1、學習改變命運，思考成就未來！：62164116第十二講 恒等變形（2）乘法公式一、 基礎知識（一）乘法公式1. 除了上一講的幾個基本公式外，乘法公式還有如下幾條：) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = a3 + b3 + c3 - 3abc) (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + abn-2 + bn-1) = an - bn.a2 + b2 + c 2 ab ac bc = 1 (a b)2 + (a c)2 + (b c)

2、2 2)（二）配方法配方法是乘法公式應用的拓展，在恒等變形中應用十分廣泛。在配方時，還常用到拆在配方法中要熟悉兩組關系：補項的技巧。x+y、xy，與x2+y2、x3+y3、x4+y4、x7+y7的關系。x+x-、x-x-，與x2+x-2、x2-x-2、x4+x-4、x4-x-4的關系。1.2.二、名校回放例 1（20052006 首師大附中初一期中測試）x2+2ax+l6 是一個完全平方式，則 a 的值是 .例 2（20052006 首師大附中初一期中測試）與(a -1)(a2 + a +1)的積等于 a6-1 的多項式是 .例 3（20052006 首師大附中初一期中測試）若3(a2 + b

3、2 +c2 ) = (a + b + c)2 ，則 a，b，c 三者的關系為 .例 4（20052006 首師大附中初一期中測試）求證： x (x +1)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 3x +1)2 -1三、活題巧解（一）乘法公式例 1(2000 年重慶市初中競賽題)已知(2000-a)(1998 -a)=1999，那么，(2000-a)2+(1998-a)2=學而思教育06 年秋季班講義初一競賽班第十二講學生版Page 1 of 5學習改變命運，思考成就未來！：62164116例 2（2001 年市中考題）觀察下列各式（x1）(x+1)=x21；（x1）(x2+x+1)=x3

4、1；（x1）(x3+x2+x+1)=x41.根據前面的規律可得（x1）(xn+xn1+x+1)=例 3(2002 年初中數學競賽題) 設 a、b、c、x、y、z 滿足下列等式x = a2 - 2b + p , y = b2 - 2c + p , z = c2 - 2a + p , 則 z，y，z 中，至少有一個值()36(B)等于 02(A)大于 0(c)不大于 0(D)小于 0例 4如圖，立方體的每一個面上一個自然數，已知相對的兩個面上二數之和都相等，如果 13、9、3 的對面的數分別為 a、b、c，則 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 的值為a 4 + a 2 + 1

5、1例 5（希望杯訓練題）已知 a+ =5，則a=a 2例 6（2000 年重慶市競賽題）1111乘積（1）（1）（1）（223219992120002）等于（）。1999200119992001A、B、C、D、2000200040004000例 7. 已知 a3+b3+c3=a2+b2+c2= a+b+c=1，求證：abc=0學而思教育06 年秋季班講義初一競賽班第十二講學生版Page 2 of 5學習改變命運，思考成就未來！：62164116例 8. (北京市競賽題)若 x+y=a+b，且 x2+y2= a2+b2證明：x 1997 +y 1997 =a 1997 +b1997例 9（200

6、1 年黃岡市競賽題）觀察：1 2 3 4+1=522 3 4 5+1=1123 4 5 6+1=192（1）請寫出一個具有普通性的結論，并給出證明；（2）根據（1），計算 2000 2001 2002 2003+1的結果（有一個最簡式子表示）.（二）配方法例 10. （希望杯競賽題）已知 x、y 滿足 x2+y2+ 54xy=2x+y,則代數式的值為（）x + y431323A.B.C.1D.例 11. (太原市競賽題)已知 a、b 滿足等式 x=a 2 +b 2 +20，y=4(2b-a)，則 x、y 的大小關系是AxyBxyCxy()學而思教育06 年秋季班講義初一競賽班第十二講學生版Pa

7、ge 3 of 5學習改變命運，思考成就未來！：62164116例 12. （希望杯訓練題）已知 x + 1 = 2 ，求 x2 +x1x21x3x3 +和的值。例 13（北京市競賽題）已知 a+b=p，ab=q，求a5 + b5 的值例 14. (西安市競賽題)設 a+b=1,a2+b2=2,則 a 7 +b 7 的值為.四、練習11a41a4則a4 +， a4 -1.(第 13 屆希望杯數學邀請賽試題)已知 a+=-2,a=2. (2002 年的值為（A.0初中競賽題)已知 a=1999x）B.1，b=1999x，c=1999x,則多項式 a2+b2+c2-ab-bc-acC.2D.2x2

8、13（2003 年重慶市初中數學競賽試題)若 x += 3 ，則x的值為()x4 + x2 +111018A.10B8CDa + b4（2002 年初中競賽題）設 ab0 , a2+b2=2.5ab,則的值為（）a - bA.1.5B.3.5C.2D.3學而思教育06 年秋季班講義初一競賽班第十二講學生版Page 4 of 5學習改變命運，思考成就未來！：621641165（希望杯訓練題）有 10 位乒乓球手進行單循環賽(每兩人間均賽一場)，用 xl，yl 順序表示第一號選手勝與負的場數；用 x2，y2 順序表示第二號選手勝與負的場數；用 x10,y10 順次表示第十號選手勝與負的場數x2 +. + x2 = y2 + y2 + y2 .求證：21012106（希望杯訓練題）已知 a-b=4,ab+c 2 +4=0，則 a+b=()A4B0C2D-2市選拔賽試題) 已知 x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z +14 = 0 則 x+y+z=7(2001 年8(2003 年河北省競賽題) 已知 a 滿