1、現代控制理論習題第一章 控制系統的狀態空間模型1.1 考慮以下系統的傳遞函數： 試求該系統狀態空間表達式的能控標準形和可觀測標準形。1.2 考慮下列單輸入單輸出系統： 試求該系統狀態空間表達式的對角線標準形。1.3 考慮由下式定義的系統：式中 試將該系統的狀態空間表達式變換為能控標準形。1.4 考慮由下式定義的系統：式中 試求其傳遞函數Y(s)/U(s)。1.5 考慮下列矩陣： 試求矩陣A的特征值1,2,3 和4。再求變換矩陣P，使得第二章 狀態方程的解2.1 用三種方法計算下列矩陣A的矩陣指數函數。1） ； 2） 2.2 計算下列矩陣的矩陣指數函數。1） ； 2） ； 3） ； 4） 5)

2、； 6） ； 7） 2.2 給定線性定常系統式中且初始條件為試求該齊次狀態方程的解x(t)。2.4 已知系統方程如下求輸入和初值為以下值時的狀態響應和輸出響應。1） ； 2） 3） ；4） 2.5 驗證下列矩陣是否滿足狀態轉移矩陣的條件，若滿足，求相應的狀態系數矩陣A。 2.6 對線性定常系統，已知求系統矩陣A。2.7 已知線性時變系統的系統矩陣如下，計算狀態轉移矩陣。1） ；2） 2.8 給定系統和其伴隨方程，其狀態轉移矩陣分別用和表示，證明：。2.9 求解下列系統的狀態響應。2.10 已知如下離散時間系統， ，是從單位斜坡函數t采樣得到的，求系統的狀態響應。2.11 已知如下離散時間系統，

3、試求，使系統能在第二個采樣時刻轉移到原點。第三章 線性系統的能控性與能觀性3.1 考慮由下式定義的系統式中 試判斷該系統是否為狀態能控和狀態能觀測。該系統是輸出能控的嗎？3.2 下列能控標準形式中是狀態能控和狀態能觀測的嗎？3.3 考慮如下系統式中 除了明顯地選擇外，試找出使該系統狀態不能觀測的一組，和。3.4 給定線性定常系統 式中 試將該狀態空間表達式化為能控標準形和能觀測標準形。3.5 給定線性定常系統 式中 試將該狀態方程化為能觀測標準形。第四章 動態系統的穩定性分析4.1 試確定下列二次型是否為正定的。4.2 試確定下列二次型是否為負定的。4.3 試確定下列非線性系統的原點穩定性。

4、考慮下列二次型函數是否可以作為一個可能的Lyapunov函數：4.4 試寫出下列系統的幾個Lyapunov函數 并確定該系統原點的穩定性。4.5 試確定下列線性系統平衡狀態的穩定性4.6 試確定下列線性系統平衡狀態的穩定性。第五章 線性系統的綜合5.1 給定線性定常系統 式中 采用狀態反饋控制律，要求該系統的閉環極點為s = -2±j4，s = -10。試確定狀態反饋增益矩陣K。5.2 試用MATLAB求解習題4.3。5.3 給定線性定常系統 試證明無論選擇什么樣的矩陣K，該系統均不能通過狀態反饋控制來穩定。5.4 調節器系統被控對象的傳遞函數為 定義狀態變量為 利用狀態反饋控制律，

5、要求閉環極點為 (i=1,2,3)，其中 試確定必需的狀態反饋增益矩陣K。5.5 試用MATLAB求解習題4.6。5.6 給定線性定常系統 式中 試設計一個全維狀態觀測器。該觀測器的期望特征值為。5.7 考慮習題4.8定義的系統。假設輸出y是可以準確量測的。試設計一個最小階觀測器，該觀測器矩陣所期望的特征值為，即最小階觀測器所期望的特征方程為。5.8 給定線性定常系統 式中假設該系統的結構與圖4.5所示的相同。試設計一個全維狀態觀測器，該觀測器的期望特征值為。5.9 給定線性定常系統該觀測器增益矩陣的一組期望的特征值為 。試設計一個全維觀測器。5.10 考慮習題4.11給出的同一系統。假設輸出

6、y可準確量測。試設計一個最小階觀測器。該最小階觀測器的期望特征值為。5.11考慮圖4.17所示的I型閉環伺服系統。圖中的矩陣A、B和C為試確定反饋增益常數和,使得閉環極點為。試利用計算機對所設計的系統進行仿真，并求該系統單位階躍響應的計算機解，繪出y(t)對t的曲線。圖4.17 I型閉環伺服系統5.12 考慮4.4節討論的倒立擺系統。參見圖4.2所示的原理圖。假設M = 2千克，m = 0.5千克，l = 1米 定義狀態變量為 輸出變量為 試推導該系統的狀態空間表達式。 若要求閉環極點為 試確定狀態反饋增益矩陣K。 利用已被求出的狀態反饋增益矩陣K，用計算機仿真檢驗該系統的性能。試寫出一個MA

7、TLAB程序，以求出該系統對任意初始條件的響應。對一組初始條件 米/秒 試求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)對t的響應曲線。5.13 考慮4.4節討論的倒立擺系統。假設M、m和l 的值與4.4節中的相同。對于該系統，狀態變量定義為 試求該系統的狀態空間表達式。 假設采用狀態反饋控制律，試設計一個穩定的控制系統。考慮以下兩種情況下的期望閉環極點 情況1：； 情況2： 試確定在這兩種情況下的狀態反饋增益矩陣K。再求設計出的系統對初始條件 的響應，并比較這兩種系統的響應。5.14 考慮4.7節討論的倒立擺系統。設計一個狀態反饋增益矩陣K，其中已知和積分增益常數。假設該系統的期望閉環極點

8、為 。試利用MATLAB確定增益矩陣K和積分增益常數。再求當單位階躍輸入作用于小車位置時的階躍響應曲線。第六章 最優控制6.1設系統狀態方程及邊界條件為： 試求最優控制，使下列性能指標 取最小值。6.2求從到直線之間距離最短的曲線及最優終端時間。6.3系統狀態方程及邊界條件為： 試求最優控制使下列指標取極值并求最優軌線。 6.4設系統狀態方程及初始條件為 未給定，試求最有控制及使下列指標取極值，并求出最優軌線。6.5設系統狀態方程及初始條件為： 中斷狀態受如下約束 試求最優控制是下列性能指標 取極小值，且求出最優軌線。6.6 設一階離散系統方程為邊界條件為：。試求最優控制序列，使下列性能指標 取極小值，并求出狀態序列。6.7 設系統狀態方程及邊界條件為: ; ,試求最優控制是指標取極值，并求出最優軌線及最優性能指標。6.8設系統狀態方程及邊界條件