1、炎德·英才大聯考湖南師大附中2019屆高三月考試卷(三)數學(理科)命題人：朱海棠賀祝華張天平歐陽普審題：高三數學備課組時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知復數z2i，則下列結論中正確的是(C)Az的虛部為i B|z|2 Cz2為純虛數 Dz1i【解析】由已知，z2i1i，則z的虛部為1，|z|，z22i為純虛數，z1i，故選C.2設xR，若“|xa|<1(aR)”是“x2x2>0”的充分不必要條件，則a的取值范圍是(A)A(，32，) B(，3)(2，)C(3，2) D3，

2、2【解析】由|xa|<1(aR)，解得：a1<x<a1.由x2x2>0，解得x>1或x<2.又“|xa|<1(aR)”是“x2x2>0”的充分不必要條件，1a1或a12，即a2，或a3.故選A.3已知集合A5，B1，2，C1，3，4，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系上的坐標，則確定的不同點的個數為(C)A6 B32 C33 D34【解析】不考慮限定條件確定的不同點的個數為CCA36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個數確定的不同點的個數只有三個，故所求的個數為36333個，故選C.4設l、m、n表示不同的直線，、表示不同的平

3、面，給出下列4個命題：(B)若ml，且m，則l；若ml，且m，則l；若l，m，n，則lmn；若m，l，n，且n，則ml.其中正確命題的個數是A1 B2 C3 D4【解析】易知命題正確；在命題的條件下，直線l可能在平面內，故命題為假；在命題的條件下，三條直線可以相交于一點，故命題為假；在命題中，由n知，n且n，由n及n，m，得nm，同理nl，故ml，命題正確故選B.5若實數x，y滿足不等式組且xy的最大值為9，則實數m(C)A2 B1 C1 D2【解析】令zxy，則yxz，z表示斜率為1的直線在y軸上的截距當z最大值為9時，yxz過點A，因此xmy10過點A，所以m1.故選C.6某企業節能降耗技

4、術改造后，在生產某產品過程中的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)的幾組對應數據如表所示：x3456y2.5344.5若根據表中數據得出y關于x的線性回歸方程為0.7a，若生產7噸產品，預計相應的生產能耗為()噸(A)A5.25 B5.15 C5.5 D9.5【解析】由表中數據，計算得x×(3456)4.5，y×(2.5344.5)3.5，且線性回歸方程0.7a過樣本中心點(x，y)，即3.50.7×4.5a，解得a0.35，y關于x的線性回歸方程是0.70.35，當x7時，估計生產7噸產品的生產能耗為y0.7×70.355.25(噸)故選A.7設等差數

5、列an的前n項和為Sn，已知>，且a6a7<0，則(A)A. 當n6時，Sn取最大值 B. 當n7時，Sn取最大值C. 當n6時，Sn取最小值 D. 當n7時，Sn取最小值【解析】因為>，則>，即an>an1，所以數列an單調遞減因為a6a7<0，則a60，a70，從而數列an的前6項都為正數，從第7項起，以后各項都為負數，所以當n6時，Sn取最大值，選A.8莊子說：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話描述的是一個數列問題，現用程序框圖描述，如圖所示，若輸入某個正整數n后，輸出的S，則輸入的n的值為(C)A7 B6 C5 D4【解析】框圖首先給累加變量S賦

6、值0，給循環變量k賦值1，輸入n的值后，執行循環體，S，k112；判斷2n不成立，執行循環體，S，k213；判斷3n不成立，執行循環體，S，k314；判斷4n不成立，執行循環體，S，k415.判斷5n不成立，執行循環體，S，k516.判斷6n不成立，執行循環體，S，k617.由于輸出的S，可得：當S，k6時，應該滿足條件6n，即：5n6，可得輸入的正整數n的值為5.故選C.9設橢圓C：1(a>b>0)，O為坐標原點，若橢圓C上存在兩個關于x軸對稱的點A，B，使得|AB|b，且AOB的重心為橢圓C的一個焦點，則橢圓C的離心率為(B)A. B. C. D.【解析】不妨設點A(x0，y0

7、)(x00，y00)，因為點A，B關于x軸對稱，則點B(x0，y0)，因為|AB|b，則y0.因為AOB的重心為橢圓C的一個焦點，則c，即x0.因為點A在橢圓C上，則1，所以1，即e2，即e，選B.10將函數f(x)sin的圖像向左平移n(n>0)個單位，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖像對應的函數為偶函數，則n的最小值為(B)A. B. C. D.【解析】由f(x)sin向左平移n(n>0)個單位后得到函數ysin的圖像，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍后得到函數ysin的圖像，因其為偶函數，故x0時，2nk，kZn，kZ.故選B.11如圖所示，

8、點G是ABC內一點，若SAGB7，SBGC5，SAGC6，且xy，則xy(C)A. B. C. D1【解析】在GA上取一點E，使得，在GB上取一點F，使得，連接CE，EF，FC.SEGF××SAGB，SCGE×SAGC，SCGF×SBGC，G為CEF的重心，0，0，5670，18670.，xy，選C.12設x1，x2分別是函數f(x)xax和g(x)xlogax1的零點(其中a>1)，則x14x2的取值范圍是(D)A4，) B(4，) C5，) D(5，)【解析】由f(x)xax0得ax；由g(x)xlogax10得logax；因為函數yax與yl

9、ogax互為反函數，圖像關于直線yx對稱， 由得不妨設x1<x2, 由圖得x1x2>2，且x2>1, 所以x14x2x1x23x2>5，故答案選D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13計算：_4_【解析】原式4.14設數列an的前n項和為Sn，已知Sn2ann(nN*)，則數列an的通項公式是_an2n1_【解析】當n1時，S12a11，則a11.當n2時，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，即an12(an11)則數列an1是首項為2，公比為2的等比數列，所以an12n，即an2n1.15某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而

10、成，元件1或元件2正常工作，則部件正常工作設三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態分布N(1 000，2)，若每個元件使用壽命超過1 200小時的概率為，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過800小時的概率為_【解析】三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態分布N(1 000，2)，概率密度分布圖像關于x1 000(小時)對稱，每個元件使用壽命超過1 200小時的概率為，每個元件的使用壽命不超過800小時的概率為，每個元件的使用壽命超過800小時的概率為，根據此部件的結構，元件1，2中至少有一個正常工作，元件3必須正常工作，又各個元件能否正常工作相互獨立，設三

11、個元件能正常工作的事件分別記作A，B，C，該部件能正常工作的事件記作M，則M(·)·C，P(M)P(·)·P(C)(1P(·)·P(C)(1P()P()·P(C)×，故答案為.16已知函數fx2m與函數gln 3x的圖像上至少存在一對關于x軸對稱的點，則實數m的取值范圍是_【解析】原問題等價于hfgx2ln x3xm在有零點，而h2x3，知h在單調遞減，在單調遞增，又hm2，hln 22m，hln 2m，由ln 2>可判斷h>h，因而h的值域為，又h有零點有m20ln 22m得m.三、解答題：共70分解

12、答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答(一)必考題：共60分17(本小題滿分12分)在ABC中，設角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知m，n(cos C，1)，且m·nb.()求角A的大?。?)若a2，求ABC的面積S的最大值【解析】()由m，n(cos C，1)，且m·nb可得2acos Cc2b，(1分)由正弦定理，得2sin Acos Csin C2sin B(2分)又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，則sin C2cos Asin C(4分)因為si

13、n C0，則cos A.又0<A<，所以A.(6分)()因為a2，A，由余弦定理，得b2c22bccos 4，即b2c2bc4.(8分)因為b2c22bc，則b2c2bc2bcbcbc.所以bc4，當且僅當bc時等號成立(10分)所以Sbcsin A×4×，故ABC的面積S的最大值為.(12分)18(本小題滿分12分)某職稱晉級評定機構對某次參加專業技術考試的100人的成績進行了統計，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，規定80分(滿分100分)及以上者晉級成功，否則晉級失敗()求圖中a的值；()根據已知條件完成下面2×2列聯表，并判斷能否有85%的把握

14、認為“晉級成功”與性別有關？晉級成功晉級失敗合計男16女50合計()將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為X，求X的分布列與數學期望E(X)參考公式：K2，其中nabcd.P(K2K0)0.400.250.150.100.050.025K00.7801.3232.0722.7063.8415.024【解析】()由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知(2a0.0200.0300.040)×101，解得a0.005.(2分)()由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.200.050.25，所以晉級成功的人數為100×0.2

15、525(人)，填表如下：晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100(3分)假設“晉級成功”與性別無關，根據上表數據代入公式可得K22.613>2.072，(5分)所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(6分)()由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為10.250.75，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75，所以X可視為服從二項分布，即XB，P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，(8分)故P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C，所以X的分布列為X01234P(Xk)(11分)數

16、學期望為E(X)4×3.(12分).19(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD底面ABCD，側棱PAPD，底面ABCD是直角梯形其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.()求證：平面PCD平面PAB；()線段PD上是否存在點Q，使得二面角QACD的平面角的正切值為，如存在，試確定這個點的位置；如不存在，試說明理由【解析】()PAPD，又AD2，PDPA.(1分)又底面ABCD是直角梯形，ABAD，側面PAD底面ABCD，AB平面PAD，ABPD.(3分)ABPAA，PD平面PAB.(5分)平面PCD平面PAB.(6分)()解法一：取AD中點O，連接PO，則PO

17、AD，又側面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.假設存在點Q，過Q作QNPO交AD于點N，過點N作NMAC交AC于點M，連接QM.PO底面ABCD，QN底面ABCD，QMN就是二面角QACD的平面角(8分)從而，設QNa，則MNa.在POD中，有PO1，QNPO，即DNa.(9分)在ACD中，有AD2，AC，CAD，由正弦定理得ACD，MNCD，從而有即.(10分)a23a，解得a.(11分)又PO1，存在符合要求的Q點且Q點為PD的中點(12分)解法二：取AD中點O，連接PO，則POAD，又側面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.BCAD，AOBC1，ABAD，COAD.以O為坐標原點，

18、OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系(7分)則A(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)假設存在點Q(x，y，z)，可設，則(x，y，z1)(0，1，1)，從而Q(0，1)，(0，1，1)，設平面QAC的法向量為n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得n1.(9分)取平面ACD法向量為n2(0，0，1)，從而cosn1，n2，(10分)設二面角QACD的平面角為，tan 且0，從而cos ，(11分)，解得，或2(舍去)，存在符合要求的Q點且Q點為PD的中點(12分)20(本小題滿分12分)如圖，拋物線C的頂點在坐標

19、原點，焦點F在x軸正半軸上，點M為圓O：x2y212與拋物線C的一個交點，且|MF|3.()求拋物線C的標準方程；()設斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若|AB|8，證明：直線l與圓O相切【解析】()設拋物線C的方程為y22px(p0)，聯立x2y212，得x22px12，即(xp)2p212.因為x0，則xp.設點M(x0，y0)，則x0p.(3分)因為|MF|3，則x03，即3，所以p212，化簡得p24p40，即(p2)20，則p2，所以拋物線C的標準方程是y24x.(6分)()設直線l的方程為xym，聯立y24x，得y24y4m0.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y

20、1y24，y1y24m.(8分)所以|AB|y1y2|····4.(9分)因為|AB|8，則2，即2m8，所以m6，此時(4)216m>0.所以直線l的方程是xy6，即xy60.(11分)因為圓O的半徑r2，圓心O到直線l的距離d2r，所以直線l與圓O相切(12分)21(本小題滿分12分)已知函數f(x)aln(x1)(x1)2.()求函數f(x)的單調區間；()試證對任意的nN*，有1<.【解析】()函數f(x)的定義域為(1，)，f(x)2(x1).(1分)(1)若a20，即a2，則f(x)0對x(1，)恒成立，故f(x)在區間(1，)上

21、單調遞增；(2分)(2)若a2<0，即a<2，則方程2x2(2a)0的兩根為x±；當1，即a0時，f(x)0的解為x，故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；(4分)當>1，即0<a<2時，f(x)0的解為x或1<x<，故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為 .(5分)()當a2時，f(x)2ln(x1)(x1)2，由()知，f(x)在區間(0，1)上遞增，即對任意x(0，1)，有f(x)>f(0)1，即2ln(x1)(x1)2>1，整理得2xx2<2ln(x1)(7分)令x(k1，2，n)，則<2ln ，累加得，1&

22、lt;22ln(n1)(9分)下面證明：對任意的nN*，有ln(n1)<.記函數g(t)2tln tt21(t>1)，則g(t)2(ln tt1)，g(t)2，當t>1時，g(t)<0，故函數g(t)在區間(1，)上遞減，因此g(t)<g(1)0，故函數g(t)在(1，)上也單調遞減. 所以g(t)<g(1)0，即對t>1，有2tln t<t21, (11分)令t(nN*)，則2·ln <()21，故ln(n1)<.綜上所述，對任意的nN*，有1<.(12分)(二)選考題：共10分請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分22(本小題滿分10分)在極坐標系中，已知曲線C的極坐標方程為.()若曲線C為雙曲線，求m的取值范圍；()以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系當m1時，過點P(2，0)作直線l交曲線C于