1、1、有一個二元對稱信道，其信道矩陣如下圖所示。設該信道以1500個二元符號/秒的速度傳輸輸入符號。現有一消息序列共有14000個二元符號，并設在這消息中P(0)=P(1)=1/2。問從信息傳輸的角度來考慮，10秒鐘內能否將這消息序列無失真地傳送完？解答：消息是一個二元序列，且為等概率分布，即P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵為H(X)=1(bit/symbol)。則該消息序列含有的信息量14000(bit/symbol)。 下面計算該二元對稱信道能傳輸的最大的信息傳輸速率： 信道傳遞矩陣為： 信道容量（最大信息傳輸率）為： C=1-H(P)=1-H(0.98)0.8586bit/symbo

2、l得最大信息傳輸速率為： Rt 1500符號/秒 0.8586比特/符號 1287.9比特/秒 1.288103比特/秒 此信道10秒鐘內能無失真傳輸得最大信息量10 Rt 1.288104比特 可見，此信道10秒內能無失真傳輸得最大信息量小于這消息序列所含有的信息量，故從信息傳輸的角度來考慮，不可能在10秒鐘內將這消息無失真的傳送完。2、若已知信道輸入分布為等概率分布，且有如下兩個信道，其轉移概率矩陣分別為：試求這兩個信道的信道容量，并問這兩個信道是否有噪聲？3 、已知隨即變量X和Y的聯合分布如下所示：YX0101/83/813/81/8試計算：H（X）、H（Y）、H（XY）、H（X/Y）、

3、H（Y/X）、I（X；Y）解：(1) (2)(3) H（X/Y）= H（XY）- H（Y）=1.811-1=0.811(4) H（Y/X）= H（XY）- H（X）=1.811-1=0.811(5)4、 有一個可以旋轉的圓盤，盤面上被均勻的分成38份，用1,2,3，38數字標示，其中有2份涂綠色，18份涂黑色，圓盤停轉后，盤面上指針指向某一數字和顏色。（1）若僅對顏色感興趣，計算平均不確定度；（2）若對顏色和數字都感興趣，計算平均不確定度；（3）如果顏色已知，計算條件熵。 解：(1) H(色)= (2) P(色數)= H(色數)= (3) H(數/色)= H(色數)- H(色)=5、 在一個二

4、進制信道中，信源消息集X=0,1，且P(0)=P(1),信宿的消息集Y=0,1,信道傳輸概率P（1/2）=1/4, P(0/1)=1/8。求：（1）在接收端收到y=0后，所提供的關于傳輸消息X的平均條件互信息量I(X；y=0).(2) 該情況所能提供的平均互信息量I(X;Y).解：(1) P(ij)= P(i/j)= (2) 方法1: = 6 某一無記憶信源的符號集為0,1，已知p0=1/4, p1=3/4(1)求符號的平均熵（2）由100個符號構成的序列，求某一特定序列（例如有m個“0”和（100-m）個“1”）的自信息量的表達式。（3）計算（2）中的序列的熵。 解： (1) H(X)= (

5、2) =(3) 7、 一階馬氏鏈信源有三個符號u1,u2,u3,轉移概率為：P(u1/u2)=1/2, P(u2/u2)=1/2, P(u3/u1)=0, P(u1/u2)=1/3, P(u2/u2)=0, P(u3/u2)=2/3,P(u1/u3)=1/3, P(u2/u3)=2/3, P(u3/u3)=0,畫出狀態圖并求出各符號穩定概率。解： P(j/i)= 解方程組 求得W=1/2S11/31/31/22/3S3S22/38、 設有一信源，它在開始時以p(a)=0.6,p(b)=0.3,p(c)=0.1的概率發出X1，如果X1為a時則X2為a,b,c的概率為1/3;如果X1為b時則X2為

6、a,b,c的概率為1/3;如果X1為c時則X2為a,b的概率為1/2，而為c的概率是0;而且后面發出Xi的概率只與 Xi-1有關。又p(Xi/ Xi-1)=p(X2/ X1),i3。試利用馬兒可夫信源的圖示法畫出狀態轉移圖，并求出狀態轉移矩陣和信源熵HP(j/i)= 解方程組 得到W1= , W2= , W3= 9 某信源符號有8個符號u1,u8,概率分別是1/2，1/4，1/8.，1/16，1/32,1/64,1/128,1/128，編成這樣的碼：000,001,010,011,100,101,110,111。求（1）信源的符號熵H(U) (2)出現一個“1”或一個“0”的概率；（3）這樣碼

7、的編碼效率；（4）相應的香農碼和費諾瑪；（5）該碼的編碼效率？解：(1) H(U)=(2) 每個信源使用3個二進制符號,出現0的次數為 出現1的次數為P(0)= P(1)= (3) (4) 相應的香農編碼信源符號xi符號概率pi累加概率Pi-Logp(xi)碼長Ki碼字x11/20110x21/40.52210x31/80.7533110x41/160.875441110x51/320.9385511110x61/640.96966111110x71/1280.984771111110x81/1280.9927711111110 相應的費諾碼 信源符號xi符號概率pi第一次分組第二次分組第三次

8、分組第四次分組第五次分組第六次分組第七次分組二元碼x11/200x21/41010x31/810110x41/16101110x51/321011110x61/6410111110x71/128101111110x81/128111111110（5）香農碼和費諾碼相同 平均碼長為 編碼效率為： 10 已知符號集x1,x2,x3,為無限離散集合，他們出現的概率分別是p(x1)=1/2,p(x2)=1/4,p(x3)=1/8,p(xi)=1/2i ,。（1）用香農編碼方法寫出各個符號的碼字；（2）計算碼字的平均信息傳輸率。（3）計算信源編碼效率。3 解：（1） pi= 累加概率為 Pi= 累加概率

9、分別為符號x1x1x2x3x4x5x6x7概率1/21/41/81/161/321/641/1281/256累加概率00.50.750.8750.9380.9690.9840.992碼長12345678 二元碼010110111011110111110111111011111110 （2）信源的信息量為平均碼長為： 碼字的平均信息傳輸率為 Rbit/碼（3）編碼效率R10011該二進制對稱信道的概率轉移矩陣為，（1）若p(x0)=3/4,p(x1)=1/4,求H(X),H(X/Y),H(Y/X)和I(X;Y)。（2）求該信道的信道容量及其達到信道容量時的輸入概率分布。12、某信源發送端有2個符

10、號，xi,i=1,2,p(xi)=a,每秒發出一個符號。接收端有3種符號yj,j=1,2,3,轉移概率矩陣如下：（1）計算接收端的平均不確定度；（2）計算由于噪聲產生的不確定度H(Y/X);(3) 計算信道容量解：(1)接收端的不確定度為: (2)H(Y/X)=(3)=0得到得 13 發送端有3種等概率符號（x1,x2,x3）,p(xi)=1/3,接收端收到3種符號（y1,y2,y3）,信道轉移概率矩陣如下：（1）求接收端收到一個符號后得到的信息量H(Y); (2)計算噪聲熵H(Y/X);(3)計算當接收到端收到一個符號y2的錯誤率；（4）計算從接收端看的平均錯誤率；（5）計算從發送端看的平均

11、錯誤率；（6）從轉移矩陣中你能看出信道的好壞嗎：（7）計算發送端的H(X)和H(X/Y)。 解： (1)條件概率 ，聯合概率，后驗概率 ， ，（2） H(Y/X)= （3）當接收為y2，發為x1時正確，如果發的是x1和x3為錯誤，各自的概率為：P(x1/y2)=，P(x2/y2)=，P(x3/y2)=其中錯誤概率為：Pe=P(x1/y2)+P(x3/y2)=（4）平均錯誤概率為（5）仍為0.733（6）此信道不好 原因是信源等概率分布，從轉移信道來看 正確發送的概率x1-y1的概率0.5有一半失真 x2-y2的概率0.3有失真嚴重 x3-y3的概率0 完全失真（7）H(X/Y)=14、 設離散無記憶信道的輸入符號集X:0,1，輸出符號集Y:0,1,2，信