1、鹿邑前沿教育根與系數的關系知識點及綜合應用一、一元二次方程根與系數的關系(1) 若方程ax2 +bx+c = 0 (aw0)的兩個實數根是 xi, X2,貝U Xi+X2= , XiX2= a a(2) 若一個方程的兩個根為 Xi, X2,那么這個一元二次方程為a X2，兇 x2 x X1X2 1=0 (aw 0)二、根與系數的關系的應用：(1)驗根：不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩 根；(2)判別一元二次方程兩根的符號例1：不解方程，判別方程2X+3i-7 = 0兩根的符號分析：對于口/+歷+匕=0(。壬0)來說，往往二次項系數，一次項系數，常 數項皆為已知，

2、可據此求出根的判別式,但只能用于判定根的存在與否， 若 判定根的正負，則需要確定1T±或工i+M的正負情況。因此解答此題的關鍵是： 既要求出判別式的值，又要確定或為+為的正負情況。解：3'一4X 2X( 7)=650.方程有兩個不相等的實數根。設方程的兩個根為7打二一5。原方程有兩個異號的實數根。說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合 起來進行確定，另外由于本題中1'0,所以可判定方程的根為一正一負；倘 若110,仍需考慮了1+司的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。(3)求根及未知數字母系數：已知方程的一個根，可利用根與系數的關 系求

3、出另一個數及未知數字母系數.例2：已知方程M-6x+冽°-2測+5=0的一個根為2,求另一個根及加 的值。分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把工:2代入原方程, 先求出期的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與 系數的關系求出另一個根及 朋的值。解法一：把1二2代入原方程，得：21-6x2+/-2胡+ 5 = 0即 /-2加-3 = 0解得啊=3,那2=-1當啊=3,啊=-1時，原方程均可化為：y-67+8=0, 解得：及=2,陽二4.二方程-61+加'-2港+5= 0的另一個根為4,朋的值為3或一1。解法二：設方程的另一個根為工2,根據題

4、意，利用韋達定理得：甬+用=46) = 6,現用=謁-2例+5&二2, .把為二2代入西+馬二46)= 6 ,可得:二4.把=4代入%二川一2冽+5,可得：/_2耀+5=8,即蘇-2那-3 = 0解得附1=3,附=T方程/-61+幽，-2幽+5=0的另一個根為4,即的值為3或一1說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。(4)求代數式的值：在不解方程的情況下， 可利用根與系數的關系求關于 Xi和X2的代數式 的值，根與系數關系常用的轉化關系：2 .2211XiX22Xi + x 2 =(x 1+X2) - 2x 1X2 ; 一十 = 2 ; (xi+a) (x 2+a)=

5、XiX2+a(x i+X2)+a ;x1 x2 X1X2(X1-X2) =(Xi+X2)-4x 1X2 ; Ixi-x2I =4x1 + x2 f 4x1 x2 (5) 求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與系數的關系求出一元二次方程的一般X2-(X i+X2)X+X 1X2=0(6)運用判別式及根與系數的關系解題。例：已知11、辦是關于'的一元二次方程4+4(然- / 的兩個非 零實數根，問工和能否同號？若能同號，請求出相應的 州的取值范圍；若不 能同號，請說明理由，解：因為關于丫的一元二次方程4/ +4(加-1)1+那'=0有兩個非零實數根,.則有.；， 】丁 ；一，又.

6、、陽是方程4尸+4佃-3+/ = 0的兩個實數根，所以由一元二次 方程根與系數的關系，可得：假設工1、旗同號,則有兩種可能:4十通< 0若工< 0 , / < 0,則有： j-勺> ° ；一（掰-1） < 010-m2 >0即有:1.4解這個不等式組，得: 1那M 一2時方程才有實樹根，此種情況不成立。4 + / > 0若網> o,電）o ,則有：工1> °-（陽- D > oh寸-m2 >（）即有：4解這個不等式組，得m< ；m <m< 又:2 , 當2時，兩根能同號說明：一元二次方程根與

7、系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具， 也是計算有關一 元二次方程根的計算問題的重要工具。 知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創 新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高， 應是同學們 重點練習的內容。（7）運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題2例：已知心戶是方程/+2工-5 = 0的兩個實數根，求& +麒+2值的值分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規的求根 后，再帶入的方法，力求簡解。解法一：由于£是方程八2"5=0的實數根，所以+2£-5 =

8、 0設 +儂+2"M,d+的+2值與4+2萬-5相加,得：/ =(才+加+2劣+(6+20-5)二(&3 + 6)+ 2+向+&£-5=(&+加+2®+m-娟-5 (變形目的是構造"和磔)根據根與系數的關系，有：e+F=-2,邸=-5于是，得:：二1=4 -4+5- 5=0. +A/5+ =o =0解法二：由于值、£是方程/+2工-5 = 0的實數根，.二 I 二二說明：既要熟悉問題的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解 題能力提高的重要標志，是努力的方向。有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁

9、瑣，這時, 如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡 的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力， 多年來一直受到命題老師的青睞。（8）運用一元二次方程根的意義及判別式解題。例：已知兩方程？-溜1+5+加=0和/ 一。加+ 1）1+13加+7:0至少有一個 相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。分析：當設兩方程的相同根為a時，根據根的意義，可以構成關于 白和加 的二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。解：設兩方程的相同根為 榮 根據根的意義，有 二：二 5a? -（7附+l）a+l3M+7 = 0兩式相減，得-1- 蒲'-1當6期+1=0時，制,方程的判別式二（一加）、4（洌+ 5）二（尸_4（一1+5）二工_匣06636 3方程無實數解當6用+ 1m。時，有實數解6瀏+1代入原方程，得2,-陽X2+5+加=0,所以期二94個實數根的于是，兩方程至少有一個相同的實數根，相乘積為（5+啾 13 川+7） = 14x124 = 1736說明：（1）本題的易錯點為忽略對6加+1二。的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認6加+ 1M。的錯誤，甚至還會得出并不存在的解：1