1、數列三、解答題1.已知數列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.（1）令求證數列是等比數列; （2）求數列 設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數列.（II）由（I）知， 將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數列是等差數列.數列是等差數列的充要條件是、是常數即又當且僅當，即時，數列為等差數列.解法二：存在，使數列是等差數列.由（I）、（II）知，又 當且僅當時，數列是等差數列.2.已知等比數列的各項均為正數，且公比不等于1，數列對任意正整數n，均有：成立，又。（）求數列的通項公式及前n

2、項和；（）在數列中依次取出第1項，第2項，第4項，第8項，第項，組成一個新數列，求數列的前n項和；（）當時，比較與的大小。解：（I）設公比為 代入得即 ，是等差數列 =2 （） （3） 時，時，猜測時， 用數學歸納法證明如下（1）時，（已證）（2）假設時不等式成立，即 時，又即時，不等式成立。由（1）（2）知，當時， 3.已知數列的前項和和通項滿足.（）求數列的通項公式； () 求證：；（）設函數，求.解：（）當時 ，由得數列是首項、公比為的等比數列，()證法1： 由得 ，證法2：由（）知， ， 即() 4.已知等差數列的首項，公差，前項和為，（1）求數列的通項公式；（2）求證：解：（1）等差

3、數列中，公差 （2） 5.如圖，是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標原點) .() 寫出；yxOA0P1P2P3A1A2A3()求出點的橫坐標關于的表達式；()設，若對任意正整數，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：() .()依題意，則，在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并變形得 ， ， . 數列是以為首項，公差為的等差數列. ，. ()解法1 ：， . .當時，上式恒為負值， 當時，數列是遞減數列. 的最大值為. 若對任意正整數，當時，不等式恒成立，則不等式在時恒成立，即不等式在時恒成立. 設，則且， 解之，得 或， 即的取值范圍是.解法2：， 設，則 .當

4、時，在是增函數. 數列是遞減數列. 的最大值為. 6.已知數列的前項和,（）求數列的通項公式；（）設,且，求.解：（）Sn=n2+2n 當時，當n=1時，a1=S1=3， ,滿足上式， 故 （）, 7.已知函數，設曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數.（1）用表示；（2）,若，試證明數列為等比數列，并求數列的通項公式；（3）若數列的前項和，記數列的前項和，求。解：（1）由題可得，所以在曲線上點處的切線方程為，即令，得，即由題意得，所以 （2）因為，所以即，所以數列為等比數列故 （3）當時，當時，所以數列的通項公式為，故數列的通項公式為 的 得 故 8.定義一種運算*，滿足（為非零實常數）

5、（1）對任意給定的k，設，求證數列是等差數列，并求k=2時，該數列的前10項和；（2）對任意給定的n，設，求證數列是等比數列，并求出此時該數列前10項的和；（3）設，試求數列的前n項和.解：（1） ，又 所以，所以, 所以數列是公差為的等差數列當時，所以（2） ，又 故數列是公比為的等比數列當時， 當時，（3） ，而 所以當時，當時，得 所以9.已知數列的前n項和為，且，（n=1，2，3）數列中，點在直線上。（1）求數列和的通項公式；（2）記，求滿足的最大正整數n。解：（1） 當時，即 即數列是等比數列 即 點在直線上 即數列是等差數列，又 （2） 得即 即 于是又由于當時，, 當時，故滿足條

6、件最大的正整數n為410.在等差數列中，首項，數列滿足（I）求數列的通項公式； （II）求解：（1）設等差數列的公差為d， ，由，解得d=1. （2）由（1）得設，則兩式相減得.11.已知等差數列的前項和為（1）求q的值；（2）若與的等差中項為18，滿足，求數列的前項和.【解】 (1) ：當時，當時,.是等差數列, , (2)解：, 又, 又得.,即是等比數列所以數列的前項和12.數列的前項和記為，（1）求數列的通項公式；（2）等差數列的前項和有最大值，且，又成等比數列，求解：（1）由，可得，兩式相減得，又，故是首項為1，公比為3的等比數列，（2）設的公差為，由得，于是，故可設，又，由題意可得

7、，解得，等差數列的前項和有最大值，13.設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和已知，且構成等差數列 （1）求數列的通項公式；（2）令求數列的前項和 解：（1）由已知得 解得設數列的公比為，由，可得又，可知，即，解得 由題意得 故數列的通項為 （2）由于 由（1）得 =14.已知數列的前項和為，. （）證明：數列是等比數列； （）設求使不等式 成立的正整數 的取值范圍.解：（I）由，則.兩式相減得. 即.又時，.數列是首項為4，公比為2的等比數列.（）由（I）知. 當為偶數時，原不等式可化為，即. 故不存在合條件的.當為奇數時，.原不等式可化為，所以，又m為奇數，所以m=1,3,515.設數列

8、的前項和為，點在直線上，為常數，()求；（）若數列的公比,數列滿足，求證：為等差數列，并求；（III）設數列滿足，為數列的前項和，且存在實數滿足，求的最大值解：（）由題設， 由，時， 得， （）由（）知 化簡得： 為等差數列， （III）由（）知 為數列的前項和，因為，所以是遞增的， 所以要滿足， 所以的最大值是16.數列 （1）求證：數列是等比數列； （2）求數列的通項公式； （3）解：（1）由題意知：是等比數列（2）由（1）知數列以是a2a1=3為首項，以2為公比的等比數列，所以 故a2a1=3·20，所以a3a2=3·21，a4a3=3·22，所以（3） 1

9、7.我們用部分自然數構造如下的數表：用（i、j為正整數），使；每行中的其余各數分別等于其“肩膀”上的兩個數之和（第一、二行除外，如圖），設第n（n為正整數）行中各數之和為b。 （1）試寫出的關系（無需證明）； （2）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式； （3）數列中是否存在不同的三項恰好成等差數列？若存在求出p，q，r的關系；若不存在，請說明理由。解：（1）；可見：；， 2分猜測：（或或） 4分 （2）由（1） ， 所以是以為首項，為公比的等比數列，即 （3）若數列中存在不同的三項恰好成等差數列，不妨設，顯然，是遞增數列，則 即，于是由且知，等式的左邊為偶數，右邊為奇數，不成立，故數列中不

10、存在不同的三項恰好成等差數列. 18.已知等比數列中，分別是某等差數列的第5項，第3項，第2項，且，公比； （1）求 （2）設，求數列的前n項和?！窘狻浚ǎ┮李}意得（）又19.已知數列（I）求數列的通項公式；（II）設Tn為數列，求m的最小值?！窘狻浚↖）由題意知 （II） 的最小值為10。20.設數列an的各項都是正數，且對任意nN*,都有a13a23a33an3Sn2，其中Sn為數例an的前n項和（1）求證：an22Snan；（2）求數列an的通項公式；（3）設bn3n（1）n1·2an（為非零整數，nN*），試確定的值，使得對任意nN*,都有bn1>bn成立解：（1）由已

11、知，當n1時，a13a12, 又a1>0,a11當n2時，a13a23a33an3Sn2 a13a23a33an13Sn12由得，an3（SnSn1）（SnSa1）（SaSa1）an（SnSn1）an>0,an2SnSn1, 又Sn1Saaa,an22Snan當n1時，a11適合上式 an22Snan（2）由（1）知，an22Snan, 當n2時，an122Sn1an1,由得，an2an122（SnSn1）anan1anan1anan1>0,anan11,數列an是等差數列，首項為1，公差為1 ann（3）ann,bn3n（1）n1·2n 要使bn1>bn恒成

12、立，bn1bn3n13n（1）n·2n1（1）n1·2n2×3n3（1）n1·2n>0恒成立，即（1）n1<（）n1恒成立。當n為奇數時，即<（）n1恒成立又（）n1的最小值為1<1。當n為偶數時，即>（）恒成立，又（）n1的最大值為，>即<<1，又0，為整數，1，使得對任意nN*,都有bn1<bn21.已知數列是等差數列，；數列的前n項和是，且() 求數列的通項公式；() 求證：數列是等比數列；() 記，求的前n項和解： ()設的公差為，則：， （）當時，由，得 當時，即 是以為首項，為公比的等比數

13、列（）由（2）可知： 22.數列an的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*) （1）求數列an的通項an； （2）求數列nan的前n項和Tn解：（），又，數列是首項為，公比為的等比數列，當時， （），當時，；當時，得： 又也滿足上式，23.已知等差數列an的前n項和為Sn，且a3=5，S15=225. （1）求數列an的通項an； （2）設bn=+2n，求數列bn的前n項和Tn. 解：（）設等差數列an首項為a1，公差為d，由題意，得 解得 an=2n1 （）， = 24.設數列滿足當時， （）求證：數列為等差數列； （）試問是否是數列中的項？如果是，是第幾項；如果不是，說明理由

14、解：（1）根據題意及遞推關系有，取倒數得：，即所以數列是首項為5，公差為4的等差數列（2）由（1）得：，又所以是數列中的項，是第11項25.數列滿足.（1）求的值；（2）是否存在一個實數，使得，且數列為等差數列？若存在，求出實數；若不存在，請說明理由；（3）求數列的前項和.解：（）由得 （）假設存在實數t ,使得為等差數列. 則 為等差數列. ()由（）、（）知: 26.已知數列中，其前項和滿足（1）求數列的通項公式；（2）設(為非零整數，），試確定的值，使得對任意，都有成立解：（1）由已知，（，）， 即（，），且數列是以為首項，公差為1的等差數列（2），要使恒成立，恒成立，恒成立，恒成立（）

15、當為奇數時，即恒成立，當且僅當時，有最小值為1，（）當為偶數時，即恒成立，當且僅當時，有最大值，即，又為非零整數，則綜上所述，存在，使得對任意，都有27.是上的函數，對于任意和實數，都有，且 （1）求的值； （2）令，求證：為等差數列；（3）求的通項公式。解：（1）令；再令 （2） 令代入已知得： （3）。28.已知分別以為公差的等差數列滿足（1）若，且存在正整數，使得，求證：； （2）若，且數列的前項和滿足，求數列的通項公式；（3）在（2）的條件下，令，問不等式是否對恒成立？請說明理由。解：（1），推出是成立的，由均值不等式既得。（2）。（3）當時，恒成立；當時，恒成立；當時，恒成立。所以對

16、任意的正整數，不等式恒成立。29.已知等差數列的首項為a，公差為b，等比數列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且（1）求a的值；（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；（3）令，問數列中是否存在連續三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續三項；若不存在，請說明理由解：（1）由已知，得由，得因a，b都為大于1的正整數，故a2又，故b3再由，得由，故，即由b3，故，解得 于是，根據，可得（2）由，對于任意的，均存在，使得，則又，由數的整除性，得b是5的約數故，b=5 所以b=5時，存在正自然數滿足題意（3）設數列中，成等比數列，由，得化簡，得（）當時，時，等式（）

17、成立，而，不成立 當時，時，等式（）成立當時，這與b3矛盾這時等式（）不成立綜上所述，當時，不存在連續三項成等比數列；當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，5030.設數列的前項和為，且，其中；（）證明：數列是等比數列；（）設數列的公比，數列滿足，（，求數列的通項公式；（）記，記，求數列的前項和為；解：（1）由， 相減得：，數列是等比數列 （2），是首項為，公差為1的等差數列； （3）時， -得：，所以：31.已知數列中，且點在直線上. （1）求數列的通項公式； （2）若函數求函數的最小值； （3）設表示數列的前項和。試問：是否存在關于的整式，使得對于一切不小于2的自

18、然數恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由解：（1）由點P在直線上，即，且，數列是以1為首項，1為公差的等差數列 ，同樣滿足，所以 （2） - 所以是單調遞增，故的最小值是（3），可得， ， ，n2故存在關于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數n恒成立32.已知函數，數列滿足對于一切有，且數列滿足，設（）求證：數列為等比數列，并指出公比；（）若，求數列的通項公式；（）若（為常數），求數列從第幾項起，后面的項都滿足解（） 故數列為等比數列，公比為.（） 所以數列是以為首項,公差為 loga3的等差數列. 又又=1+3,且 （） 假設第項后有 即第項后，于是

19、原命題等價于 故數列從項起滿足33.已知數列的前n項和為，且（）求數列通項公式；（）若，求證數列是等比數列，并求數列的前項和解：（）n2時，n1時，適合上式，（），即數列是首項為4、公比為2的等比數列，Tn 34.已知數列是公差為的等差數列，數列是公比為的(qR)的等比數列，若函數，且,，(1)求數列和的通項公式；(2)設數列的前n項和為，對一切，都有成立，求解：(1)數列是公差為的等差數列 ，且 數列是公比為的(qR)的等比數列 ，且, (2) ， 設 綜上35.在正項數列中,令.（）若是首項為25,公差為2的等差數列,求；（）若（為正常數）對正整數恒成立,求證為等差數列；（）給定正整數,正

20、實數,對于滿足的所有等差數列,求的最大值.解：（）解：由題意得,所以=（）證:令,則=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化簡得（3）（4）,（4）（3）得在（3）中令,得,從而為等差數列 （）記,公差為,則=則,則,當且僅當,即時等號成立 36.在等差數列中，,.()求數列的通項；()令，證明：數列為等比數列；（）求數列的前項和.解：()由，得方程組，解得 ()由()得，是首項是4，公比的等比數列。() 由 得： 相減可得： 37.已知數列的前項和為，若且()求證是等差數列，并求出的表達式；() 若，求證解：（I）證明： 當n2時，an = Sn Sn 1 又 ，若Sn = 0，則

21、an = 0，a1 = 0與a1 =矛盾！ Sn0，Sn 10 即 又是首項為2，公差為2的等差數列（2）解：由（I）知數列是等差數列即 當 又當 （III）證明：由（II）知 38.設數列的前n項和為，并且滿足，（nN*）.（）求，；（）猜想的通項公式，并加以證明；（）設，且，證明：.解：（）分別令，2，3，得 ， （）證法一：猜想：，由 可知，當2時， -，得 ，即. 1）當時，； 2）假設當（2）時，. 那么當時， ，2， . 這就是說，當時也成立，（2）. 顯然時，也適合.故對于nN*，均有 證法二：猜想：，1）當時，成立； 2）假設當時，. 那么當時，.， （以下同證法一）（）證法一

22、：要證，只要證，即， 將代入，得，即要證，即1. ，且，,即，故1成立，所以原不等式成立.證法二：，且， 當且僅當時取“”號. 當且僅當時取“”號. +，得（），當且僅當時取“”號. 證法三：可先證. ， ， ，當且僅當時取等號. 令，即得 ， 當且僅當即時取等號. 39.已知二次函數同時滿足：不等式 0的解集有且只有一個元素；在定義域內存在，使得不等式成立,設數列的前項和.（）求函數的表達式；（）求數列的通項公式；（）設各項均不為0的數列中，所有滿足的整數的個數稱為這個數列的變號數，令（）,求數列的變號數.解：（）不等式0的解集有且只有一個元素 解得或當時，函數在遞增，不滿足條件當時，函數在

23、（，）上遞減，滿足條件綜上得，即（）由（）知 當時，當時 （）由題設可得，都滿足 當時，即當時，數列遞增，由，可知滿足 數列的變號數為.40.已知數列是首項為，公比的等比數列，設，數列.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和Sn.解：（1）由題意知， ，又，故 （2）由（1）知， 于是兩式相減，得41.已知等差數列和正項等比數列，求、；對，試比較、的大?。辉O的前項和為，是否存在常數、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，說明理由解：由，得-1分 由且得所以，顯然，時，；時，時，-6分 因為、，所以時，恒成立，則有，解得，所以，當，時，恒成立42.設數列的前n項和為，數列滿足: ,且數

24、列的前n項和為.(1)求的值； (2)求證：數列是等比數列；(3)抽去數列中的第1項，第4項，第7項，第3n-2項，余下的項順序不變，組成一個新數列，若的前n項和為，求證：.解:(1)由題意得: ;當n=1時,則有: 解得: ;當n=2時,則有: ,即,解得: ; (2) 由 得: - 得: ,即: 即:;,由知: 數列是以4為首項,2為公比的等比數列(3)由(2)知: ,即當n2時, 對n=1也成立, 即(n數列為,它的奇數項組成以4為首項、公比為8的等比數列；偶數項組成以8為首項、公比為8的等比數列；當n=2k-1 時, 當n=2k 時,.43.已知數列是等差數列，且（1）求數列的通項公式

25、；（2）若數列滿足，記數列的前n項和為Tn，試證明：恒成立。解：（1）設等差數列 所以d=3 所以數列的通項公式（2） 當n2時，數列是等比數列，首項恒成立44.已知數列中，（1）求數列的通項公式；（2）設（3）設是否存在最大的整數m，使得對任意，均有成立？若存在，求出m，若不存在，請說明理由。解：（1） （2）（3）由（1）可得則由Tn為關于n的增函數，故，于是欲使恒成立則 存在最大的整數m=7滿足題意45.已知數列滿足：，且（）求； （）求證數列為等比數列并求其通項公式；（）（理）求和S2n+1=（文）求和解：（）（）當 （理）（） （文）（） =46.已知各項均為正數的數列，的等比中項。

26、（1）求證：數列是等差數列；（2）若的前n項和為Tn,求Tn。解：（1）由題意，當即 即 是等差數列（2） 得 47.an為等差數列，且，為數列的前n項和，設 （1）比較f（n）與f（n+1）的大小；（2）若，在xa，b且對任意n1，nN*恒成立，求實數a、b滿足的條件。 解：（1）an=n，f（n+1）- f（n）=S2（n+1）- Sn+1- S2n- Sn= S2（n+1）- S2n- （Sn+1-Sn）= a2n+2+ a2n+1-an+1 =-=0 f（n+1） f（n）（2）由上知： f（n）為遞增數列，只須log2x12 f（2）成立，f（2）= S4-S2= log2x7， 0

27、x128， 0ab128 48.若公比為c的等比數列an的首項a1=1，且滿足an=，n=3，4，5，（1）求c的值；（2）設bn=n·an求數列bn的前項和Sn .解：（1）2a3 =a2+a1，c=1，c=-，（2）當c=1時，an=1，bn=n·an=n，Sn= 當c=-時，an=（-）n-1，bn=n·an=n（-）n-1，Sn= 1·（-）1-1+2·（-）2-1+3·（-）3-1+n·（-）n-1 -Sn= 1·（-）2-1+2·（-）3-1+（n-1）·（-）n-1+ n·

28、;（-）n相減得；Sn=-（+）·（-）n 49.已知數列的前n項和為且（）求數列的通項公式；（）設，求數列的前n項和；（）設，證明：解：（）（1） (2) （2)(1)得： ，所以 （3分）（） （3） （4）（3)(4)得： 50.已知數列滿足（1）求（2）設的通項公式；（3）求數列的通項公式。解：（1） 證明：（2） （3）當時，有 而51.設a>2，給定數列求證：（1），且 （2）如果。證明：（1）使用數學歸納法證明 當n=1時，假設當時命題成立，即當 即 綜上對一切當>2時， （2）因為>2，所以故由此可得52.已知數列的前項和為，點在直線上，其中.令，且

29、，（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和解：（1），. （）.（）. （）.（）.數列等比，公比，首項，而，且，. . .（2）， 2. -得 -，. 53.設正數數列的前項和為，且對任意的，是和的等差中項（1）求數列的通項公式； （2）在集合，且中，是否存在正整數，使得不等式對一切滿足的正整數都成立？若存在，則這樣的正整數共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數的值；若不存在，請說明理由；解：（1）由題意得， ， 當時，解得，當時，有 ，式減去式得，于是，因為，所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列， 所以的通項公式為（）（2）設存在滿足條件的正整數，則，又，所以，均滿足條件，它們組

30、成首項為，公差為的等差數列設共有個滿足條件的正整數，則，解得所以，中滿足條件的正整數存在，共有個，的最小值為（3）設，即，（15分），則，其極限存在，且注：（為非零常數），（為非零常數），（為非零常數，）等都能使存在按學生給出的答案酌情給分，寫出數列正確通項公式的得3分，求出極限再得3分54.觀察數列：；正整數依次被4除所得余數構成的數列；(1)對以上這些數列所共有的周期特征，請你類比周期函數的定義，為這類數列下一個周期數列的定義：對于數列，如果_，對于一切正整數都滿足_成立，則稱數列是以為周期的周期數列；(2)若數列滿足為的前項和，且，證明為周期數列，并求； (3)若數列的首項，且，判斷數列

31、是否為周期數列，并證明你的結論.解：(1) 存在正整數；(2)證明：由 所以數列是以為周期的周期數由于是 又所以，(3)當=0時，是周期數列，因為此時為常數列，所以對任意給定的正整數及任意正整數，都有，符合周期數列的定義.當時，是遞增數列，不是周期數列.下面用數學歸納法進行證明：當時，因為所以，且 所以假設當n=k時，結論成立，即，則即 所以當n=k+1時，結論也成立.根據、可知，是遞增數列，不是周期數列.55.如圖是一個具有行列的數表，第一行是首項為，公比為的等比數列，第一列是首項為，公差為的等差數列，其它空格按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫。設表示第行第列

32、的數.1qq2qn-11+d1+2d1+(n-1)d (1)求的表達式；(2)第二行能否構成等比數列？若能，求出滿足的條件；若不能，請說明理由.(3)請根據這張數表提出一個與問題(2)相類似的問題，并加以研究和解決(根據所提問題的難度及解答情況評分).解：() ()若成等比數列，則成等比數列，整理，得此時， ，成等比數列，此時，()(以下根據提出問題的難易及解答情況給分)問題：第2行能否成等差數列？研究：若成等差數列，則成等差數列，解得，此時，=，成等差數列，此時，問題：第2列能否成等差數列？研究略；問題：第2列能否成等比數列？問題：第3行能否成等差數列？56.已知二次函數對任意滿足，且圖像經

33、過點及坐標原點.（1）求函數的解析式；（2）設數列前項和，求數列的通項公式；(3）對(2)中，設為數列前項和，試問：是否存在關于的整式，使得對于一切不小于的自然數恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由.解：() () ()，設存在滿足條件的. 當，解得. 當,解得. 猜想：.下面用數學歸納法證明：證明：(1)當時，由上述可知，結論成立，(2)假設當時，結論成立，即成立， 則時，左邊= 即時，結論也成立；根據(1)(2)可知，對時，結論成立. 因此，存在滿足條件.57.已知：.若數列使得成等差數列.(1)求數列的通項；(2)設，若的前項和為，求.解:(1) (2) ，-，

34、整理，得58.設數列的圖象上。 （1）求的表達式； （2）設使得不等式 都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由； （3）將數列依次按1項，2項循環地分為，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為的值； （4）如果將數列依次按1項，2項，3項，項循環；分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，提出同（3）類似的問題（3）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？解：（1） （2） 設 故 要使不等式（3）數列依次按1項， 2項循環地分為（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20）

35、，每一次循環記為一組。由于每一個循環含有2個括號，故b100是第50組中第2個括號內各數之和。由分組規律知，的等差數列。所以 （4）當n是m的整數倍時，求的值。數列依次按1項、2項、3項，m項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），第m組，第2m組，第組的第1個 數，第2個數，第m個數分別組成一個等差數列，其首項分別為則第m組、第2m組，第km組，的各數之和也組成一個等差數列，其公差為 第m組的m個數之和為 當58.已知數列的前項和為，且（為正整數）.（1）求數列的通項公式；（2）記.若對任意正整數，恒成立，求實數的最大值. 解 （1）， 當時，. 由 - ，得. . 又 ，解得 .

36、 數列是首項為1，公比為的等比數列. （為正整數）. （2）由（1）知，. 由題意可知，對于任意的正整數，恒有，解得 . 數列單調遞增， 當時，數列中的最小項為， 必有，即實數的最大值為.59.如圖，在直角坐標系中，有一組對角線長為的正方形，其對角線依次放置在軸上（相鄰頂點重合）. 設是首項為，公差為的等差數列，點的坐標為.（1）當時，證明：頂點不在同一條直線上；（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點均落在拋物線上；（3）為使所有頂點均落在拋物線上，求與之間所應滿足的關系式. 證明（1）由題意可知， . ， 頂點不在同一條直線上. （2）由題意可知，頂點的橫坐標， 頂點的縱坐標. 對任意正整數

37、，點的坐標滿足方程， 所有頂點均落在拋物線上.（3）解法一 由題意可知，頂點的橫、縱坐標分別是 消去，可得 . 為使得所有頂點均落在拋物線上，則有 解之，得 . 所應滿足的關系式是：.解法二 點的坐標為 點在拋物線上， . 又點的坐標為 且點也在拋物線上， ，把點代入拋物線方程，解得 . 因此， 拋物線方程為.又 所有頂點落在拋物線上. 所應滿足的關系式是：. 60.在數列中，對任意，有，且，在個1與第個l之間恰有個2，即1，2，1，2，2，1， (1)第10個1是的第幾項?第個1呢? (2)求 (3)設表示的前項和，是否存在正整數，使或若存在，求的值，若不存在，請說明理由解：（1）在第10個

38、1之前有1+2+29-1=511個2.所以第10個1是511+10=521項 61.設數列的各項都是正數， ， .（1）求數列的通項公式；（2）求數列的通項公式；（3）求證： .解：由條件得： 為等比數列 由 得 又 （或由即），為遞增數列. 從而 62.各項均為正數的數列中，是數列的前項和，對任意，有 （1） 求常數的值；（2） 求數列的通項公式；記；（3）求數列的前項和解：（1）由及，得： （2）由 得 由，得 即： 由于數列各項均為正數， 即 數列是首項為，公差為的等差數列， 數列的通項公式是 （3）由，得： 63.已知數列的前項和為，且（為正整數）.（1）求數列的通項公式；（2）記.若

39、對任意正整數，恒成立，求實數的最大值.解 （1）， 當時，. 由 - ，得. . 又 ，解得 . 數列是首項為1，公比為的等比數列. （為正整數）. （2）由（1）知，. 由題意可知，對于任意的正整數，恒有，解得 . 數列單調遞增， 當時，數列中的最小項為， 必有，即實數的最大值為. 64.已知數列 （1）求數列的通項公式； （2）求證數列是等比數列； （3）求使得的集合。解：（1）設數列由題意得：解得： （2）依題， 為首項為2，公比為4的等比數列 （3）由65.已知數列滿足，是數列的前項和，對任意，有. () 求的值； ()計算的值,并求數列的通項公式解：（）令得,又 得；() 令得,又,

40、得,; 令得,又,得,; 由，得，兩式相減，得，即，因為，所以，即，故是首項為1,公差為的等差數列,得66.已知公差大于零的等差數列的前n項和為Sn，且滿足：，（1）求數列的通項公式；（2）若數列是等差數列，且，求非零常數c；（3）若(2)中的的前n項和為，求證：解：（1）為等差數列，又， ，是方程的兩個根又公差， （2）由(1)知， ， 是等差數列， （舍去）（3）由(2)得 ，時取等號 ，時取等號(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以67.已知數列的首項，前n項和.（）求證：; （）記，為的前n項和，求的值.解：（1）由，得， -得：.（2）由求得.，.68.設是函數的圖象上滿足下面條

41、件的任意兩點。若，則點的橫坐標為。1. 求證：點的橫坐標為定植；2. 若求已知，(其中),又知為數列a的前項和，若對于一切都成立，試求的取值范圍。解：（1） M是AB中點，設M為（x，y） 由，得， 或 M點的縱坐標的定值為 （2）由（1）知， 則， ， ， 上述兩式相加，得 （3）當n=1時，由，得，得。 當時， 由，得， ，（當且僅當n=2時，=成立） 。綜上所述，若對一切都有成立，由于，所以 14分69.等差數列中，為方程的兩根，前項和為等比數列的前項和（為常數）（I）求；（II）證明：對任意，；（III）證明：對任意，（I）解：由得， ， 為等比數列 = （II）證明：方程的兩根為37

42、，由知， 等差數列的公差 要證，只要證明 即下面用數學歸納法證明成立（i）當，2，3時，不等式顯然成立，（ii）假設當（）時，不等式成立，即當+1時，即，此時不等式也成立由（i）（ii）知，對任意，成立所以，對任意，（III）證明：由（II）已證成立，兩邊取以3為底的對數得，70.設數列滿足（I）求數列的通項；（II）設求數列的前項和.解：（I） 當時，將得 在中，令得（II）由得則當時，當時, 則又 71.已知數列項、公比都為q（q>0且q1）的等比數列，. （1）當q=5時，求數列的前n項和Sn； （2）當時，若，求n的最小值.解：（1）由題得設（1）（2分）兩式相減： （2），即取

43、時，. 所求的最小自然數是1572.數列滿足=a，=a（a>0），且從第二項起是公差為6的等差數列，是（）的前n項和， （1）當n2時，用a與n表示與； （2）說在與兩項中至少有一項是的最小值，試求a的取值范圍； （3）若a為正整數，在（2）的條件下，設取為最小值的概率是，取為最小值的概率是，比較與的大小解：（1）由已知，當n2時，an=-a+6（n-2），即an=6n-（a+12）. Sn=a1+a2+a3+an=a+（n-1）（-a）+ =3n（a+9）n+2a+6 （2） 由已知，當n2時，an是等差數列，公差為6，數列遞增. 若S6是Sn的最小值，則 a60 a70 即 24-a

44、0 30-a0 24a30 若是的最小值;則 a70 a80 即 30-a0 36-a0 30a36 當S6與S7兩項中至少有一項是Sn的最小值時，a的取值范圍是24，36 （3）a是正整數，由（2）知，a為=24，25，26，36 當S6是Sn最小值時，a=24，25，26，27，28，29，30 當S7是Sn最小值時，a=30，31，32，33，34，35，36 P1=P2=73.已知正項數列的前n項和為的等比中項. （）求證：數列是等差數列； （）若，數列的前n項和為Tn，求Tn； （）在（）的條件下，是否存在常數，使得數列為等比數列？若存在，試求出；若不存在，說明理由.解：（）由的等比中項，得當n = 1時，；當n2時，即，即 數列an是等差數列. （）數列an首項公差，通項公式為： 則 則 ，兩邊同乘以，得，得 ，解得 （），數列為等比數列的充要條件是，（A、q是不為0的常數）當