1、精選優質文檔-傾情為你奉上對數與對數函數【高考要求】 1.理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化為自然對數或常用對數，了解對數在簡化運算中的作用.2.理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性與函數圖象通過的特殊點，知道指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數(a>0，a1)，體會對數函數是一類重要的函數模型【知識梳理】1.對數的概念(1)對數的定義如果axN(a>0且a1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作_ xlogaN _，其中_ a _叫做對數的底數，_ N _叫做真數.真數N為正數（負數和零無對數）說明：實質上，上述對數表達式，不過是指數函數的另

2、一種表達形式，例如：與 這兩個式子表達是同一關系，因此，有關系式“”同“+”“×”“”等符號一樣，表示一種運算，即已知一個數和它的冪求指數的運算，這種運算叫對數運算，不過對數運算的符號寫在數的前面。對數的底數和真數從對數的實質看：如果abN(a>0且a1)，那么b叫做以a為底N的對數，即blogaN.它是知道底數和冪求指數的過程.底數a從定義中已知其大于0且不等于1；N在對數式中叫真數，在指數式中，它就是冪，所以它自然應該是大于0的.(2)幾種常見對數對數形式特點記法一般對數底數為a(a>0且a1)logaN常用對數底數為_10_lg_N自然對數底數為_e_ln_N2對數

3、的性質與運算法則（1）對數基本性質：，-對數恒等式（2）對數運算性質：若，則： （3）換底公式：推論： 點評：（1）要熟練掌握公式的運用和逆用。（2）在使用公式的過程中，要注意公式成立的條件。例如：真數為兩負數的積，不能寫成=3.對數函數的圖象與性質 對數函數定義：函數稱對數函數，說明：（1）一個函數為對數函數的條件是：系數為1； 底數為大于0且不等于1的正常數； 變量為真數. 在對數式中，真數必須是大于0的，所以對數函數ylogax的定義域應為x|x>0. 對數型函數的定義域：特別應注意的是：真數大于零、底數大于零且不等于1。函數圖像：1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第

4、一、四象限；2）對數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；3）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。a>10<a<1圖象性質(1)定義域：_(0，)_(2)值域：_ R _(3)過點_(1,0)_，即x1_時，y_0_(4)當x>1時，_ y>0_當0<x<1時，_ y<0_(5)當x>1時，_ y<0_當0<x<1時，_ y>0_(6)在(0，)上是_增_(7)在(0，)上是_減_變化對圖象的影響在第一象限內，從順時針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內，從順時針方向看圖象，逐漸減小.

5、奇偶性非奇非偶4.反函數反函數及其性質互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱。若函數上有一點，則必在其反函數圖象上，反之若在反函數圖象上，則必在原函數圖象上。由對數的定義容易知道:指數函數yax與對數函數_.ylogax _互為反函數，它們的圖象關于直線_yx _對稱. 由指數函數的定義域，值域，容易得到對數函數的定義域為，值域為，【考點突破】考點一 對數形式與指數形式的互化【例1-1】下列指數式改寫成對數式； 【例1-2】下列對數式改寫成指數式； 【例1-3】求下列各式的； ； ； 【解析】由，得，即；由，得，即，故；由，得故；由，得故【點評】對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數

6、形式與指數形式的互化又是解決問題重要手段。考點二對數式的化簡求值與運算性質【例2-1】計算下列各式. lg 25lg 2·lg 50(lg 2)2； (log32log92)·(log43log83).【解析】原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2. 原式···.【例2-2】已知求解法一：，解法二：【例2-3】設，求的值.【解析】（1）， 【探究提高】(1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，

7、然后再運用對數運算法則化簡合并，在運算中要注意化同底和指數與對數互化.(2)熟練地運用對數的三個運算性質并配以代數式的恒等變形是對數計算、化簡、證明常用的技巧.【練習】(1)計算：log2.56.25lgln= （2）求值：【解析】原式；原式=(3)設2a5bm，且2，則m的值為()A.B10C20D100【答案】A考點三 對數的概念及應用【例3-1】對數函數的判斷 隨寫【例3-2】若函數是對數函數，則的值為_.【例3-3】若函數的定義域為R，則實數的取值范圍是_.【練習】（1）對數函數的圖象過點（16，2），則函數的解析式為_（2）函數y的定義域是()A1，2 B1，2) C D【解析】 由

8、0<2x11<x1. 【答案】D考點四對數函數的圖象及應用【例4-1】函數的圖象恒過點_【例4-2】已知0<a<b<1<c，mlogac，nlogbc，則m與n的大小關系是_ m>n _【解析】m<0，n<0，logac·logcblogab<logaa1，m>n.【規律方法】用對數函數的圖象與性質比較大小（1）同底數的兩個對數值的大小比較【注意底數范圍】（2）同真數的對數值大小關系（3）同對數值比較真數大小（4）利用中間量(0或1)（5）作差或作商法，結合換底公式及對數運算性質.【練習】（1）已知函數f(x)loga

9、(xb) (a>0且a1)的圖象過兩點(1,0)和(0,1)，則a_，b_.(2）若點(a，b)在ylg x圖象上，a1，則下列點也在此圖象上的是()A. B. C. D.（3）比較大小： log1.10.7與log1.20.7.【解析】作出ylog1.1x與ylog1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.【答案】（1）a2，b2. （2）D （3）<考點五對數函數的值域與最值 隨寫考點六對數函數的性質及應用角度一對數型函數的奇偶性【例6-1】若函數是奇函數，則【解析】由于是奇函數，即，又， 角度二對數型函數的單調性【例6-2

10、-1】的單調減區間為（ ） A B C D【例6-2-2】已知y=loga(2ax)在區間0，1上是x的減函數，求a的取值范圍【解析】先求函數定義域：由2ax0，得ax2又a是對數的底數，a0且a1，x由遞減區間0，1應在定義域內可得1，a2，又2ax在x0，1是減函數y=loga(2ax)在區間0，1也是減函數，由復合函數單調性可知：a1 1a2【規律方法】求解與對數函數有關的復合函數的單調性的步驟：確定定義域；弄清函數是由哪些基本初等函數復合而成的，將復合函數分解成基本初等函數yf(u)，ug(x)；分別確定這兩個函數的單調區間；若這兩個函數同增或同減，則yf(g(x)為增函數，若一增一減

11、，則yf(g(x)為減函數，即“同增異減” 角度三比較對數值的大小【例6-3-1】比較大小：log3與log5 【解析】log3<log310，而log5>log510，log3<log5.【例6-3-2】設alog3，blog2，clog3，則()Aa>b>cBa>c>b Cb>a>cDb>c>a【解析】alog3>1，blog23，則<b<1，clog32<，a>b>c.【例6-3-3】已知，則有（ ）ABCD【解析】，同理.，即 【答案】D 角度四解簡單的對數不等式或方程【例6-4】已知

12、f(x)是偶函數，且在0，)上是減函數，若f(lg x)f(2)，則x的取值范圍是()A B C D【解析】 法一：不等式可化為或，解得1x100或x1，所以法二：由偶函數的定義可知，f(x)f(x)f(|x|)，故不等式f(lg x)f(2)可化為|lg x|2，即2lg x2，解得x100。 【答案】C【練習】（1）.已知函數，若，則等于（ ）ABC2D2【答案】B（2）函數f(x)(x22x3)的單調遞增區間是_（¥，1）_（3）函數f(x)loga(ax3)在1，3上單調遞增，則a的取值范圍是()A(1，) B(0，1) C D(3，)【解析】 由于a>0，且a1，所以

13、uax3為增函數，所以若函數f(x)為增函數，則f(x)logau必為增函數，所以a>1.又uax3在1，3上恒為正，所以a3>0，即a>3. 【答案】D（4）已知奇函數f(x)在R上是增函數若af(log2)，bf(log24.1)，cf(20.8)，則a，b，c的大小關系為()Aa<b<c Bb<a<c Cc<b<a Dc<a<b【解析】由f(x)是奇函數可得，af(log2)f(log25)，因為log25>log24.1>log242>20.8，且函數f(x)是增函數，所以c<b<a. 【答

14、案】C（5）定義在R上的偶函數f(x)在0，)上遞增，f()0，則滿足>0的x的取值范圍是()A(0，)B(0，)(2，) C(0，)(，2)D(0，)【解析】由題意可得：f(x)f(x)f(|x|)，f(|logx|)>f()，f(x)在0，)上遞增，于是|logx|>，解得x的取值范圍是(0，)(2，) 【答案】B【失誤與防范】1.在運算性質logaMnnlogaM時，要特別注意條件，在無M0的條件下應為logaMnnloga|M|(nN*，且n為偶數).2.指數函數yax (a>0，且a1)與對數函數ylogax(a>0，且a1)互為反函數，應從概念、圖象和

15、性質三個方面理解它們之間的聯系與區別.3.明確函數圖象的位置和形狀要通過研究函數的性質，要記憶函數的性質可借助于函數的圖象.因此要掌握指數函數和對數函數的性質首先要熟記指數函數和對數函數的圖象.課后練習一、選擇題1. 當時，下列說法正確的是（ ）若，則；若，則；若，則；若，則A與B與CD2. （a0）化簡得結果是（）A.aB.a2C.aD.a【答案】C3. log7log3（log2x）0，則等于（）A. B. C. D.【答案】C4. 已知，那么用表示是（ ）A. B. C. D. 【答案】A5. ，則的值為（ ）A. B.4 C.1 D.4或1【答案】B6設My|y()x，x0，)，Ny|

16、ylog2x，x(0,1，則集合MN等于 ()A(，0)1，)B0，)C(，1D(，0)(0,1)【答案】C7. 設alog32，bln 2，c5，則()Aa<b<cBb<c<a Cc<a<bDc<b<a【解析】log23>1，log2e>1，log23>log2e.>>1，0<a<b<1.alog32>log3，a>. bln 2>ln ，b>. c5<，c<a<b. 8. 若,那么滿足的條件是（ ）A. B. C. D.【答案】C9.已知函數f(x)ax

17、logax(a>0，a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，則a 的值為 ()A. B. C.2 D.4【解析】當x>0時，函數ax，logax的單調性相同，因此函數f(x)axlogax是(0，)上的單調函數，f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2，由題意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去) 【答案】C10函數f(x)的定義域是()A(3，0)B(3，0C(，3)(0，) D(，3)(3，0)【解析】因為f(x)，所以要使函數f(x)有意義，需使即3<x<0.11(2017·廣州綜

18、合測試(一)已知函數f(x)則f(f(3)()A. B. C D3解析 由f(x)的解析式可得f(3)1log23，又1log23<0，則f(f(3)f(1log23)22log23，故選A.12若函數f(x)若f(a)>f(a)，則實數a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)【解析】當a>0時，f(a)log2a，f(a)，f(a)>f(a)，即log2a>log2， a>，解得a>1. 當a<0時，f(a)，f(a)log2(a)，f(a)>f(a)，即>log2(a)，a

19、<，解得1<a<0，由得1<a<0或a>1. 【答案】C二.填空題13. 若lg2a，lg3b，則log512_【答案】 14函數恒過定點.【答案】（3,1）15. 3a2，則log382log36_ 【答案】 16若log2a<0，則a的取值范圍是_.【答案】17函數f(x)log2 ·log(2x)的最小值為_【解析】依題意得f(x)log2x·(22log2x)(log2x)2log2x，當且僅當log2x，即x時等號成立，所以函數f(x)的最小值為.【答案】18關于函數f(x)lg(x0)，有下列命題：其圖象關于y軸對稱；

20、當x>0時，f(x)是增函數；當x<0時，f(x)是減函數；f(x)的最小值是lg 2； f(x)在區間(1，0)、(2，)上是增函數；f(x)無最大值，也無最小值其中所有正確命題的序號是_【解析】根據已知條件可知f(x)lg(x0)為偶函數，顯然利用偶函數的性質可知命題正確；對真數部分分析可知最小值為2，因此命題正確；利用復合函數的單調性判定法則可知f(x)在(0，1)上遞減，在(1，)上遞增，f(x)為偶函數，故f(x)在(1，0)上遞增，在(，1)上遞減，故命題正確，命題錯誤；函數f(x)有最小值，因此命題錯誤 【答案】三、解答題19. 計算求值：（1） （2）20.已知函數

21、f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若a>1時，求使f(x)>0的x的解集.【解析】(1)f(x)loga(x1)loga(1x)，則解得1<x<1.故所求函數f(x)的定義域為x|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內是增函數，所以f(x)>0>

22、1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<121已知函數f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a1時，求使f(x)0的x的解集【解析】(1)要使函數f(x)有意義，則解得1x1.故所求函數f(x)的定義域為(1，1)(2)由(1)知f(x)的定義域為(1，1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(3)因為當a1時，f(x)在定義域(1，1)內是增函數，所以f(x)01，解得0x1.所以使f(

23、x)0的x的解集是(0，1)【選做部分】1若函數yf(x)是函數yax(a>0且a1)的反函數，且f(2)1，則f(x)()Alog2x B Clogx D2x2【解析】由題意知f(x)logax，因為f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.2. （）等于（）A.1B.1C.2D.2 【答案】B3.已知函數f(x)若af(a)>0，則實數a的取值范圍是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)【解析】 若a>0，則af(a)aloga>0loga>00<a<1；若a<0，則af

24、(a)alog2(a)>0log2(a)<0a<11<a<0.綜上，1<a<1且a0，故選A.4設函數f(x)loga|x|在(，0)上單調遞增，則f(a1)與f(2)的大小關系是()Af(a1)>f(2) Bf(a1)<f(2)Cf(a1)f(2) D不能確定【解析】由已知得0<a<1，所以1<a1<2，又易知函數f(x)為偶函數，故可以判斷f(x)在(0，)上單調遞減，所以f(a1)>f(2)【答案】A 5.已知函數f(x)滿足：當x4時，；當x<4時，f(x)f(x1)則f(2log23)的值為()A.B.C.D.【解析】因為3<2log23<4，故f(2log23)f(2log231)f(3log2