在求第(2)、(3)這兩個鈍角三角形面積時，可以有多種方法，根據已知不

14、同的底和高，用不同的方法求出面積。如果是已知鈍角所對的邊的長度(作為底)，與它相對應的高，那么求圖(2)或(3)面積的方法與求圖(1)的面積一樣。如果已知一只銳角所對的邊的長度(作為底)，與它相對應的高，就可以用一個大的直角三角形面積減去一個小的直角三角形面積得到鈍角三角形的面積。最后歸納出鈍角三角形的面積=底×高÷2。從而得到一般的三角形面積計算公式。(二)9根據你們學校使用的這套教材，學生在學習梯形的面積計算公式之前，有哪些經驗、知識、能力與推導梯形面積計算公式關系密切？，在運用剪、拼轉化的思想方法(大的思想方法)上，推導梯形面積公式是否存在有別于推導長方形，平行四邊形

15、、三角形面積公式的方法？10在上梯形的面積這節課時，你會創設怎樣一個情境，讓學生感受到需要解決梯形面積的計算問題？下面是現行的幾個套教材，設計的問題情境，你喜歡哪一個情境，為什么？教材問題的設計人教版車窗的玻璃是梯形，面積是多少？版甲魚池的形狀是梯形，它的面積是多少？北師大版一個堤壩的橫截面形狀是梯形，它的面積是多少？浙教版水壩的橫截面是什么形狀？它的面積是多少？教版把梯形剪下，看看哪些能拼成平行四邊形？拼一拼，求拼成的平行四邊形和每個梯形的面積是多少？西南師大版直接給出一個梯形。你會用這個學具探索梯形面積計算嗎？11.想一想，可以有哪些不同的轉化方法推導出梯形的面積計算公式？12如果已知梯形

16、的上底是4厘米、下底是6厘米、高是2厘米，那么下面這些不同的圖示所表示的思路都可以推導出梯形的面積計算公式嗎？請你根據這些圖示寫出相應的推導算式。例如：根據第(3)個圖，推導梯形面積計算公式的算式是： 梯形面積=兩個三角形面積的和=4×2÷2+6×2÷2 =上底×高÷2+下底×高÷2=(上底+下底)×高÷2又如，根據第(9)個圖，推導梯形面積計算公式的算式是：梯形面積=平行四邊形面積減去三角形的面積 =(6×2)-(6-4)×2÷2 =(下底×高)-(下底

17、-上底)×高÷2 =下底×高-下底×高÷2+上底×高÷2 =下底×高÷2+上底×高÷2 =(上底+下底)×高÷213在班級授課制教學中，常常有部分學生已經知道梯形面積計算公式，而有些學生不知道公式。對于知道公式的學生來說，需要驗證公式的正確性，說清楚為什么梯形面積計算公式可以是這樣的。對于不知道公式的學生來說，需要探索、尋找公式可能是怎么樣的。這兩種思路是不一樣的，前者是尋找公式成立的理由，后者是尋找公式。你覺得教師在上課時，如果兼顧這兩種思路，使得每一部分學生都能在原有的基礎上得以發展？14有人認為，可以用梯形的面積計算公式“統領”長方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式。也就是說，可以把長方形、平行四邊形、三角形的面積計算公式看成梯形計算面積公式的特殊情況，你同意這個觀點嗎？為什么？閱讀下文，你覺得這樣的觀點是否有道理？梯形的面積=(上底+下底)×高÷2，當(1) 上底=下底時，從圖形的角度看，梯形變成了平行四邊形或長方形；從面積公式的角度看，這時的梯形面積=2×底×高÷2=底×高或長×寬。就是平行四邊形或長方形的