1、精選優質文檔-傾情為你奉上第四節 隱函數和由參數方程確定的函數的導數一、隱函數的導數函數的形式,是因變量由含有自變量的數學式子直接表示的函數,例如,等,稱為顯函數.如果變量與的函數關系可以由一個二元方程表示,例如,等,對在給定范圍內的每一個,通過方程有確定的值與之對應,所以是的函數,這種函數稱為隱函數.定義1 如果變量、之間的函數關系是由某一方程所確定,那么稱這種函數是由方程所確定的隱函數.把一個隱函數化成顯函數，叫做隱函數的顯化.例如從方程解出,就把隱函數化成了顯函數.但有的隱函數不易顯化,甚至不可能顯化.例如由方程確定的隱函數就不能顯化. 對由方程確定的隱函數,在不顯化的條件下,怎樣求呢?

2、假設由方程確定的隱函數,將視為中間變量,利用復合函數求導法,方程兩邊分別對求導,可得到一個含有的方程,最后解出即得隱函數的導數.例1 已知由方程確定了隱函數,求及. 解 把看成的函數,將方程兩邊分別對求導,由復合函數的求導法則有 .從而 , 即 .將代入原方程得,故 .隱函數求導方法小結:(1)把視作復合函數的中間變量,將方程兩邊分別對求導；(2)從求導后的方程中解出；(3)隱函數求導的結果允許含有,但求某一點的導數時不僅要代的值,還要把對應的值代入.例2 求曲線在點處的切線方程.解 把看成的復合函數,方程兩邊分別對求導,得 ,解得 .因而所求切線斜率為 .于是所求切線方程為 .即 .例3 證

3、明拋物線上任一點的切線在兩個坐標軸上的截距之和等于.證 方程兩邊分別對求導,有 , 得 .設是拋物線上任一點,則拋物線過點的切線斜率為 ,所以切線方程為 ,即 .所以拋物線上任一點的切線在兩坐標軸上的截距之和為 .例4 求由方程所確定的隱函數的二階導數. 解 方程兩邊分別對求導,得 ,即 .從而 .說明：求由方程確定的函數的二階導數, 可把視為中間變量將兩邊分別對求導, ,求出后,仍視為中間變量,對再求一次導數,則表達式中有,將第一次求出的代入后即可求出.二、對數求導法定義2 先將函數的兩邊取對數,然后利用隱函數求導法求出的導數,這種方法稱為對數求導法. 對以下兩類函數,使用對數求導法求導一般

4、較為簡便.(1)冪指函數；(2)多個因式的積、商、乘方、開方構成的函數.下面通過例題來說明這種方法.例5 求冪指函數的導數,其中為的可導函數.解（法一） 將函數兩邊取對數得 ,兩邊分別對求導,由于都是的函數,則由隱函數求導法則,有 , . （法二） 因為,所以由復合函數求導法則得 .例6 已知,求.解 兩邊取對數得 ,上式兩邊分別對求導得 , .例7 已知,求.解 兩邊取對數得 ,方程兩端再取對數得 ,方程兩端分別對求導得 ,所以 .例8 求函數的導數.解 兩邊取對數得 ，兩邊分別對求導得 ，所以 .例9 求函數的導數.解 兩邊取對數得 ，方程兩端分別對求導得 ，即 .三、由參數方程所確定的函

5、數的導數在許多實際問題中,變量與的函數關系可用參數方程確定,于是我們有下面定義:定義3 如果參數方程 確定了與之間的函數關系,則稱此函數關系所表示的函數為由參數方程所確定的函數.如何求由參數方程所確定函數的導數呢?在參數方程中,如果函數具有單調連續的反函數,且此函數能與函數復合而成復合函數.假設均可導,且,則根據復合函數和反函數的求導法則,可得 .即 .如果函數有二階導數,那么可求出: .例10 已知橢圓的參數方程為 .求橢圓在相應點處的切線方程.解 因為 ,所以橢圓在處的切線的斜率為 .當時,因而橢圓在處的切線方程是 ,即 .例11 求由參數方程 所確定的函數的.解 , . 例12 求由參數方程 (存在且不為零)所確定函數的二階導數.解 . .四、相關變化率定義4 設都是可導函數,且與之間存在某種關系,從而變化率與間也存在一定關系.在已知其中一個變化率時,便可求出另一個變化率.這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率.例13 落在平靜水面上的石頭,產生同心波紋,若最外一圈波的半徑的增大率總是,問在末擾動水面面積的增大率為多少？解 設在秒末最外一圈水波半徑為,擾動水面面積為,則 .兩邊同時對求導,得 .由已知 ,當時,所以 .例14 注水入深,上頂直