1、習題記S是全體無理數的集合，在實數集R上規定子集族 U AU是E1的開集,A S（1）驗證是R上的拓撲；（2）驗證R,滿足T2公理，但不滿足T3公理；（3）驗證R, 是滿足C1公理的可分空間；（4）證明在S上誘導的子空間拓撲S是離散拓撲，從而S, S是不可分的;（5）說明R,不滿足C2公理。6 AUR證明:（1）RU，A所以R和都含在中UU AUUIAXUUA0,使X U O A0XU 0,X AoXUU ,X I AXUU I AQUU IA中任意多個成員的并集仍在中U1A I U? A U1 IU2A1UA2QX U1 A1 I U 2 A2XU1 A1,X UI 2A2XU1,X A1,

2、XU 2, XA2XU1 I U2,XA1 U A2XU1 I U2AUAQU1 I U2A UA2中兩個成員的交集仍在中綜上所:述:是R上的拓撲（2）任取一個有理數a ,則a在R）中存在一個開鄰域 Ui Al這樣我們就可以在 E1中找到一個與U1不相交的開集U2 ,令有理數b U2則U2 A為b的一個開鄰域且 Ui A I U2 A2R,滿足T2公理由題意可知S是閉集，有理數a S如果W是S的任意一個開鄰域T3公理I Q因為S為全集，所以S的開鄰域 W總會與a的開鄰域相交 因此在 R,中，S與a不存在不想交的開鄰域，故不滿足11(3) X R ,做X的一組可數鄰域Un XU x -,x -n

3、n則Un是X的一個可數鄰域對X的任一開鄰域U，U為R中開集Q X a,b SUS當n充分大，Un a,b S US所以Un是X的一個可數鄰域基說明R,滿足Cl公理顯然Q RX R，X的任一開鄰域U SUSIQX QR Q所以Q R所以Q是R,的可數稠密子集，所以R,是可分的(4)設 A SQ R S A是R,的開集有 R SAISA是S, S的開集S的每個子集都是 S, S的開集S, S是離散拓撲空間，S不可數從而S, S是不可分的(5)假如R,滿足C2公理Q C2公理具有遺傳性則S, S也要滿足C2公理Q C2空間是可分空間則S, S是可分的與 S, S不可分矛盾了R, 不滿足C2公理設A和

4、B都是拓撲空間 X的子集，并且 A是開集證明AI B AI B.證明：對 XAI B ,即 XA且XB令U是X的任一開鄰域則U IA也是X的開鄰域因為XB所以UIAIB即U IAI B所以XAI B ,所以AI BAI Bn設A1,A2,L ,An都是X的閉集，并且 X UA證明B X是X的閉集 BlA是i 1A i 1,2, L ,n 的閉集.證明:i 1,2,L ,n有 Ai B I AiBC I AiQ x Ai BI Aix Ai ,x BI AixBx BC x BC I Ai又Q B是X的閉集BC 是 X 的開集從而 BI Ai 是 Ai 的開集BI Ai 是 Ai 的閉集因為 B

5、I Ai 是 Ai 1,2,L ,n 的閉集故i 1,2,L , n ,存在X的閉集Bi ,使BlA BilA ,而nUBii1nnnnnBUBlAiUBi lAiUBilUAiUBil Xi 1i 1i 1i 1i 1所以 B 是 X 的閉集（有限多個閉集的并還是閉集）， xnx.設 xn 是 R, c 中的一個序列 .證明： xn x 存在正整數 N ，使得當 n N 證明： 顯然的假設當 n N 時， xn x 不成立那么可找到 xn 的無窮子序列 xnk ， xnk x k 1,2,L R xnk 為 x 的一個開鄰域k因為 lim xn x對 x 的開鄰域 R xnk會 K,n K,

6、xn R xnk與XnkRXnk矛盾所以存在正整數 N ,使得當n N , XnX證明：A是拓撲空間X的稠密子集X的每個非空開集與 A相交非空.證明：因為A是X的稠密子集所以A X故對X A， X的每個開鄰域與A都有交點從而X的每個非空開集與 A相交非空因為X的每個非空開集與 A相交非空故對X X， X的每個開鄰域與A都有交點所以X A ,即X A又因為A X ,所以A X 所以A是X的稠密子集若A是X的稠密子集，B是A的稠密子集，則 B也是X的稠密子集. 證明：令U是X的任一非空開集因為A是X的稠密子集所以U I A從而U I A是A的非空開集又因為B是A的稠密子集，則U I B UIAIB所以B也是X的稠密子集(1) f是連續映射;(2) 對X的任何子集A , f A f A ;(3) 對Y的任何子集B , f 1 B f 1 B .證明：12欲證f A f A即y f A ,要有y f A設V為y的任一開鄰域因為f是連續映射所以f 1 V為X開集1 1 1f y A， f y f V1又因為f VlA所以f f 1 V I A即 ff1VIA f f 1 V IfA VIfA y TTA 所以f A f A1 1 2 3