1、第六章圖形的相似知識點一：比例線段1.比例線段：在四條線段a, b, c, d中，如果a與b的比等于c與d的比，即3 c,那b d么這四條線段a, b, c, d叫做成比例線段，簡稱比例線段.2.比例的基本性質：(1)基本性質:c -一？ ad = bc； (b、dw0) d(2)合比性質:c dc； ； (b、dw。)(3)等比性質:a c m=k(b+d + nw0) ? = k. (b+d - +nw0)3.平行線分線段成比例定理:如圖所示，若l 3/ 14/ 15,n(1)則空BC兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例DE.EF(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延

2、長 線)，所得的對應線段成比例即如圖所示，若AB/ CD則OA OB.OD OC(3)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.如圖所示，若 DE/ BC 則4 AD& ABC.4.黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段 AC和BC如果AC= W53 B 0.618 ,那么線段AB被點C黃金分割.其中點 C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.例1:把長為10cm的線段進行黃金分割，那么較長線段長為cm 。知識點:相似三角形的性質與判定5.相似三角形的判定：(1)兩角對應相等的兩個三角形相似(AAA).如圖，若/ A= / D, / B= / E,

3、則 AB6 DEF.(2)兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似.如圖，若/ A = /D, 空 當，則 ABCsDEF.DF DEDAB ACDE DFBC _. _,則 ABC s* DEF. EF(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似.如圖，若6.相似三角形的性質：(1)對應角相等,對應邊成比例.(2)周長之比等于 相似比，面積之比等于 相似比的平方(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比.例2: (1)已知 AB8 DEF ABC的周長為3, DEF的周長為2,則 ABC與 DEF的面 積之比為.(2) 如圖，DE/ BC, AFLBC,已知 $ adeS

4、*bc=1:4 ,則 AF:AG= .【學習目標】1 .加深了解比例的基本性質、 線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質.2 .理解相似圖形的性質與判定、位似的性質與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的坐標的變化規律 .【重點難點】重點：利用相似三角形知識解決實際的問題；位似的應用及 在平面直角坐標系中作位似圖形.難點：如何把實際問題抽象為相似三角形、位似形這一數學模型【知識回顧】1、相似三角形定義： .2、判定方法：3、相似三角形性質：(1)對應角相等，對應邊成比例；(2)對應線段之比等于 ;(對應線段包括哪幾種主要線段？)(3)周長之比等于 ; (4)面積

5、之比等于 .4、相似三角形中的基本圖形.(1)平行型(X型，A型)；(2)交錯型；(3)旋轉型；(4)母子三角形.5、位似形的性質：6、將一個圖形按一定的比例放大或縮小的步驟為:【綜合運用】1 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，過點A作AELBC,垂足為E,連接DE, F為線段DE 上一點，且/ AFE = Z B.(1)求證： ADFA DEC(2)若 AB=4, AD=3 V3, AE= 3,求 AF 的長.2如圖，在等腰三角形 ABC中，底邊BC=60cm,高AD=40cm,四邊形PQRS是正方形,S,R分別在AB,AC上，SR與AD相交于點E.(1) ASR與 ABC相似嗎？為什么？(

6、2)求正方形PQRS的邊長.【矯正補償】如圖1,已知矩形 ABED,點C是邊DE的中點，且 AB = 2AD.(1)判斷 ABC的形狀，并說明理由；(2)保持圖1中ABC固定不變，繞點C旋轉DE所在的直線 MN到圖2中(當垂線段AD、BE在直線MN的同側)，試探究線段 AD、BE、DE長度之間有什么關系？并給予證明.【完善整合】1 .通過本節課的學習你有那些收獲2 .你還有哪些疑惑？第六章圖形的相似易錯疑難易錯點1對黃金分割的概念理解不清而出現漏解1.已知線段AB 20 ,點C是線段AB的黃金分割點，則 AC的長為易錯點2找不準三角形的對應關系2.A.C.如圖,AC CDAC2ACD和ABBC

7、 'ADgAB ；易錯點 3ABC相似需具備的條件是（CDB.ADD. CD2BCAC混淆相似三角形的性質,3.如圖，若 ADE : ABC ,BC 5,S ABC 20 ,求 S ADEADgBD誤認為相似三角形的面積t匕等于相似比D BDE與AB相交于點D ,與AC相交于點E , DE 2 , 的值.易錯點4不能區分“相似”寫“”的含義4 .如圖，在矩形 ABCD中，AB 10, AD 4 ,點P是邊AB上一點，連接PD,PC,若APD與BPC相似，則滿足條件的點 P有個.5 .如圖， ABC中， C 90 , BC 16cm, AC 12cm,點P從點B出發，沿BC 以2 cm/

8、s的速度向點C移動，點Q從點C出發，以1 cm/s的速度向點 A移動，若點P,Q分別 從點B,C同時出發，設運動時間為 ts,當t 時， CPQ與 CBA相似.疑難點1相似三角形的判定和性質的綜合應用1 .如圖是一塊含30。角的直角三角板，它的斜邊 AB 88cm,里面空心 DEF的各邊與ABC的對應邊平行，且各對應邊間的距離都是1 cm,那么 DEF的周長是（）A. 5cm; B. 6cm; C. （6 V3） cm;D. （3 V3） cm2 .如圖，已知矩形 ABCD, AB 2,BC 6 ,點E從點D出發，沿DA方向以每秒1個 單位長度的速度向點 A運動，點F從點B出發，沿射線 AB以

9、每秒3個單位長度的速度運 動，當點E運動到點A時，E,F兩點停止運動.連接BD ,過點E作EH BD ,垂足為H , 連接EF，交BD于點G ,交BC于點M，連接CF , EC .給出下列結論： CDE : CBF ; DBC EFC; 匹 坦;GH的值為定值近.上述結論正確的個數為（） AB EH5A.1B. 2C. 3D. 4疑難點2相似圖形中的規律探索3.如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上，且3OA 2,OC 1.在第二象限內，將矩形AOCB以原點。為位似中心放大為原來的 倍，得23 ,到矩形AOCiB ,再將矩形AOCiB以原點O為位似中心放大一倍

10、，得到矩形2A2OC2B2依此類推，得到的矩形 AnOCnBn的對角線交點的坐標為 .第3題第4題4.如圖，已知正方形 ABCiDi的邊長為1,延長GDi到A ,以AG為邊向右作正方形AC1C2D2 ,延長C2D2到A2,以A2c2為邊向右作正方形A2C2C3D3依此類推，若ACi 2,且點A,Di,D2,D3,，Di。都在同一直線上，則正方形A9cgCioDio的邊長 是.疑難點3相似三角形與函數等知識的綜合5 .反比例函數y=的圖象在第一象限的分支上有一點A (3, 4), P為x軸正半軸上的一個動點，(i)求反比例函數解析式.(2)當P在什么位置時， OPA為直角三角形，求出此時 P點的

11、坐標.疑難點4動態問題中的相似三角形6 .如圖，在直角坐標系中，點 A(0,4), B( 3,4), C( 6,0),動點P從點A出發以i個單位長 度/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發以2個單位長度/秒的速度在x軸上 向右運動，過點P作PD y軸，交OB于點D ,連接DQ .當點P與點。重合時，兩動點 均停止運動.設運動的時間為t秒.(1)當t 1時，求線段DP的長；(2)連接CD ,設 CDQ的面積為S ,求S關于t的函數表達式，并求出 S的最大值；(3)運動過程中是否存在某一時刻，使ODQ與 ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值;若不存在，請說明理由參考答案例 1.

12、5(褥-1);例 2. (1) 9: 4; (2) 1: 2綜合運用：1.分析：(1)根據平行四邊形的性質可得 AD/BC, AB/CD,即得/ ADF=/CED, ZB+Z 0=180° ,再由/ AFE + Z AFD=180° , /AFE=/B,可得/ AFD=Z C,問題得證；(2)根據平行四邊形的性質可得AD / BC, CD=AB=4,再根據勾股定理可求得DE的長,再由 ADFA DEC根據相似三角形的性質求解即可.證明：(1)二.四邊形 ABCD是平行四邊形 .AD/BC, AB/CD . . / ADF = /CED, /B+/C=180°.Z

13、AFE + Z AFD =180, Z AFE=Z B ，/AFD=/C /.A ADFA DEC;解：(2)二.四邊形 ABCD是平行四邊形， AD/BC, CD=AB=4。又, AEBC , AE± AD在 RtAADE 中，DE=/如 +，* =召): + 3* = 6AF=-AD _ AF .DECD2.解：(1)二.四邊形 PQRS 是正方形，SR/ PQ, ./ ASR=ZABC, /ARS=/ACB . ASRs ABC;(2)設正方形的邊長為 xcm,則 SR=xcm, SR=DE=xcm, AE=40-xcm. ASRs ABC,AE: AD=SR: BC。BC=6

14、0cm, AD=40cm，( 40-x) : 40=x： 60. .x=24cm；即正方形的邊長為 24cm.矯正補償：分析：(1)根據矩形的性質及勾股定理，即可判斷ABC的形狀；(2)通過證明4 ACDA CBE,根據全等三角形的性質得出即可得線段AD、BE、DE長度之間的關系.解：(1) ABC是等腰直角三角形.理由如下：在 4ADC 與 ABEC 中，AD=BE, Z D=Z E=90° , DC=EC, /.A ADCA BEC (SAS), .AC=BC, /DCA=/ECB. / AB=2AD=DE, DC =CE, . AD=DC,，/DCA=45° , ，/

15、ECB=45° ,ACB=180° - / DCA-/ECB=90° . ABC 是等腰直角三角形.(2) DE=AD+BE,理由如下：在 4ACD 與 CBE 中，Z ACD=ZCBE=90° -/BCE, Z ADC=Z BEC=90° , AC=BC, ACDACBE (AAS) , . AD=CE, DC=EB. . DC+CE=BE+AD,即 DE=AD+BE.易錯疑難參考答案易錯1. 10 石 10 或 30 10 石；2. C ; 3. ADE : ABC, . SADE (-DE-)2S ABC BCS ADE 42025解得S

16、16ADE , 4. 3 , 5.5644.8或11疑難1. Bn n9 Q ( -3- -3-2. C , 3. (-n , -n 12 2);3275.解:4.(1)將A (3, 4)代入,(1 分)得K=12,所以函數解析式為；（2 分）(2)當/ OAP = 90° 時，P，0), (3 分)當/ OAP = 90 °時，過 A作AH，x軸于H,由OAHsaph,（4 分）得OH AH ；即,2AH所以,AH PHOH 325OP=3+JA= 運；此時，點 P的坐標為（空，0）. （5分）33_當點P的坐標為（3, 0）時， OPA也是直角三角形.【點評】此題綜合考查了反比例函數，正比例函數等多個知識點. 較強，注意對各個知識點的靈活應用.此題難度稍大,綜合性比6. (1)由 A(0,4),當t 1時，APB( 3,4), C( 6,0)可知 OA 4,AB 3,CO 6DPABOPoa1 ,則 OP 3。. PDDP 39,DP 344y 軸，AB y 軸，PD/AB op1S - CQ DE 2當t 2時，S最大值（3）分兩種情況討論：當0 t 3時，點 AB/CO , I2t2(4 t) t4tQ在CO上運動（當t 3時,BQ一 zD 0_ 2(t 2)4odq不存在）boc abo ABC ,易證得boc bco bca,又.ABCO, BO