1、0）相關的知識（三個“二次”問題）0（a 0）有兩個不等的實數根Xi, X2，則bcx-1x2x-1x2aa3.求根公式：:若元一次方程ax2 bx cbb24acxi,22a0（a 0）有兩個不等的實數根x, x2，則圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線常考題型和熱點問題- 常考題型題型一：數形結合確定直線和圓錐曲線的位置關系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點共線問題題型十：范圍為題（本質是函數問題）題型一:存在性問題（存在點，存在直線y kx m，存在實數

2、，三角形（等邊、等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓） 二熱點問題1. 定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積問題4. 對稱冋題5. 范圍問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值，定點，定直線問題第二部分知識儲備一.與一元二次方程 ax2 bx c 0（a1. 判別式：b2 4ac22. 韋達定理：若一元二次方程ax2 bx c二.與直線相關的知識1. 直線方程的五種形式：點斜式，斜截式，截距式，兩點式，一般式點到直線的距離公式：d Ax0A2By0B2C 5 或 dkx012y0k2b E）2.與直線相關的重要內容：傾斜角與斜率:y tan0,）;3.弦長公式

3、：直線 y kx b上兩點A(x, yj, B(x2, y2)間的距離:ABk2 |x, x2.（廠k2）（人X2）24x1（或 ABy2）4.兩直線h : yiky dlr? k?x2 d的位置關系: li I2ki k21 lWk1 k2且 b1 b25.中點坐標公式：已知兩點A(X1,yJ, Bg, y2)，若點 M x, y線段 AB的中點，則x1 人y1 y2x 1-,y 122 2三圓錐曲線的重要知識考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物

4、線的定義及幾何性質。2. 圓錐曲線的標準方程：橢圓的標準方程 雙曲線的標準方程 拋物線的標準方程3. 圓錐曲線的基本性質：特別是離心率，參數a,b,c三者的關系，p的幾何意義等4.圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓2 b2絲，雙曲線a2b2a，拋物線2p焦點三角形的面積：p在橢圓上時SPF? b2 tan-p在雙曲線上時Svf PF b2 / tan 2四常結合其他知識進行綜合考查1. 圓的相關知識：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關系2. 導數的相關知識：求導公式及運算法則，特別是與切線方程相關的知識3. 向量的相關知識：向量的數量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4. 三角

5、函數的相關知識：各類公式及圖像與性質5. 不等式的相關知識：不等式的基本性質，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題(1) 圓錐曲線與圓例1.(本小題共14分)2 2已知雙曲線C:篤爲 1(aa b0,b0)的離心率為3，右準線方程為x彳(I)求雙曲線C的方程；(n)設直線|是圓O:x2 y2 2上動點P(x0, y0)(x0y0 0)處的切線，I與雙曲線C交于不同的兩點A, B，證明AOB的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程 的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.a23(I)由題意，得c 3，解得a 1,c -.3 ,

6、c 73a2 b2 c2 a2 2 ,所求雙曲線C的方程為x2 1.22 2(n)點 P Xo,yo Xoyo 0 在圓 x y 2上，圓在點P x0, y0處的切線方程為y y00 x x0 ,yo化簡得X0X2 .2由x2y_212 2 2 2 2 及 X0 y° 2 得 3x0 4 x 4x0x 8 2x0 0 ,x°xy°y22切線I與雙曲線C交于不同的兩點 A B,且0 xo 2 ,2 2 2 2- 3x。4 0,且 16x2 4 3x2 4 8 2x；0 ,設A B兩點的坐標分別為則x x24X03x： 4，X1X28 2x22 ，3X04t cos

7、AOB-ttuu-uuOTOAOBuuu uuu OA OB，且uuu uuuOA OB x-|x21yy X1X22 2 滄為 2 x°x2 ,y。XjX24 2x0 x-i x2 Xo2Xo Xi X2【解法2】（I）同解法1.28 2xp3xo 48 2x03x0 48 2xoAOB的大小為90 .(n)點 P Xo,yoXoyo0 在圓 x2程為yyo魚xyox0 ，化簡得XoXyoy3xox2 4x0x8 2xf3x：48yoX 82xo 0切線I與雙曲線C交于不同的兩點2yo_8x|3xT0.2上,2 2Xo 8 2xo3xo圓在點PX2XoXA、B,且 o2 3x0 4

8、 0,設A、B兩點的坐標分別為x1, y122則8 2xo2xo 8則 X1X22, Y1Y23x0 43x0 4uuu uuu- OA OB X1X22 且 Xoyo2Xo2,o方程的判別式均大于零）練習1:已知點A是橢圓Xo, yo處的切線方2y_2yoy 21 及 Xoyo2x22,X2,y2 ,AOB的大小為9o .2yo2，從而當的左頂點，直線23xo 40時，方程和I: x my 1(m R)與橢圓C相交于E,F兩點，與x軸相交于點B .且當m o時, AEF的面積為.（I）求橢圓C的方程;(n)設直線 AE , AF與直線x 3分別交于 M , N兩點，試判斷以 MN為直徑的 圓

9、是否經過點B ?并請說明理由.(2) 圓錐曲線與圖形形狀問題2x例2.1已知A, B, C是橢圓 W 一 + y2= 1上的三個點，0是坐標原點.4(1) 當點B是W的右頂點，且四邊形 OAB(為菱形時，求此菱形的面積；(2) 當點B不是W的頂點時，判斷四邊形 OAB(是否可能為菱形，并說明理由.2X2解： 橢圓W + y = 1的右頂點B的坐標為(2,0).4因為四邊形 OABC菱形，所以 AC與 OB相互垂直平分.1 22-.3.所以可設A(1 , m)，代入橢圓方程得 -+ m= 1，即m411所以菱形 OABC勺面積是丄| OB AC = x 2X 2| m =22假設四邊形OABC為

10、菱形.因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y= kx + n(k*0,計0).4y24,kx m消 y 并整理得(1 + 4k2) x2+ 8kmx+ 4吊4= 0.設 A(X1, y1) , Qx2, y2),則 x1 x224 km y1 y22 ，1 4k22X1X22m1 4k2所以AC的中點為M4km m1 4k2 '1 4k2因為M為AC和OB的交點，所以直線 OB的斜率為 4k1因為k 工一1，所以AC與 OB不垂直.4k所以OAB(不是菱形，與假設矛盾.所以當點B不是W勺頂點時，四邊形 OAB(不可能是菱形.練習1:已知橢圓C:2X2a2占 1

11、(a b0)過點(2 , 1)，且以橢圓短軸的兩個端點和b2一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形 (I )求橢圓的標準方程； (n )設M (x, y)是橢圓C上的動點，P ( p,0)是X軸上的定點，求 MP的最小值及取最小值時點M的坐標.(3) 圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓C : x2 2y24 ,(1)求橢圓C的離心率(2)設0為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y2上，且OA 0B，求直線AB與圓2 2x y 2的位置關系，并證明你的結論2 2解析：橢圓的標準方程為：x 土 1,42直線b 、一 2 則2AB與圓xc 2，離心率e -ay 2相切證明如下:法一:設點Axoyot

12、 2，其中 xo0 uuuOB 0即txo2yoo,解得tB的坐標分別為luu因為0A丄0B，所以OA2yox。t2xo t時，y。-，代入橢圓C的方程，得2故直線AB的方程為X 2 圓心0到直線AB的距離d 2 2 2此時直線AB與圓x y 2相切.當xo t時，直線AB的方程為y 2竺二x t ,X。 t即 y。 2 xx。 t y 2x。 ty。 0 圓心O到直線AB的距離2xo tyoXo又 xf 2yf 4 , t2 2心4 £2xo xoxxo故 214 27T224yo,xo 8xo 16卜yO乂42x2 此時直線AB與圓x2 y22相切 法二：y kx，OA 丄 OB

13、 ,由題意知，直線 OA的斜率存在，設為 k，則直線OA的方程為當k 0時，A 2 ° ,易知B 0 2 ,此時直線AB的方程為x y 2或x y 2 ,原點到直線AB的距離為邁，此時直線AB與圓x22相切;當k 0時，直線OB的方程為y x，k聯立kx2y22得點A的坐標 1 2k242kJ_2k222k22k.廠2加1聯立xk得點B的坐標2由點A的坐標的對稱性知，無妨取點A1 2k22k12k2進行計算,2k 2于是直線AB的方程為：y 21 2k x22k1 2k22kx 2k ,1 k.1 2k2即 k 1 2k2 x 1k ,1 2k2 y 2k2202k22原點到直線AB

14、的距離 2 2'.1 2k21 k-. 1 2 k2此時直線AB與圓2相切。綜上知，直線 AB 一定與圓x2 y22相切法三：當k °時，A 2 0，易知B ° 2，此時OA 2 OB 2 ,AB 222 2，原點到直線AB的距離d OA OB 2 ?, 2 ,、|AB|2運此時直線AB與圓x2 y22相切；1當k 0時、直線OB的方程為y x、k設 A X1y1BX2y2，則 OATT X1、 OB，1廠y 2 1k22k2k聯立y2 " 2得點A的坐標x2 2y241 2k21 2 k2 或1 2k21 2k2 ；于是 OA 1一k2 xA2.1k2O

15、B 2,1 k2 ,AB41 k21 2k2 2 1 k2,1 2k2所以dOA OBAB2.2 1 k22 ,直線AB與圓2Xy22相切;x1 2k2綜上知，直線 AB 一定與圓x2 y22相切2x練習1：已知橢圓ab21(a b 0)過點(0,1)，且長軸長是焦距的 42倍過橢圓左焦點F的直線交橢圓C于A, B兩點，O為坐標原點(I)求橢圓C的標準方程；(H)若直線 AB垂直于x軸，判斷點O與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由;(川)若點O在以線段AB為直徑的圓內，求直線 AB的斜率k的取值范圍(4) 圓錐曲線定值與證明問題例4.1已知橢圓C的中心在原點 O,焦點在x軸上，離心率為

16、 二3，且橢圓C上的點到2兩個焦點的距離之和為 4.(I)求橢圓C的方程；(n)設A為橢圓C的左頂點，過點 A的直線I與橢圓交于點 M，與y軸交于點N，過原點與I平行的直線與橢圓交于點 P .證明：| AM | | AN | 2 |OP |2 .2 2解：(I)設橢圓C的標準方程為 聳1(a b 0),a b2.22a be,由題意知3, 解得a 2, b 1.a 22a 4,2所以橢圓c的標準方程為y i. 5分4(n)設直線 AM的方程為：y k(x 2)，則N(0,2k).y k(x 2),曰2 222由 22 得(1+4k )x 16k x 16k40 (*).x 4y 4,設A( 2

17、,0)，M % , yj，則2，洛是方程(*)的兩個根，所以x.2 8k21 4k2所以M(2 8k21 4k2| AM |(2(14k )24k2)16 16k2 (1 4k2)24、1 k21 4k2| AN | . 4 4k2 2 ,1 k2 .| AM | AN |4.1 k2 21 k228(1 k )1 4k21 4k2設直線OP的方程為：y kx y kx,22由x2 4y2 4,得(1旺以4 0 設 PS)，則 x02 忌，y024k21 4k244k214k2所以|OP |22 | OP |28 8k21 4k2所以 | AM | | AN | 2 | OP |2 例4.2:

18、已知橢圓C：X2b2a2(a>b>0)的離心率為,A( a,0 ) ,B(0,b),O( 0 ,0), OAB的面積為1.(I )求橢圓C的方程；(I I)設P的橢圓C上一點，直線 PA與Y軸交于點 M直線PB與x軸交于點No 求證：AN ? BM為定值。L4門)由已如得.e=|=yM陽=ab = 1."rftj Uaa = ba + ca.®< ihCD®嗚橢網方程為呂+護=1一(ID iS料圓上點P的奎標為(2也贈占皿)，又已知 岬耳QB直線PA芮方程為sinffy - -(X 2)2卬旳-2令“0.就可以得到制點屮標為三篤同樣町以得到W的坐

19、標為【斗$4)1 $ iff o1細珅八丨刊恥d _ n11Il則闍府| =CW滬一】十1 一亂n白吟Qg噸)-2x練習1 :已知橢圓C : -y ab2 1(a b 0)的離心率為&橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為3(I)求橢圓C的方程；(n )已知動直線y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點.若線段AB中點的橫坐標1 7uuuT uur為 ，求斜率k的值；若點M (,0),求證：MA MB為定值2 3練習2:已知拋物線C : y 2 = 2 px (p> 0 ),其焦點為F, C為坐標原點，直線 AB (不垂直 于x軸)過點F且拋物線C交于A , B兩點，直

20、線CA與 OB勺斜率之積為p .(1 )求拋物線C的方程；(2)若M為線段AB的中點，射線OM交拋物線C于點 D，求證：-|OD| >2|OM |練習3:動點P(x, y)到定點F(1,0)的距離與它到定直線l:x 4的距離之比為-.2(I )求動點P的軌跡C的方程；(H) 已知定點A( 2,0)，B(2,0)，動點Q(4,t)在直線I上，作直線 AQ與軌跡C的另一個交點為 M，作直線BQ與軌跡C的另一個交點為 N，證明：M , N, F三點共線.(5)圓錐曲線最值問題例5:已知橢圓C:爲 爲 1(a b 0)的離心率為 ，橢圓C與y軸交于A, B兩點， a b2|AB|2.(I)求橢圓

21、C的方程；(H)設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側.直線PA, PB與直線x 4分 別相交于M , N兩點.若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E, F ,求點P橫坐標的解: (I)由題意可得，b 1,ce -a2/曰 a213得一a4解a242橢圓C的標準方程為x 2y 1.4(n)設P(x), y°)(0x。2), A(0,1),所以kPAy010，直線PA的方程為yX。取值范圍及| EF |的最大值.同理：直線PB的方程為y1 ,Xo1分 2分 3分.4分.5 分B(0, 1),y01x 1,x°6分直線PA與直線x 4的交點為M (4, 4(0°1

22、),直線PB與直線x 4的交點為N（4,卩1）,Xo線段MN的中點S,4）,'Xo所以圓的方程為(x 4)2 (y 4y°)2 (1 )2,XoXo令yo,則2(X 4)2 哼(1Xo、2 丿,Xo4因為2Xoyy：11，所以竺廠14Xo4所以(x4)25 o ,Xo因為這個圓與X軸相交,該方程有兩個不同的實數解所以5o，解得 Xo ( ,2Xo5分10分11分128Q設交點坐標(x1,0),( x2,0)，則 | Xr x2 | 2 5 一 ( x02 )14Xo5所以該圓被X軸截得的弦長為最大值為2.練習1：2X已知橢圓C： -ya2b2 1 a的一個焦點為F（2，o），離心率為于。過焦點F的直線I與橢圓C交于A, E兩點，線段 圓于M N兩點。（1）求橢圓C的方程；（2）求四邊形AMBN面積的最大值。AB點為D, C為坐標原點，過 Q 的直線交橢練習2：已知橢圓C : mX 3mf 1（m o）的長軸長為2-. 6， Q為坐標原點（I）求橢圓C的方程和離心率;(n)設點 A(3,0)，動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且P在y軸的右側，若 |BA| |BP|，求四邊形OPAB面積的最小值(6)圓錐曲線存在性問題22污例6.已知橢圓C : 篤篤 1 a b 0的離心率為 ，點P 0,1和點Am,n m 0 ab2都在橢圓C上，直線