1、精選文檔近代時(shí)間序列分析選講1 .非線性時(shí)間序列2 .GARCH 模型3 .多元時(shí)間序列4 .協(xié)整模型可編輯非線性時(shí)間序列第一章.非線性時(shí)間序列淺釋1 .從線性到非線性自回歸模型2 .線性時(shí)間序列定義的多樣性第二章.非線性時(shí)間序列模型1 .概述2 .非線性自回歸模型3 .帶條件異方差的自回歸模型4 .兩種可逆性5 .時(shí)間序列與偽隨機(jī)數(shù)第三章.馬爾可夫鏈與AR模型1. 馬爾可夫鏈2. AR模型所確定的馬爾可夫鏈3. 若干例子 第四章 . 統(tǒng)計(jì)建模方法1. 概論2. 線性性檢驗(yàn)3. AR 模型參數(shù)估計(jì)4. AR 模型階數(shù)估計(jì)第五章 . 實(shí)例和展望1. 實(shí)例2. 展望第一章 . 非線性時(shí)間序列淺釋1

2、. 從線性到非線性自回歸模型時(shí)間序列xt是一串隨機(jī)變量序列,它有廣泛的實(shí)際背景, 特別是在經(jīng)濟(jì)與金融領(lǐng)域中尤其顯著.關(guān)于它們的從線性與非線 性概念，可從以下的例子入手作一淺釋的說 明.考查一階線性自回歸模型-LAR(1):xt=xt-i+e t,t=1,2, (1.(1)其中et為i.i.d.序列，且 Eet=0, Eet=2,而且 et 與xt-i ,xt-i，獨(dú)立.反復(fù)使用(1.1)式的遞推關(guān)系，就可得到xt=xt-1 +e t=e t + xt-1=e t + et-1 + xt-2=e t + et-1 +2 xt-2一 .一 .2 一=e t +et-i +2et-2+ +n-1 e

3、t-n+1+ nxt-n .(1.(2)如果當(dāng)n 時(shí)，nXt-n0,(1.3)et+ et-i +2et-2+n-1 et-n+i j=0 jet-j .(1.4)雖然保證以上的收斂是有條件的，而且要涉 及到具體收斂的含義，但是，對以上的簡單 模型，不難相信，當(dāng)| |1時(shí)，(1.3)(1.4) 式成立.于是，當(dāng)| |1時(shí)，模型LAR(1)有平穩(wěn)解,且可表達(dá)為xt= j=o jet-j .(1.5)通過上面敘述可見求 LAR(1)模型的解有簡 便之優(yōu)點(diǎn)，此其一.還有第二點(diǎn)，容易推廣 到LAR(p)模型.為此考查如下的p階線性 自回歸模型LAR(p):xt=1Xt-1 +2Xt-2 +pxt-p

4、+e t,t=1,2,(1.6)其中et為i.i.d.序列，且 Eet=0,Eet=2,而且 et 與xt-i , xt-i,獨(dú)立.雖然反復(fù)使用(1.6)式的遞推式，仍然可得到(1.2)式的類似結(jié)果，但是，用擴(kuò)張后的一階多元 AR 模型求解時(shí), 可顯示出與LAR(1)模型求解的神奇的相似. 為此記xt1xt 10xt p 1012p100A=,(1.7)000于是 (1.6) 式可寫成如下的等價(jià)形式:Xt=A X t-1 + e tU.(1.8)反復(fù)使用此式的遞推關(guān)系, 形式上仿照(1.2)式可得Xt=AX t-i +e tU=e tU+ et-i AU+A 2xt-2=e tU+e t-i

5、AU+e t-2 A2U+ +e t-n+1 An-1 U+A nxt-n .如果矩陣 A的譜半徑(A的特征值的最大 模)(A),滿足如下條件(A)1,(1.10)由上式可猜想到(1.8)式有如下的解：Xt=k=o AkUe t-k.(1.11)其中向量Xt的第一分量xt形成的序列xt, 就是模型（1.6）式的解.由此不難看出,它有 以下表達(dá)方式Xt =k=0 ket-k .(1.11)其中系數(shù) k由（1.6）式中的 1, 2,., 確定，細(xì)節(jié)從略.不過，（1.11）式給了我們重要啟發(fā),即考慮形如、，一一2Xt=k=0 ket-k ,k=0 k（1.12）的時(shí)間序列類（其中系數(shù) k能保證（1.

6、12）式中的xt有定義）.在文獻(xiàn)中，這樣的序列 x t就被稱為線性時(shí)間序列.雖然以上給出了線性時(shí)間序列的定義 ， 以下暫時(shí)不討論什么是非線性時(shí)間序列 ，代 之先討論一階非線性自回歸模型 -NLAR(1), 以便與 LAR(1)模型進(jìn)行比 較分析.首先寫出NLAR(1)模型如下xt= (xt-i)+et,t=1,2,(1.13)其中et為i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=2,而且 et 與xt-1 ,xt-2,獨(dú)立，這些假定與LAR(1)模型相同，但是，(x t-1 ) 不再是xt-1的線性函數(shù)，代之為非線性函數(shù)， 比如（x t-i 戶x t-i /a+bx t-i 2.此時(shí)雖然仍可反復(fù)使

7、用 （1.13）式進(jìn)行迭代但是所得結(jié)果是xt= (x t-i ) +e t=e t+ (x t-i )=e t+( e t-i + (x t-2)=et+( et-i +( et-2 +(x t-3 ) =e t+( e t-i +( e t-2 + + (x t-n).(i.i4)根據(jù)此式,我們既不能輕易判斷 （xt-i）函數(shù)滿足怎樣的條件時(shí),上式會有極限,也不 能猜測其極限有怎樣的形式.對于p階非線性自回歸模型xt=(xt-i ,xt-2，,xt-p )+e t,t=1,2, .(1.15)仿照(1.6)至(1.9)式的擴(kuò)張的方法,我們引入如下記號(x t-1 ,xt-2，xt-p )(1

8、.16)我們得到與(1.15)式等價(jià)的模型Xt=（Xt-1）+e tU,t=1,2,（1.17）但是，我們再也得不出（1.9）至（1.14）式的 結(jié)果，至此我們已將看出，從線性到非線性 自回歸模型有實(shí)質(zhì)性差異，要說清楚它們， 并不是很簡單的事情.從數(shù)學(xué)角度而言，討 論線性自回歸模型可借用泛函分析方法，然 而，討論非線性自回歸模型，則要借用馬爾 可夫鏈的理論和方法.這也正是本講座要介 紹的主要內(nèi)容.2.線性時(shí)間序列定義的多樣性現(xiàn)在簡單敘述一下非線性時(shí)間序列定 義的復(fù)雜性，它與線性時(shí)間序列的定義有關(guān)前一小節(jié)中(1.12)式所顯示的線性時(shí)間序 列，只是一種定義方式.如果改變對系數(shù)k的限制條件，就會給

9、出不同的定義.更 為重要的是，在近代研究中，將(1.12)式中 的i.i.d.序列et放寬為平穩(wěn)鞅差序列,這在 預(yù)報(bào)理論中很有意義.無論引用哪一種線性時(shí)間序列定義，都 對相應(yīng)的序列的性質(zhì)有所研究，因?yàn)槠溲芯?成果可用于有關(guān)的線性時(shí)間序列模型解的 特性研究.事實(shí)上，已經(jīng)有豐富的成果被載 入文獻(xiàn)史冊.依上所述可知，由于線性時(shí)間序列定義 的多樣性，必然帶來非線性時(shí)間序列定義的 復(fù)雜性.這里需要強(qiáng)調(diào)指的是，對于非線性 時(shí)間序列，幾乎沒有文章研究它們的一般性質(zhì)，這與線性時(shí)間序列情況不同.于是人們 要問，我們用哪些工具來研究非線性時(shí)間序 列模型解的特性呢 ？這正是本次演講要回 答的問題.確切地說，我們將介

10、紹馬爾可夫 鏈，并借助于此來討論非線性自回歸模型解 的問題.第二章.非線性時(shí)間序列模型1.概論從(1.12)式可見，一個(gè)線性時(shí)間序列xt, 被et的分布和全部系數(shù)i所決定.在此有無窮多個(gè)自由參數(shù)，這對統(tǒng)計(jì)不方便，因 此人們更關(guān)心只依賴有限個(gè)自由參數(shù)的線 性時(shí)間序列，這就是線性時(shí)間序列的參數(shù)模型.其中最常用 的如ARMA 模型.對于非 線性時(shí)間序列而言，使用參數(shù)模型方法幾乎 是唯一的選擇.由于非線性函數(shù)的多樣性 ， 帶來了非線性時(shí)間序列模型的多樣性.但是, 迄今為止被研究得較多，又有應(yīng)用價(jià)值的非 線性時(shí)序模型，為數(shù)極少，而且主要是針對 非線性自回歸模型.在介紹此類模型之前， 我們先對非線性時(shí)序模

11、型的分類作一概述 .通用假定: t為i.i.d.序列，且E t=0,而且 t與x t-1 , x t-2 ,獨(dú)立.可加噪聲模型：(2.1)xt= (xt-1 ,Xt-2 ,)+ t,t=1,2,其中()是自回歸函數(shù).當(dāng)它僅依賴于有 限個(gè)未知參數(shù)時(shí)，記此參數(shù)向量為，其相應(yīng)的(2.1)模型常寫成xt= (x t-1 ,x t-2 ,；)+ t, t=1,2,(2.2)否則，稱(2.1)式稱為非參數(shù)模型.關(guān)于(2.1)(2.2)的模型的平穩(wěn)性，要在 下一章討論，但是，它有類似于線性AR模型的幾個(gè)簡單性質(zhì)，是重要的而且容易獲得 的，它們是：E(x t|x t-1 ,x t-2 ,)=E (x t-1

12、,x t-2 ,)+ t|x t-1 ,xt-2 ,= (xt-1 ,Xt-2，)+E( t|xt-1 ,Xt-2，)= (X t-1 ,Xt-2，)(2.3)varx t|x t-i , x t-2 ,Ex t- (xt-i ,)2|x t-1 , Xt-2 ,=Et2|x t-1 , Xt-2 ,=E t2=2.(2.4)Px tx|x t-1 ,Xt-2 ,=P(x t-1，)+ tx|x t-1 ,Xt-2 ,=PtX- (X t-1，)|X t-1 ,Xt-2 ,=F (x- (x t-1 ,).(2.5)其中F是t的分布函數(shù).帶條件異方差的模型Xt= (Xt-1 ,Xt-2，)+S

13、(X t-1 ,Xt-2 ,)t,t=1,2,(2.6)其中()和S()也有限參數(shù)與非參數(shù)型 之分，這都是不言自明的.另外，(2.6)式顯 然不屬于可加噪聲模型.但是，它比下面的 更一般的非可加噪聲模型要簡單得多.這可通過推廣(2.3)(2.4)(2.5) 式看出，即有，E(Xt|X t-1 ,Xt-2 ,)=E (xt-1 ,Xt-2 ,)+S(x t-1 ,Xt-2，) t |x t-1 ,Xt-2，= (X t-1 ,Xt-2，)+S(X t-1 ,X t-2，)Et|X t-1 ,Xt-2 ,= (Xt-1 ,Xt-2 ,)(2.(3)varX t|X t-1 , x t-2 ,EX

14、t-(Xt-1 ,)2|X t-1 , Xt-2 ,=ES 2(xt-1 ,Xt-2 ,)t2|xt-1 , Xt-2 , =S 2(X t-1 ,Xt-2 , )E t2|x t-1 , Xt-2 , =S 2(X t-1 ,Xt-2 ,)2.(2.(4)Px tx|x t-1 ,Xt-2 ,=P (xt-1，)+S(x t-1，) tx|x t-1 , x t-2 ,=P tx- (xt-1 ,)/S(x t-1 ,) =F (x- (xt-i ,)/S(x t-i ,).(2.(5)xt= (xt-1 ,xt-2 ,； t,t-1,)t=1,2,(2.7)其中（）也有參數(shù)與非參數(shù)型之區(qū)別

15、，這也是不言自明的.顯然，（2.7）式既不是可加 噪聲模型，也不屬于（2.6）式的帶條件異方 差的模型.雖然，它可能具有條件異方差性 質(zhì).相反，后兩者都是（2.7）式的特殊類型. 雖說（2.7）式是更廣的模型形式，在文獻(xiàn)中 卻很少被研究.只有雙線性模型作為它的一 種特殊情況，在文獻(xiàn)中有些應(yīng)用和研究結(jié)果 出現(xiàn).現(xiàn)寫出其模型于后，可供理解其雙線 性模型的含義Xt=j=1 p jXt-j + j=i q j t-j+i=1 P j=1 Q ij t-i Xt-j .2.非線性自回歸模型在前一小節(jié)中的（2.1）和（2.2）式就是非 線性自回歸模型，而且屬于可加噪聲模型類 在這一小節(jié)里，我們將介紹幾種（

16、2.2）式的 常見的模型.函數(shù)后的線性白回歸模型f(x t尸 lf(x t-1 )+2f(x t-2 )+.+ pf(x t-P)+ t,t=1,2,(2.8)其中f(.)是一元函數(shù)，它有已知和未知的不同情況，不過總考慮單調(diào)增函數(shù)的情況：=(1, 2,，p)是未知參數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，x t是可獲得量測的序列.當(dāng)f(.)是已知函數(shù)時(shí)，f(x t)也是可獲得量測的序列，于是只需考慮yt=f(x t)所滿 足的線性AR模型yt= iyt-i +2yt-2+ pyt-p + t,t=1,2,(2.9)此時(shí)可不涉及非線性自回歸模型概念. 在宏觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中, 常常對原始數(shù)據(jù)先取對數(shù)后 , 再作線性自回

17、歸模型統(tǒng)計(jì)分析, 就屬于此種情況. 這種先取對數(shù)的方法, 不僅簡單 , 而且有經(jīng)濟(jì)背景的合理解釋, 它反應(yīng)了經(jīng)濟(jì)增長幅度的量化規(guī)律. 雖然在統(tǒng)計(jì)學(xué)中還有更多的變換可使用, 比如 Box-Cox 變換 , 但是 , 由于缺少經(jīng)濟(jì)背景的合理解釋,很少被使用. 由此看來, 當(dāng) f(.) 有實(shí)際背景依據(jù)時(shí) , 可以考慮使用(2.7) 式的模型.當(dāng)f(.)是未知函數(shù)時(shí),f(x t)不是可量測的序列, 于是只能考慮(2.8) 模型 . 注意 f(.)是單調(diào)函數(shù), 可記它的逆變換函數(shù)為f-1 (.),于是由(2.8) 模型可得xt= f -1 ( lf(x t-1 )+2f(x t-2 )+.+pf(X t

18、-p )+ t),t=1,2,(2.9)此式屬于(2.7)式的特殊情況，此類模型很 少被使用.取而代之是考慮如下的模型Xt=1f(X t-1 )+2f(X t-2 )+.+ pf(X t-p )+ t,t=1,2,(2.10)其中f(.)是一元函數(shù)，也有已知和未知之分， 可不限于單調(diào)增函數(shù).此式屬于(2.1)式的 特殊情況，有一定的使用價(jià)值.當(dāng)(2.10)式中的f(.)函數(shù)是已知時(shí)，此 式還有更進(jìn)一步的推廣模型，xt=lfl(xt-1，,xt-s)+2f2(xt-1，,xt-s)+ .+ pfp(xt-1 ，,xt-s )+ t,t=1,2,(2.11)其中fk()(k=1,2,p)是已知的s元函數(shù).例如，以后將要多次提到的如下的模型：xt=1 I(x t-1 0)x t-1 +2l(x t-10)x t-1 +t,t=1,2,(2.12)其中I(.)是示性函數(shù).此模型是分段線性的， 是著名的TAR模型的特殊情況.為了有助于理解它,我們寫出它的分段形式：xt =1X12X1,Xi0,t=1,2,t, Xti0.請注意，（2.8）（2.10）和（2.11）式具有一 個(gè)共同的特征，就是未知參數(shù)都以線性形式 出現(xiàn)在模型中.這一特點(diǎn)在統(tǒng)計(jì)建模時(shí)帶來 極大的方便.此類模型便于實(shí)際應(yīng)用.但是, 對于xt而言不具有線性特性，所以，討論 它們的平穩(wěn)解的問題，討論它們的建模理論