1、第4講定積分的概念與微積分基本定理【2013年高考會這樣考】1考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理2利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質點的運動路程【復習指導】定積分的考查頻率不是很高，本講復習主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用微積分基本定理計算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等基礎梳理1定積分(1)定積分的定義及相關概念如果函數f(x)在區間a，b上連續，用分點ax0<x1<xi1<xi<xnb，將區間a，b等分成n個小區間，在每個小區間xi1，xi上任取一點i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，當n時，上述

2、和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間a，b上的定積分，記作f(x)dx.在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區間a，b叫做積分區間，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式(2)定積分的性質kf(x)dxkf(x)dx(k為常數)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)2微積分基本定理如果f(x)是區間a，b上的連續函數，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個結論叫微積分基本定理，又叫牛頓萊布尼茲公式3定積分的應用(1

3、)定積分與曲邊梯形的面積定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結合具體圖形來定：一種思想定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無限”過程的問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，利用這種方法可推導球的表面積和體積公式等恩格斯曾經把對數的發明、解析幾何的創始以及微積分的建立并稱為17世紀數學的三大成就三條性質(1)常數可提到積分號外；(2)和差的積分等于積分的和差；(3)積分可分段進行一個公式由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求導函數的原函數，由此可知，求導與積分是互為逆運算雙基自測2(2011·湖南)由直線x，x，y0與曲

4、線ycos x所圍成的封閉圖形的面積為()A.B1 C.D.解析Scos xdx20cos xdx0.答案D4如圖，在一個長為，寬為2的矩形OABC內，曲線ysin x(0x)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內隨機投一點(該點落在矩形OABC內任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是()A. B. C. D.考向一定積分的計算【例1】計算下列積分當原函數較難求時，可考慮由其幾何意義解得考向二利用定積分求面積【例2】求下圖中陰影部分的面積審題視點 觀察圖象要仔細，求出積分上下限，找準被積函數解解方程組得，或S陰影dx8|dx2618. 求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步

5、驟(1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標定出積分的上、下限；(2)確定被積函數，特別要注意分清被積函數的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的表達式；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積【訓練2】 求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解由得交點A(1,1)；由得交點B(3，1)故所求面積Sdxdx.考向三定積分的應用【例3】一質點在直線上從時刻t0(s)開始以速度vt24t3(m/s)運動求：(1)在t4 s的位置；(2)在t4 s內運動的路程審題視點 理解函數積分后的實際意義，確定被積函數解(1)在時刻t4時該點的位置為(t24t3)dt(m)

6、，即在t4 s時刻該質點距出發點 m.(2)因為v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在區間0,1及3,4上的v(t)0，在區間1,3上，v(t)0，所以t4 s時的路程為S(t24t3)dt|(t24t3)dt|(t24t3)dt|4 (m)，即質點在4s內運動的路程為4 m. 由sv0tat2通過求導可推出vv0at，反之根據積分的幾何意義，由vv(t)(v(t)0)可求出ta，b時間段內所經過的路程【訓練3】 已知甲、乙兩車由同一起點同時出發，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是()A在t1時刻，甲車在乙車前面Bt1時刻后，甲車在乙車后面C在t0時刻，兩車的位置相同Dt0時刻后，乙車在甲車前面解析可觀察出曲線v甲，直線tt1與t軸圍成的面積大于曲線v乙，直線tt1與t軸圍成的面積，故選A.答案A難點突破8積分的綜合應用定積分的考查在試卷中不是必然出現的，一般以選擇題或填空題的形式出現，試題難度不大，在近兩年的高考中，考查的一般是定積分的計算和定積分在求曲邊圖形面積中的應用等，如2011年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計算，新課標全國卷、湖南卷、山東