1、2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則第第11章章屈服條件、強化特性和加載法則屈服條件、強化特性和加載法則2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則本章討論一般應力狀態下的彈塑性變形規律。 應力分析、應變分析方面的一些基本事實 并引入應力偏量和應變偏量的概念，在此基礎上再相繼展開關于一般應力狀態下的屈服條件和強化法則的探討， 最后是有關Druker公設和加載法則的一些說明，所有這些都是建立三維彈塑性本構的必要準備。2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則FFo2.1 三維應力分析(應變分

2、析)的若干基本結論 一維狀態：典型的低碳鋼拉伸曲線。s2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則當應力s FFFF剪切帶 45斜截面max2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則三維狀態下 八面體與剪應力3122008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 1.應力狀態的表示。ij 2.斜面元上的應力。jijnijjnnn或321, nnnn其上的應力向量為3.坐標轉換關系。為斜面元的外法向，3, 21,nnnn2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2008

3、-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則12,3,4.ijikjlklTijijijijijijijijij 1232112233e e ee e e eeeeeeee直角系由向轉換時，應力間服從以下轉換規則：寫成矩陣形式是：其中為方向余弦矩陣，即坐標轉換中應力不變量。2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法

4、則ijijJJJ3331313113323232222121211331313113323232222121211233221133221112008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則最大剪應力。的三個根征方程是相應的特的解答，三個主應力值問題主應力和主方向是特征力狀態的主方向）（應，交的方向一定能找到三個相互正的應力狀態給出后，主應力和主方向。一點. 60. 532213321321JJJllllllij2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則31max21max213o應力摩爾圓。. 72008-90-302008-90

5、-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 12,31231112233112233111221228.,1,2,39., ijijjiTijikjlklijijijiji j ,e e ee ,e e II應變狀態的表示。取定直角系中可通過九個（六個）應變分量 （）表示出來（其中）坐標轉換規則。直角系由向轉換時應變分量的轉換規則：或者坐標轉換中應變張量有如下三個不變量22231113223331333 2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則ijijI3331313113323232222121211TxyzxyzzyxTxyzxyzzyx, , .11.

6、10狀態記成一個列陣工程記號。將體元應力應力分析的結論。圓。此等概念均類似于摩爾變，最大剪應變，應變關于應變主方向、主應2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則其中，即克定律用工程記號表出比如彈性變形的廣義胡,FeE e1121212111F1eeeFDD其中當然也可寫成2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則:的分解看法下體元的應力狀態采取如在塑性力學中常需要對2.2 應力偏量和應變偏量2.1.1 應力偏量的概念33221131 mijmmmij其中：s2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和

7、加載法則稱為平均應力值，而m時時jijisijijmijij011122333311220,ssssss 分解式中的前一應力狀態稱為靜水應力狀態，后一應力狀態稱為偏量應力狀態。偏量應力狀態中恒有或者（）00000000000000 00000000023231313121222221111ssssssssssijs2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則應力偏量的第二不變量 2 . 2 . 2的幾點簡單結論注意：關于有三個不變量應力偏量在坐標轉換時2323122321211333322221123322111)(0JJSSSSSSSSSJSSSJijSiji

8、jSSJ21 . 12223122321221133233222221126 61 . 2J2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2ij221122331212111222 3. i,j1,2,312 3 3ijijJSJJSSJJ即：，塑性力學還定義了一個與有關的量稱為應力狀態的等效應力（或應力強度），它具有的應力量綱，是偏量作用的一個綜合指標，而且不112233120 難驗證，在簡單拉伸情況下（即，時）有（ 為拉伸應力）2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則22232121133332222112233221131

9、31 2.2.3eeeeeeeeeeijmijijmijmmmij）（。記作應變偏量的第二不變量量張量，后一部分稱為應變偏前一部分稱為體變張量的三分之一，而應變，它相當于體應變）稱為平均（其中以有類似的分解可理，對體元應變狀態也參照應力狀態的分解處變量應變偏量和它的第二不IIe2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則223122321221133233222221123 61 21 ijijee為拉伸應變）（時），有，壓縮（即伸情況下，若材料不可單拉變強度），可以驗證在狀態的等效應變（或應稱為應變有關的常用量是此處，一個與 02134231211332211

10、22II2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則有意義的結果，由于的變形比能也能給出很性材料表示來考察各向同性彈立足于胡克定律的分解式即將胡克定律表述如下表述，性定律（胡克定律）的用于各向同性材料的彈曾態的上述分解方法，也對于體元應力和應變狀胡克定律的分解表示ijijmSGeK2131 4 . 2 . 2m2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則11 112222333311221111 222231 22 1 1 13ijijmijijmijijmmijijij ijmij ijmijijmmij ijKGijijij

11、ijUSeS eeSS eUUe 其中，11 1122 2233 3311223311112222333311223300ijijeeeeeeSSSSSSS2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2311 22211 11 (2 )2222Km mmGij ijijijij ijUKUS eS SG e eG 可見變形比能也可分拆為兩部分，其中2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則屈服條件和屈服面 1 . 3 . 22.3 屈服條件屈服條件 對于簡單應力狀態，我們可以根據實驗很容易確定其屈服條件。（1）單軸拉伸 = s

12、（2）純剪 = s 對于復雜應力加載，在應力空間中，屈服條件的數學表達式可概括為：f (ij) = 0 屈服條件的一般形式 f (1、2、3、1、2、3) = 02008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則從理論角度可對屈服條件的形式提出如下要求:（1）材料初始是各向同性的。與三個主應力值與主應力方向無關， F(I1 , I2 , I3)=0, F(I1 , J2 , J3)=0 （2）靜水壓力不影響塑性狀態， F( J2 , J3)=0 Mises屈服條件（3）當應力狀態退化為簡單拉壓時,上述形式應能和已知的一維屈服條件形式相符合。2008-90-302008

13、-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 031033 0 191300 4222223sssijJJJMisesJFF或列如寫成不同的形式，在應用中這一條件可以應力。是體元應力狀態的等效這里它的形式是），屈服條件（服條件，即學中當前廣泛使用的屈就得到了塑性力對屈服的影響不大，這如果進一步認為時在屈服面外。時在屈服面內，2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則。，柱面半徑，向為通過應力原點，軸線方此柱面軸線屈服面是一個圓柱面，在主應力空間中，條件：改用主應力來表示這一前者展開之后則是ssszxyzxyxzzyyxMises32333333006212

14、13322123222122222222008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則p平面 屈服面oNPQ2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則213322123222122132232222122242222332maxmax0TrescaTresca31, 06927402 1864Tresca Tresca 3 . 3 . 2sssssssssijJJJJJ且條件相當于屈服空間中應力的時候。在主應力知最大主應力和最小主特別是在已應力空間中形式簡單，屈服條件的優點是在主且，對屈服條件的一般要求看出這個形式也能符合一，容易小

15、主應力之差的二分之相當于最大主應力與最由于它的形式是），屈服條件（件另外一個著名的屈服條工程力學中有屈服條件關于2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則角柱面圓柱面的一個內接正六這一屈服面正好是Mises p平面 屈服面2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則例： 一薄壁圓管，平均半徑為R，壁厚為t，受內壓p作用，討論下列三種情況： （1） 管的兩端是自由的； （2） 管的兩端是封閉的； 分別使用Mises和Tresca屈服條件，討論p多大時管子開始屈服（規定純剪時兩種屈服條件重合）解： 將Mises和Tresca中的材料

16、常數k1和k2都使用純剪時的屈服極限表示， 并使得兩種屈服條件重合，則有 Mises屈服條件: J2 = s2 Tresca屈服條件: 13=2s2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 （1） 管的兩端是自由的； 應力狀態為，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t對于Mises屈服條件: p = 3st/R對于Tresca屈服條件: 13 =k1=2s p = 2st/R61222zrzr6131222 s2 =kJ2008-90-

17、302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 （2）管段的兩端是封閉的； 應力狀態為，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t對于Mises屈服條件： p = 2st/R對于Tresca屈服條件： p = 2st/R61222zrzr23612008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則Taylor和Quinneyz實驗1931年在薄壁圓筒受拉力F 和扭轉M聯合作用下進行了實驗。在這種情況下，應力狀態是zzFMhRM RhFZ22,2ppZ2

18、008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則條件較優。看，從實驗點的分布情況它們分別是兩條橢圓線或條件則表現為而或屈服條件退化為此時MisesTrescaMisessZszZsZszZ 144 133 ,222s22z222s22z2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則o20.40.60.20.40.60.80.0 . 1鋁 銅 軟鋼 條件Mises條件TrescasZ/sz/2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則例11.2 一種材料在二維主應力空間中進行試驗，所得屈服時的應力狀態為(1，

19、2)=(3t，t)，假定此材料為各向同性，與靜水壓力無關且拉壓屈服應力相等。 （1）由上述條件推斷在12空間中的各屈服點應力。 （2）證明Mises屈服條件在12空間中的曲線通過（1）中所有點。解：由于靜水壓力無關的條件得出屈服在以下各點會發生：(1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t) (1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t)2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則再由于各向同性的條件，很容易看出11空間中的以下五個應力點也是屈服點A2： (1，2，3) = (t，3t，0)B1：

20、(1，2，3) = (3t，2t，0)B2： (1，2，3) = (2t，3t，0)C1： (1，2，3) = (2t，t，0)C2： (1，2，3) = (t，2t，0)2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則還有，由于拉壓屈服應力相等，因而可得到12空間中的另外六個應力屈服點A3：(1，2，3) = (3t，t，0)A4：(1，2，3) = (t，3t，0)B3：(1，2，3) = (3t，2t，0)B4：(1，2，3) = (2t，3t，0)C3：(1，2，3) = (2t，t，0)C4：(1，2，3) = (t，2t，0)因此，根據這些點的數據，可以

21、作出在12空間中的屈服面。容易證明Mises屈服條件 通過以上所有屈服點。222122217t2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則0 1 . 4 . 2ijK，可以設想將它記作史有關，體元的前期塑性變形歷后繼屈服條件的形式與怎樣的影響。屈服條件產生強化材料在后繼受載時下，先期塑性應變會對三維應力條件變的現象。現在討論在材料體元的屈服限的改成后繼受載時料的先期塑性應變會造曾將這種性質歸結為材拉壓試驗中具有一種性質，在簡單應變強化是塑性材料所強化特性的表示2.4 兩種強化模型2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 pij

22、ijpijijpijpijpijspijpijpijspijcScScccKdcKMelan23000 ,0 1938, 2 . 4 . 2ijijijij繼屈服面的平移量。屈服面到后即是應力空間中由初始則；屈服面時此式給出的即是初始容易看出，當。仍按取等效應力值理解因子，函數是待定的量綱調節）參數（即參數性變形情況的一個張量期塑應變值，是刻畫體元先是體元的先期累積塑性，）式（強化特征）為（它給出的后繼屈服條件定，元先期累積塑性應變決移動的大小和方向由體移動得出間中平行其初始屈服面在應力空材料的后繼屈服面可由三維隨動強化模型2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加

23、載法則hcdcdccSSSSScScScpspsspppppppppijijpijijpij3223,23023 0,21,0313223231233221123121133221111ij 的待定因子這說明應取三維模型中相當于隨動強化規律相比較，它與第一章給出的一維一維情況將是可知此強化模型退化到，在簡單拉壓情況下有2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則到量綱調節因子的作用為塑性模量，在這里起參數形歷史的應變值則是刻畫先期變作為先期累積等效塑性效值，而表示塑性應變增量的等其中，）（強化特性）是（屈服條件式定，此模型給出的后繼累積等效塑性應變值決料體元的先

24、期擴大，擴大的程度由材面在應力空間中的相似初始屈服材料的后繼屈服面是其三維等向強化模型認為三維等向強化模型hKdddddhKOdqvistppijpijppsijij,021340, 1933, 3 . 4 . 22008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則00,21,0002312332211psppppppppppsijpdhddddddddddd到一維情況將是可知此種強化模型退化此時在簡單拉壓變形情況下徑”的擴大程度。正好表示出屈服面“半，這個量在式中的地位必有而一旦發生塑性應變，始屈服面此式給出的即是體元初于過塑性應變的體元，由容易看出對于未曾經受200

25、8-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則 , psdhh強化規律相一致的，即的一維等向，這也是與第一章給出作鑒于量綱調節因子已取231初始屈服面2A0A1A）中（圖兩種屈服面的公共點。當時元當前應力點則始終是而體面也在相應地改變位置屈服應變的連續發展，兩種塑性情況，在此過程中隨著展的沿著一定的方向向前發狀態圖中表示的是體元應力 210,AAA2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則spZpZpZpZpijpijppsijspZdddddddhEE44. 13132 342134 0 A. 1 . 0,5 . 2 4 . 4 .

26、2按等向強化模型的計算）量（假定材料的彈塑性模后繼拉伸的屈服應力值計一下材料的兩種不同強化模型來估拉伸試驗，以下分別按若此后對圓管再作余應變測得管中各處有均勻殘后簡單扭轉，已知在卸載強化材料的薄圓管實施對線性計算舉例2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則spZpZpZspijijssijsspEhccBEdhEEEEEh25. 121 074. 0320 %1616. 1 016. 1 16. 044. 1111. 0 111. 0當前是料體元的后繼屈服條件采用隨動強化規律，材按隨動強化模型的計算出較初始拉伸屈服應力高后繼拉伸屈服應力應為再做簡單拉伸試驗時

27、，服條件應是材料在扭轉卸載后的屈當前有注意到材料的塑性模量2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則寫成故后繼屈服條件可具體又spZc0925. 0 2222220925.0621sZrzrrzzrsZrzrzs987. 00,0服應力值為伸屈帶入上式，解得后繼拉以2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則2.5 加載，Drucker公設與加載法則00002.5.1 ()0()0,()0(0)ijijijijijijijijijdffffdd加載，加載面在塑性力學中，加載、卸載用于指明體元應力狀態已到達當前屈服面時，應力的進一

28、步發展（以表示）所對應的兩種情況，若引起塑性應變，是為“加載”；若不引起塑性應變，是為“卸載”。對理想塑性材料（屈服面記作）若且即是為加載（出現塑性應變）2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則000000000()0,()0(0) 0()0,()0(0)()0,()0(0)ijijijijijijijijijijijijijijijijijijijfffdddddd若且即是為卸載（不出現塑性應變）對塑性強化材料（當前屈服面記作）若且即是為加載（出現塑性應變）若且即是為卸載（不出現塑性應變）2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和

29、加載法則系的最后準備。增量本構關推論完成了表述彈塑性即加載法則，正是這一重要推論，載時的塑性應變方向的此公設可以得出關于加公設，由提供的，稱為本的準則是由非常基載時的變形行為的一個關于材料體元在經受加形規律的探究上。加載時的變研究實際上將歸結到對體元彈塑性變形規律的，于是看到造成塑性應變是顯然的時的微小變動，它不致到達加載面至于體元應力狀態在未有時也稱“加載面”。屈服面法的緣故，體元的當前又應為有此種約定的說Drucker51)Drucker(19 2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則)(0 Drucker )( ,72Drucker Drucker 2

30、.5.20ijijijijijijijijijijijijijijdWdWd對任意的初始應力，即有必定是一個非負的功量如何，此附加應力功量在加載面內的位置力態公設認為，不論初始應積分沿過程路徑計算中的功能可表示為此附加應力在整個循環附加應力）。（參看圖后再返回到出發點載”并實施“加到達加載面上的指定點應力先向加載面發展，開始，力點環從加載面以內任意應部分所完成的功量：循力力循環時體元上附加應考察體元在經受如下應公設2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則在。了類似后一種情況的存正是從一般意義上否定公設為符合實際現象，可以認值面積，后一種情況不出一個負相應的路

31、徑積分必然算中的、將成為負，循環路徑體元的塑性應變增量為如果想像在拉伸加載中量，顯然有計算附加應力的功依圖中路徑拉伸加載的應力循環，包括性強化材料示出了一個中對理想塑性材料和塑、分明顯的。圖維應力情況來觀察是十這一論斷的合理性從一力力循環時體元上附加應考察體元在經受如下應公設Drucker,620 62Drucker Drucker 2.5.2DCBAdcdWABCDba2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則soBCADsoBCAD0pdsoBCAD0pdsoBCAD a b c d62圖2008-90-302008-90-30第二章 屈服條件、強化特性和加載法則，則