1、 不等式的證明（二）：反證法、放縮法、換元法、判別式法、構(gòu)造法等證明不等式。 1. 證明不等式的其他方法有：反證法、放縮法、換元法、判別式法、構(gòu)造法等，這些方法在證明不等式時(shí)各有利弊，不論應(yīng)用哪種方法，都要注意對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用。 2. 反證法屬于間接證法，主要適用于命題的形式為否定式，其主要步驟如下：（1）作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)（反設(shè)）；（2）在假設(shè)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)合理的推導(dǎo)，導(dǎo)出矛盾的結(jié)論（歸謬）；（3）肯定命題的正確性。在利用反證法證明不等式時(shí)，一是要將命題結(jié)論的反面找全，不要遺漏；二是要注意在證明過(guò)程中，綜合運(yùn)用分析法與綜合法的解題思想。 3. 放縮法是證明不等式的一種特殊方法，也是很重

2、要的證明方法。它利用已知的基本不等式或某些函數(shù)的有界性、單調(diào)性等對(duì)新證式子適當(dāng)放縮。通過(guò)證明加強(qiáng)命題以達(dá)到證明目的。其證明關(guān)鍵是要有明確的放縮目標(biāo)，而這個(gè)目標(biāo)來(lái)源于對(duì)試題的分析。 4. 換元法是把試題中反復(fù)出現(xiàn)的代數(shù)式用一個(gè)字母代替或用一個(gè)熟悉的函數(shù)替換，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化難為易的目的。在換元時(shí)要注意變?cè)牡葍r(jià)性。 5. 當(dāng)所證不等式一邊為含有某個(gè)字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以考慮判別式法。因此此法應(yīng)用具有局限性。它實(shí)質(zhì)也是利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明與之相關(guān)的不等式。 6. 構(gòu)造法是通過(guò)構(gòu)造方程（組）、函數(shù)、數(shù)列、不等式等來(lái)證明不等式的方法，它將證明不等式化歸為比較函數(shù)值的大小，此法對(duì)數(shù)學(xué)能力

3、要求較高，在高考或競(jìng)賽中經(jīng)常需要用構(gòu)造法解題。在利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式的過(guò)程中，難點(diǎn)就是構(gòu)造函數(shù)，并且利用這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性易證（或是熟悉的函數(shù)）。 7. 證明不等式的方法很多，對(duì)同一個(gè)不等式，思考角度不同，選擇的方法也有所不同。因此，同一個(gè)不等式證明方法可能有四種、五種，甚至更多，選擇更合適、簡(jiǎn)捷的方法，需要多比較、多思考。因此，不等式的證明對(duì)學(xué)生而言，沒有固定模式，對(duì)其能力要求較高。 例1. 若都是小于1的正數(shù)，求證：不可能同時(shí)大于。 分析： 此命題的形式為否定式，宜采用反證法證明，可假設(shè)命題不成立，則，三個(gè)數(shù)都大于，即： 因而有下面兩個(gè)顯然的不等式： 若能證明其中有一個(gè)不成立，則“命題不

4、成立”的假設(shè)就被否定了，故只需證明： 或 證明一： 以上三式相加，得： 若三個(gè)數(shù)都大于，則就都大于，其和就大于，這與上式矛盾。故假設(shè)不成立，命題獲證。 證明二： 假設(shè)三個(gè)數(shù)都大于，則它們的積大于，這與上式矛盾，故假設(shè)不成立，所以命題獲證。 說(shuō)明：本題兩種方法均屬反證法，在證明過(guò)程中，貫穿了分析法與綜合法的解題思想。 例2. 若。 求證：。 證明： 又 綜上有： 說(shuō)明：本題利用放縮法來(lái)證明，放縮時(shí)，特別要注意掌握放縮的尺度。 例3. 已知，求證：。 分析： 注意到三個(gè)正數(shù)的關(guān)系：，可采用三角代換來(lái)證，即令。從而得出結(jié)論，另外，也可以直接利用增量換元法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 證明一： 又 令， （）

5、不等式左邊 證明二： ，設(shè) 則 則原不等式轉(zhuǎn)化為證明 即證 即證 由均值不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。 說(shuō)明：法二這種換元方法，在數(shù)列中應(yīng)用較多，在法二中，通過(guò)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用均值不等式就可證明的結(jié)論。 例4. 設(shè)，求證： 證明： 由 同理可得： 這表明a、b均為二次方程 的兩個(gè)根，但，故判別式為正數(shù)。 即 從而有， 說(shuō)明：這個(gè)證法的特點(diǎn)是通過(guò)確定c的范圍來(lái)確定a+b的范圍。在確定c的范圍時(shí)，把不等式的證明與不等式的求解溝通了，所用證法是判別式法。 例5. 設(shè)。 求證：“”當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。 證明： 當(dāng)時(shí)，命題顯然成立。 當(dāng)中至少有一個(gè)不為零時(shí)，構(gòu)造方程： 此方程可化為： 由此可知，該

6、方程沒有實(shí)數(shù)根，或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（僅當(dāng)時(shí)）。 故 因此 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào) 說(shuō)明：此題稱為柯西不等式，是競(jìng)賽中要求掌握的重要不等式，本題采用構(gòu)造方程來(lái)解題的方式，證明中先討論的情形是必要的，否則方程未必是關(guān)于的一元二次方程。一. 選擇題。 1. 已知，且，設(shè)，則M、N的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 不能確定 2. 若，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A. B. C. D. 4. 設(shè)為正常數(shù)，的最小值是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題。 5. 若，那么與1的大小關(guān)系是_。 6. 設(shè)，則的最大值是_。 7. 若，則的最小值為_。三. 解答題。 8. 設(shè)是互不相等的實(shí)數(shù)，則中不超過(guò)的最少有幾個(gè)？ 9. 證明不等式： 10. 設(shè)是0，1上的實(shí)數(shù)值函數(shù)，證明：存在，使得：。【試題答案】一. 選擇題。 1. A2. D3. D4. C二. 填空題。 5. 提示：，將a放大求和。 6. 1 提示：令，換元可得： 7. 提示：三. 解答題。 8. 提示：不妨設(shè)，設(shè)m是中的最小者 則 則 得： 可見中最小者必不超過(guò)，說(shuō)明至少有一個(gè)滿足要求。 當(dāng)時(shí)， 說(shuō)明中可能只有一個(gè)滿足不超過(guò)。 綜上，要求的最少個(gè)數(shù)為1。 9. 提示：法一（放縮法） 由 令k1，2，3，n，則有 ， 相加得：