1、第5講橢圓一、【考點深度剖析】縱觀近幾年的高考試題，高考對橢圓的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓的定義，與橢圓的焦點三角形結合，解決橢圓、三角形等 相關問題；二是考查橢圓的標準方程，結合橢圓的基本量之間的關系，利用待定系數法求解；三是考查橢圓的幾何性質，較多地考查離心率問題； 四是考查直線與橢圓的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結合，涉及方程組聯立，根的判別式、根與系數的關系、弦長問題、不等式等二、【經典例題精析】考點1橢圓的定義及其應用【5-1】已知橢圓的焦點是 Fi、F2, P是橢圓的一個動點，如果M是線段RP的中點，那么動點 M的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋

2、物線的兩個焦點，為橢圓【5-2】【河北省定州中學 2017屆高三上學期周練】已知 、 是橢圓上一點，且.若的面積為9則【基礎知識回眸】1.橢圓的概念(1)文字形式：在平面內到兩定點F、F2的距離的和等于常數(大于尸也|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.(2)代數式形式：集合 P=M|MF1+|MF 2|=2a1|FF2|=2c. 若a c，則集合p為橢圓； 若a = c，則集合p為線段； 若a : c，則集合p為空集22 22x丄 y八,c、y丄 x一,c、2.橢圓的標準方程：焦點在 x軸時， 22=1(a>b>0)；焦點在y軸時， 22

3、 =1(a>b>0)a ba b【方法規律技巧】1. 涉及到動點到兩定點距離之和為常數的問題，可直接用橢圓定義求解.2. 涉及橢圓上點、焦點構成的三角形問題，往往利用橢圓定義、勾股定理或余弦定理求解【新題變式探究】【變式一】已知 ABC的頂點B、C在橢圓2x+ y =13上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則 ABCP為圓 M : x- - 3 彳 y2 =24 上的動點，定的周長是【變式二】【浙江省溫州市普通高中2017屆高三8月模擬】如圖,點 Q - 3,0 ，線段 PQ 的垂直平分線交線段 MP于點N(1) 求動點 N 的軌跡方程;(2)記動點N的軌跡

4、為曲線 C，設圓0 ： x2 + y2 = 2的切線l交曲線C于A,B兩點，求 OALOB 的最大值.【綜合點評】應用橢圓的定義，可以得到結論:(1)橢圓上任意一點P(x，y)(yM0與兩焦點F!( c,0)，F2(c,0)構成的 PF1F2稱為焦點三角形，其周長為2(a + c).(2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形,其中a 是斜邊，a2 = b2+ c2.考點2橢圓的標準方程2 x【5-3】已知橢圓C:2a2y -1(a b 0)b2的左右焦點為F1,F2離心率為兀，過F2的直線l交C與A,B兩點，若 AF1B的周長3的方程為2xA.32=1B.C.2xD. 1212【

5、5-4】求滿足下列各條件的橢圓的標準方程:(1)長軸是短軸的 3倍且經過點 A 3,0；(2) 短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為【基礎知識回眸】1.橢圓的標準方程:(1)焦點在x軸，2x+ab2=1(a>b>0)(2)焦點在y軸,2x孑=1(a>b>0).2.滿足條件:2a> 2c,2.22小a = b + c， a> 0,b>0, c>0【方法規律技巧】1. 求橢圓標準方程的方法求橢圓的標準方程，除了直接根據定義外，常用待定系數法(先定性，后定型，再定參).當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設方程為2

6、 2乙 V-=1m n(m> 0， n>0且 m = n)，可以避免討論和繁雜22的計算，也可以設為 Ax + By =1 (a> 0，b >0且ab)，這種形式在解題中更簡便.2. a2.橢圓的標準方程有兩種形式，其結構簡單，形式對稱且系數的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏，要深刻理解橢圓中的幾何量a, b, c, e,c等之間的關系，并能熟練地應用.【新題變式探究】 【變式一】求經過點 P(-2?3,1),Q3,-2) 兩點的橢圓標準方程【變式二】求與橢圓2 2+ =1有相同離心率且經過點 (2,-3)的橢圓標準方程.43【綜合點評】1.用待定系數法求橢圓標準方程的

7、一般步驟是:作判斷：根據條件判斷焦點的位置.(2)設方程：焦點不確定時，要注意分類討論，或設方程為mx2+ n y2=1(m>0, n>0且m = n)-(3)找關系：根據已知條件，建立關于a、 b、 c或m、 n的方程組.(4)求解，得方程.2 2 2xyx2. (1)方程 2 +2 =1 與 2aba2y+= '( >0)有相同的離心率.b2(2)與橢圓2 2x y+ =1(a>b>0) 共焦點的橢圓系方程為 a2 b2a2 k2y= 1(a>b>0, b k 0) ，恰當運用橢圓系 b k方程，可使運算簡便.考點3橢圓的幾何性質2x【5-

8、5】已知橢圓C:-2a2y2 =1 (a b 0)的左、b2右焦點為43F、F2，離心率為，過F?的直線l交C于a ' B兩點,3若 .：AF,B 的周長為 4 3 ，則C的方程為(2xA.32xy 132 2Li12 822D. H=1124【5-6】設P是橢圓x225Fj, F2是橢圓的兩個焦點,PF1 卩F2 = 0,則-F1PF2面積是 ()A. 5B.10c.8D. 9【基礎知識回眸】橢圓的標準方程及其幾何性質2 2 22 a>2 c, a = b + c， a>0， b>0, c>0圖形yyV0 x標準方程2 2?+£=1(a>b&g

9、t;0)2 2£+£=1(a>b>0)范圍x 蘭a, y <b|x b, y 蘭 a對稱性曲線關于x, y軸、原點對稱曲線關于 x, y軸、原點對稱頂點長軸頂點(±a,0 )，短軸頂點(0,±b )長軸頂點(0,±a )，軸頂點(±b,0 )焦點(比,0)(0,土c)焦距F1F2 =2c(c2= a -b2)離心率e=(°,1卜其中g厶2 _b2通徑2b2過焦點垂直于長軸的弦叫通徑，其長為a【方法規律技巧】c、a、b的方程或不等式，.1. 在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據題目

10、給出的橢圓的幾何特征，建立關于參數通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍.較多時候利用定義式的平方2.對焦點三角形 EPF? 的處理方法，通常是運用余弦定理、面積公式(|PF|+|PF 2)(2a)2二 «2c) 2 =|PF12+|PF2|2 _2PF1|PF2|cos 日1Sa 弓PF|PFsin 0【新題變式探究】2 2b)，且左焦點為f , ABF是以角b為直角的直角X y.【變式一】橢圓+的兩頂點為 A a,0 , B(0,a b三角形，則橢圓的離心率B.1；51 -3C.D.44【變式二】已知 Fi、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，/ FiPF2= 60'求

11、橢圓離心率的范圍;(2)求證： PF1F2 的面積只與橢圓的短軸長有關.【綜合點評】1. 學習中，要注意橢圓幾何性質的挖掘：(1)橢圓中有兩條對稱軸,六點"兩個焦點、四個頂點)，要注意它們之間的位置關系(如焦點在長軸上等)以及相互間的距離(如焦點到相應頂點的距離為a c),過焦點垂直于長軸的通徑長為等.2 2x y(2)設橢圓+ 2 =1(a>b>0)上任意一點a2b2P(x, y)，則當x = 0時,|OP|有最小值b,這時,P在短軸端點處；當x= a時，|OP有最大值a,這時P在長軸端點處.(3)橢圓上任意一點P(x, y)(yn0與 兩焦點Fi( c,0)F2(c,

12、0)構成的 PF1F2稱為焦點三角形，其周長為2(a+ c).(4)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊，a2 = b2+ c2.2. 重視向量在解析幾何中的應用，注意合理運用中點、對稱、弦長、垂直等幾何特征.考點4直線與橢圓的位置關系【5-7 【2016高考新課標1卷設圓y22x15 =0 的圓心為A,直線l過點B ( 1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交 AD于點E.(I)證明EA EB為定值,并寫出點E的軌跡方程;A交于P,Q兩點，求四邊形 MPNQ面積的取值范圍(II)設點E的軌跡為曲線 C1,直線l交C1于M,N兩點，過B且與

13、l垂直的直線與圓2x【5-8 已知橢圓一2y2 =1上兩個不同的點A, B關于直線y =mx 1對稱.2(1) 求實數 m的取值范圍;(2) 求 AOB 面積的最大值( O為坐標原點)【基礎知識回眸1. 直線與橢圓位置關系的判斷(1) 代數法：把橢圓方程與直線方程聯立消去y，整理得到關于x的方程Ax2+ Bx+ C = 0.記該一元二次方程根的判別式為，若A> 0,則直線與橢圓相交；若 A= 0,則直線與橢圓相切；若 A< 0,則直線與橢圓相離.(2) 幾何法：在同一直角坐標系中畫出橢圓和直線，利用圖象和性質可判斷直線與橢圓的位置關系.2. 直線與橢圓的相交長問題：(1 ：2)&#

14、169;1 丫2)2 rym(1)弦長公式：設直線與橢圓有兩個公共點M (咅,y1), N(x2, y2),則弦長公式為 MN =J(1 +k2)(X1 +X2)2 4x1X2或 MN =(2)弦中點問題，適用 點差法”.【方法規律技巧1.涉及直線與橢圓的基本題型有:(1)位置關系的判斷(2) 弦長、弦中點問題(3) 軌跡問題(4) 定值、最值及參數范圍問題(5) 存在性問題2. 常用思想方法和技巧有:(1)設而不求(2)坐標法(3)根與系數關系3.若直線與橢圓有兩個公共點 M (x-i, yj, N (x2, y2),可結合韋達定理，代入弦長公式MN =伙2)(為 +X2)2 -4XM或 M

15、N| = (1 +右)(丫 i + 丫2)2 4y2，求距離.【新題變式探究】【變式一】已知橢圓C:2 20=1,點94M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A , B,線段MN的中點在C上，則【變式二【2016高考天津理數】設橢圓(a 3 )的右焦點為F ,右頂點為 A,已知1|OF|OA|3eHfa|，其中O為原點,e為橢圓的離心率(:n)設過點 A的直線|與橢圓交于點(I)求橢圓的方程;B( B 不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點 M ，與 y軸交于點 H，若BF _ HF，且/MOA MAO，求直線的l斜率的取值范圍【綜合點評】1.涉及直線與橢圓的基本題型有：(1) 位

16、置關系的判斷(2) 弦長、弦中點問題(3) 軌跡問題(4) 定值、最值及參數范圍問題(5) 存在性問題2 .常用思想方法和技巧有：(1)數形結合思想；(2)設而不求；(3)坐標法；(4)根與系數關系三、【易錯試題常警惕】2x易錯典例：已知橢圓 C :飛aZ =1 a b 0 的一個焦點為 .5,0 ，離心率為b（2）若動點P （x0, y0 ）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程（1）求橢圓 C的標準方程;易錯分析：研究直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往易忽視直線的斜率不存在的情況而導致失解.溫馨提醒：（1）研究直線與圓錐曲線位置關系問題，要特別注意運用

17、數形結合思想；（2）在解答此類問題時，要注意直線斜率是否存在，分類討論，避免漏解.四、【課時訓練】A基礎鞏固訓練1.已知橢圓=1 （ m 0）的左焦點為F (-4,0 )，則 m =(2.已知橢圓2 2x yc : 2牙=1(a 、b 、0)的左右焦點為a bF1,F2離心率為3，過F2的直線l交C與A,B兩點，若厶AF1B的周長為3則C的方程為（）A.3.設x2=1F1, F2為橢圓B.4.【2016高考新課標2f y2=12y 1的兩個焦點，點2xC.122y =18P在橢圓上，若線段D.PF11文數】直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點5.【四川省成都市 2017屆高中畢業班摸底】已知橢圓

18、Cx212的中點在是橢圓C-|和雙曲線 C?的一個公共點，若2y =14y軸上，則1嚇|的值為（，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的 £則該橢圓的離心率為（22x y2222 =1(a b 0)a bPF2 = 2,則橢圓C1的離心率為（）：.k.4有相同的右焦6.設橢圓C :2 x2 aC.2 -12y2 =1 a b 0的左右焦點為F2，作F2作x軸的垂線與C交于 A, B 兩點， b''1.【2016高考新 課標m文數】已知2y廠1（a b 0） 的左焦點， A,B 分別為C的b交于點D，若 AD _ F1B ，則橢圓 C的離心率等于B能力提升訓練2xO為坐標原點，F是橢圓 C : -2a左，右頂點.P為C上一點，且PFI x軸.過點 A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E .若直線BM經過OE 的中點，則 c的離心率為1A.31B.22C.33D.42.若m是1和4的等比中項，則圓錐曲線=1的離心率為（D.、2或323.設 P,Q分別為xy - 6=2和橢圓2