1、用三點共線的向量結論解決平幾中的一類求值問題 教案 學情分析1、部分學生因對向量加法和減法的不熟練，在用向量表示幾何關系時存在困難；2、學生雖然學過向量共線的條件和平面向量基本定理的內容，但現階段對向量的認識還不夠深刻，自主應用向量解決數學問題的意識還沒有樹立起來；3、雖然學生通過對平面向量基本定理這一節例5的學習，學會了在三點共線的條件下如何用向量表示幾何關系的方法，但因時間關系，這一結論并沒有去挖掘它的應用。應對策略1、課前要求學生自己復習向量的加法和減法、向量共線的充要條件和平面向量基本定理有關知識；2、在上完§5.3的平面向量基本定理后，布置教材P110.第7題和一些用向量表

2、示幾何關系的練習，讓學生能較熟練地用向量表示幾何關系，為學習本節課的知識作準備；3、通過探求三點共線的向量結論中的幾何意義，加深學生對這一結論的認識與理解，逐步增強學生應用向量的意識。知 識 與 技能目標1、能熟練地用向量表示幾何關系；2、能說出三點共線的向量結論中的幾何意義；3、模式識別：能應用三點共線的向量結論求平幾中的共線線段的比值問題；4、培養學生應用向量解決數學問題的意識。過 程與方 法目 標1、復習三點共線的向量結論；2、啟以、引導學生發現三點共線的向量結論中的幾何意義；3、鞏固與應用，增強學生應用向量解決數學問題的能力。情 感態 度與價值觀學會合作與交流；在獨立思考的基礎上獲取知

3、識，獲得成功的體驗；感受向量應用的廣泛性。教 學重 點三點共線的向量結論的應用教 學難 點應用向量解決數學問題的意識教 具準 備多媒體課件注：為了簡單起見，平面幾何簡稱為平幾；師指教師，生指學生。教 學 過 程（師生活動）設計理念和實施方法創設情景師：上節課我們學習了三點共線的向量結論（如右圖）A、B、C三點共線的充要條件是：有唯一實數對、，使且+=1；有何意義？這就量本節課需要解決的問題。電腦顯示本節課課標：1、探求的幾何意義；2、應用.1、“+=1”可提問學生，上課伊始適當的問題能讓學生注意力轉移到課堂上來；2、板書本節課課題：用三點共線的向量結論解決平幾中的一類求值問題探索分析52問題已

4、知如圖，A、B、C三點共線，O為線段AB外一點。1、2、師：請同學們完成上面兩個問題（請學生說出答案）生：1、；2、師：請說出1的系數比 生：師：結合圖形，你對這一比值有什么新的發現沒有？生：恰好等于線段值。師：再次發揮同學們的想像能力，上述線段能否從1式的向量表達式中得到？怎樣得到的？生：能；將1式各向量的終點聯結就能得到。師：系數之比與用向量表達式寫出的線段比位置上有何關系？生：交叉關系。師：從以上過程你對此有什么猜想？生：系數之比等于（由向量表達式寫出的）“交叉線段”長之比？師：若A、B、C三點共線且+=1我們是否能作這樣的猜想：=。師：大家算一下2的系數比，你又有什么發現？生：=，可寫

5、成=|=.師：由此我們可得猜想=。這一猜想是正確的。它的證明留給同學們課外完成，當你完成了這一結論的證明后，完全有理由相信自己對向量的認識會提高一個層次！師：綜上所述，我們有下面結論：A、B、C三點共線的充要條件是有唯一實數對、，使，其中+=1； =。師：這一結論的右邊表示什么的比值？這兩線段有何位置關系？左邊又表示什么的比值？生：線段；兩線段共線（或三點共線）；向量表達式的比值。師：這些特點告訴了我們什么？（略停）求解三點共線的線段的比值問題，可將其轉化為求三點共線的向量結論中的系數。我們所學的向量知識可與平幾知識聯系起來！1、電腦顯示結論2、這節課的知識較抽象，過多使用電腦會給學生理解和掌

6、握知識造成障礙。因此，板書對于學生理解知識是很有好處的。3、兩個問題的答案如下：4、讓學生經歷操作觀察猜想這一過程。5、這節課的重點是知道結論并會應用，證明的技巧性較強。對高一學生在教學中有時采用“重形式輕實質”的方法能讓學生更好地學習本節課的主要知識。因此，證明過程讓有興趣的學生課外完成。6、得到結論后重要的是引導學生分析結論的特點，能模式識別。鞏固練習應用1-想一想圖11、已知平面上不同的四點滿足：，試指出M、A、B的關系。2、已知如右圖1，若，則 + 3、已知， 4、已知， .應用2-做一做例1、已知如右圖，AE=2EC,ABC的中線AM交BE交于點G，求的值。思路分析：要求的是AG與G

7、M兩線段的比值，且兩線段是共線的，故可考慮轉化為用本節課的結論。解：A、G、M三點共線，可設又引導學生總結解題思路：（1）由A、G、M三點共線用結論表示；（2）由A、E、C三點共線用結論表示；(3)將與轉化成用相同的基底表示； (4)根據兩向量、共線，通過比較對應向量的系數轉化為方程組求值。例2 已知如下圖，G為ABC的重心，過點G的直線分別交邊AB、AC于點E、F，且，（）。 求證：。 思路分析：從圖中可看到E、F、G三點共線，可試著去找適當的基向量M表示，些時作輔助線再找一個與共線的向量就是自然的事了！解：連結AG并延長交BC于點M，則AM為BC的中線。 E、G、F三點共線，可設又，答案：

8、1、三點共線2、3、4、解題過程的回顧與總結是調動學生參與課堂，也是一次學生自我提高的的過程。例題用多媒體顯示學生練習教師巡視，對學生練習中出現的問題給予指導。答案：4：1課外引申用本節課所得到的結論證明第23屆IMO試題（見課外作業）給學有余力的學生展示自己的平臺的機會！課堂小結1、探索得到了三點共線的向量結論中的幾何意義；2、應用這一結論解決平幾中的一類求值問題；3、應用結論來求值時，選擇適當的基底將幾何關系用向量表示，再用向量共線來建立方程組進行求解；4、本節課僅是根據同學們現在具備的知識講了向量的一個應用。實際上，隨著同學們知識的積累，你會發現向量的應用是很廣泛的，這節課只想起到一個拋

9、磚引玉的作用，課后同學們可去網上查詢有關這方面的知識！課堂小結是使知識系統化；作業布置課堂練習：已知如圖 ，求 的值。課外作業（用試卷打好發給學生）1、已知如右圖，AE=2EC,ABC的中線AM交BE交于點G，求的值。2、（第23屆IMO試題）如圖，M、N分別是正六邊形對角線AC、CE上的點。若B、M、N三點共線，且，求的值。1、作業的布置是檢查學生對本節課所學知識的掌握情況；2、作業的布置要分層次，給不同層次的學生獲得進步的機會。這樣才能真實全面的了解學生的掌握情況。答案：1、3：22、用三點共線的向量結論解決平幾中的一類求值問題教案說明 向量是數與形的高度統一，它集幾何圖形的直觀與代數運算

10、的簡捷于一身，在解決平面幾何問題時能起到奇特的作用。在用向量解決平面幾何問題時，首先就是要將幾何關系轉化為向量表示（即選擇適當的基底），然后再借助向量運算來解決。因此，本節課實際就是讓學生學會：在三點共線條件下，知道將幾何關系轉化為向量問題來解決。本節課的教學目標是按三維目標來確定的。它包括知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個方面。知識與技能目標有4點，它們是相互聯系層層遞進的關系。目標1是基礎，目標2是內容，目標3是獲得技能，目標4才是這節課的根本意圖。我國新一輪課程改革提出：改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調形成積極的學習態度，使獲得知識與形成技能的過程成為學會學習和形成價值觀的

11、過程。這就要求我們的教學過程應更多的考慮學生，要讓他們在課堂上參與適應的探索并能在這一過程中感受成功的喜悅。mn本內容是學生學習了向量的一些基本概念、向量的加法與減法、向量共線的充要條件、平面向量基本定理和三點共線的向量結論后進行的一節探究式的習題課。平面向量基本定理這一節的例5學生知道了這樣一個結論：A、B、C三點共線的充要條件是：有唯一的實數對、，使，其中+=1。并且通過上節課的學習，學生還知道了在三點共線條件下寫向量表達式的一種方法：如右圖,m+nnm 圖1 圖2 分母m+n代表線段AB的份數，即右邊兩向量終點表示的線段，m代表線段CB的份數，即左邊向量和右邊向量兩向量終點表示的線段，n

12、代表線段CA的份數，即左邊向量和右邊向量兩向量終點表示的線段。系數m、n與它對應的線段恰好是交叉關系；當分點在線段的外部時，添加一個負號，其位置由系數和為1確定。在三點共線的條件下學生能較為熟練的寫出向量表達式作為基礎來進行這節課的教學。對的幾何意義的探求分四個階段進行：先由1、2兩個特例得猜想：=；再由檢驗特例2的系數完善猜想，得猜想2：|=；然后指出這一猜想的正確性（不證明）；最后通過課堂的應用1、應用2和課堂練習來鞏固知識。本節課最關鍵的是教師引導學生得猜想1和猜想2，這也是本節課最難的。因為這一過程思維跳躍性很強，要反復結合向量表達式和圖形，稍有不慎，學生的思維鏈一斷，這節課就變得毫無

13、意義了！結論|=在課堂上沒有證明，從這一意義上說失去了數學的理性思維，少了很多的“數學味”，但對高一的學生來說卻是很必要的（要知道，正是因為有時我們過分追求理性思維才讓學生產生 “數學就是繁和難的演繹與推理”這種想法，讓他們畏懼數學！）。有時這種“重過程輕實質”的方法，能減輕學生的學習負擔，不會因技巧性強、冗長的證明過程沖淡本節課的主題。本節課的最終目的是要讓學生感受到一點向量應用的廣泛性，并希望能逐步增強學生應用向量解決數學問題的能力。若著眼點僅是這一節課，探索的幾何意義的過程對高一學生而言有些難，甚至可以說沒必要。但若將這節課放到整個高中階段這根知識大鏈上來看又是怎樣的呢？僅從以下兩個例子

14、就可見向量在中學數學知識中的地位了：1、向量與三角知識的融合。在推導正弦定理、余弦定理均用到了向量知識。但是在教學過程中這一點還沒有引起我們足夠的重視，甚至有些教師對教材中用向量方法證明正弦和余弦定理棄之不用，課堂教學中僅僅是為了得到一個結論，證明方法仍是沿用以前的老教材中的方法。應該說這是一種教學資源的浪費！正弦和余弦定理究竟要解決的是什么問題？初中解決角與邊有哪些方法？高中與角和邊有關的又有哪些知識？通過這種引導，讓學生將所學的向量的數量積與三角形知識聯系起來，這樣既能讓學生掌握這種證明方法，又能讓學生樹立應用向量的意識；2、向量在立體幾何中的應用。這幾年來高考對立體幾何知識大題的考查都是

15、能建立直角坐標系，大題的得分率比以前大大提高。但這也給部分學生（甚至于我們的教師）留下了這樣一些印象：只要會建立直角坐標系就行了；立體幾何對邏輯推理和空間想像能力的要求降低了；向量在立體幾何中的應用關鍵是能建立直角坐標系等等。比如高二數學教材下B第51頁例2，題如下：已知在一個的二面角的棱上有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內，且垂直于AB的線段，又知AB=4cm, AC=6cm, BD=8cm,求CD的長。對于高三的同學來說也很少想到用向量方法來解決的。在不建立直角坐標系的條件下用向量來證明線線平行、線面平行，求線面角、二面角的平面角這方面的意識學生就更弱了！ 培養學生應用

16、向量的意識不是一朝一夕就能實現的，而要把這種意識轉化為一種能力那就更是需要一個長期的、不斷訓練的過程了。我從最不理想的角度考慮過這節課的效果，若有學生在上課時由于注意力不集中導致后面的內容聽不懂了，若他看到用向量方法能這樣簡捷的解決平面幾何問題時，他只要能這樣想：哦，原來還可以這樣呀！我就覺得是我這節課的收獲了！從這個方面來看，這節課是及時的也是需要的。在三點共線的條件下讓學生寫向量表達式都能準確的寫出來，但是在探求的幾何意義時還是應特別的注意.因為這需要在向量表達式和圖形中反復觀察，這也是學生最容易出問題的地方。此時應該放手讓學生自己先探索，教師再去引導，這樣的效果會更好的，若探索這個環節處理得不好，后面的內容就會變成老師的獨角戲了！另外，學生容易出錯的是在例1中求出了的值，是代入還是代入求比值。解題到此時可再回顧三點共線的向量結論的形式特點，通過課堂上3個題目的和課外1題（課外作業的第一題是要求每個學生必做的，2作為選做）共4個題的訓練是能正確區分這一點的。根據新課改的教育教學理念，在課堂上探究知識時讓學生經歷：操作實