1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三第三 講講主講教師：郭念國(guó)主講教師：郭念國(guó)河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, 除了要考慮某事件除了要考慮某事件A的概率的概率P(A)外，有時(shí)還要考慮在外，有時(shí)還要考慮在“事件事件B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生”的條件下，事件的條件下，事件A發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。1.4.1 條件概率條件概率I. 條件概率的概念條件概率的概念 通常記事件通常記事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為 P(A|B)。一般情況下，一般情況下， P(A|B) P(A) 。1.4 條件概率條件概率例例1：100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件不

2、合格品，而件不合格品，而5件不合件不合格品中又有格品中又有3件是次品，件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從件是廢品?，F(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到的可能性都相同，求的可能性都相同，求(1).(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, , 產(chǎn)品是產(chǎn)品是 次品的概率。次品的概率。解：解：設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品， B=抽到的產(chǎn)品是不合格品。(1).(1). 按古典概型計(jì)算公式，有 ;1003)(AP可見(jiàn)，可見(jiàn)，P(A) P(A|B)。(2). 由于由于5件不合格

3、品中有件不合格品中有3件是次品，故可得件是次品，故可得 雖然雖然 P(A) 與與 P(A|B) 不同，但二者之間存不同，但二者之間存在什么關(guān)系呢在什么關(guān)系呢? 先來(lái)計(jì)算先來(lái)計(jì)算P(B)和和P(AB)。.53)|(BAP 因?yàn)橐驗(yàn)?00件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件是不合格品，所以件是不合格品，所以P(B)=5/100。P(AB)=3/100。而而P(AB)表示事件表示事件“抽到的產(chǎn)品是不合格品、抽到的產(chǎn)品是不合格品、又是次品又是次品”的概率，再由的概率，再由100件產(chǎn)品中只有件產(chǎn)品中只有3件件即是不合格品又是次品，得即是不合格品又是次品，得通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，得通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算，得.)()(100510035

4、3)|(BPABPBAP有有.)()()|(BPABPBAPP(A)=1/6，又如：又如：擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)，求求P(A|B)。 已知事件已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B。于是，于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有中共有3個(gè)元素，每個(gè)元素出現(xiàn)個(gè)元素，每個(gè)元素出現(xiàn)是等可能的，且其中只有是等可能的，且其中只有1個(gè)個(gè)(2點(diǎn)點(diǎn))在集合在集合A中。中?？梢缘玫剑嚎梢缘玫剑?)()(636131)|(BPABPBAP受此啟發(fā)，對(duì)條件概率進(jìn)行受此啟發(fā)，對(duì)條件概率進(jìn)行 如下定義。如下定義

5、。 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A也也發(fā)生發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既試驗(yàn)結(jié)果必須是既在在 B 中又在中又在A中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn) , 即即此點(diǎn)必屬于此點(diǎn)必屬于AB。 由于我們已由于我們已經(jīng)知道經(jīng)知道B已發(fā)生已發(fā)生, 故故B就就變成變成了新的樣本空間了新的樣本空間 , 于是于是 就有就有(1)。II. 條件概率定義條件概率定義為在事件為在事件B發(fā)生條件下，事件發(fā)生條件下，事件A的條件概率。的條件概率。定義定義1: 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且是兩個(gè)事件，且P(B)0，稱，稱) 1 ( )()()|(BPABPBAPIII. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)設(shè)設(shè)B是一事件，且是一事件，且P

6、(B)0, 則則1. 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A，0P(A|B)1;2. P(|P(|B)=1)=1；而且，前面對(duì)概率所證明的一切性質(zhì)，也都而且，前面對(duì)概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。適用于條件概率。3. 設(shè)設(shè)A1, A2,互斥，則互斥，則)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP例例2 2：有外觀相同的三極管有外觀相同的三極管6 6只，按電流放大系只，按電流放大系數(shù)分類數(shù)分類,4,4只屬甲類只屬甲類, , 兩只屬乙類。不放回地抽兩只屬乙類。不放回地抽取三極管兩次取三極管兩次, , 每次只抽一只。求在第一次抽每次只抽一只。求在第一次抽到是甲類三極管的條件下到是甲類三極管的條件下,

7、 , 第二次又抽到甲類第二次又抽到甲類三極管的概率。三極管的概率。解解:記記Ai= 第第 i 次抽到的是甲類三極管次抽到的是甲類三極管, i=1,2,A1A2=兩次抽到的都是甲類三極管兩次抽到的都是甲類三極管,由第由第2講中的例講中的例1.3.3，可知，可知. 5/230/12)(21AAP再由再由P(A1)=4/6=2/3，得，得.533/22/5)()()|(12112APAAPAAP由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0, 則則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),)()()|(BPABPBAP而而 P(AB) = P(BA)，1.4.2 乘法公式乘法公式在已

8、知在已知P(B), P(A|B)時(shí)時(shí), 可反解出可反解出P(AB)。將將 A、B的位置對(duì)調(diào)，有的位置對(duì)調(diào)，有故故 P(A)0，則，則P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)若若 P(A)0, 則則P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。當(dāng)當(dāng) P(A1A2An-1) 0 時(shí)，有時(shí)，有 P (A1A2An）= P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) .多個(gè)事件乘法公式的推廣多個(gè)事件乘法公式的推廣: 例例 3: 一批燈泡共一批燈泡共100100只，其

9、中只，其中1010只是次品，其只是次品，其余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求余為正品，作不放回抽取，每次取一只，求: : 第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。解：解：設(shè)設(shè) Ai =第第 i 次取到正品次取到正品, , i=1,2,3=1,2,3。 A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。則。則: :。故故，0083.0989099910010)|()|()()()( . 213121321321AAAPAAPAPAAAPAPAAAA例例4：袋中有同型號(hào)小球袋中有同型號(hào)小球b+ +r個(gè)，其中個(gè)，其中b個(gè)是黑個(gè)是黑球，球，r個(gè)是紅球。每次從袋中任取一球，觀其個(gè)是紅球。每次從袋中任

10、取一球，觀其顏色后放回顏色后放回, ,并再放入同顏色，同型號(hào)的小球并再放入同顏色，同型號(hào)的小球c 個(gè)。若個(gè)。若 B=第一、第三次取到紅球第一、第三次取到紅球, ,第二次第二次取到黑球取到黑球 ，求，求P(P(B) )。解解: 設(shè)設(shè)Ai i=第第 i 次取到紅球次取到紅球, , i =1,2,3, 1,2,3, 則則)()()()|()|()()()(213121321crcbcrcrbbrbrAAAPAAPAPAAAPBP故，321AAAB 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公

11、式的綜合運(yùn)用。式和乘法公式的綜合運(yùn)用。 綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式例例5: 有三個(gè)箱子有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)分別編號(hào)1, 2, 3。1號(hào)箱裝號(hào)箱裝有有1紅球紅球, 4白球白球; 2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅球紅球, 3白球白球; 3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱紅球。某人從三箱中任取一箱, 再再?gòu)南渲腥稳∫磺?，求取到紅球的概率。從箱中任取一球，求取到紅球的概率。解：解：記記 Ai=球取自球取自 i 號(hào)箱號(hào)箱, i =1,

12、2,3; B =取得紅球取得紅球。即即 B= A1BA2BA3B， 且且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。兩兩互斥。B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1, ,A2, ,A3 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生，于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式運(yùn)用加法公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。全概率公式。對(duì)和式中的各項(xiàng)對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得運(yùn)用乘法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP 設(shè)設(shè)A1, A2, An是

13、兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則之一同時(shí)發(fā)生，則 niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式 在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算在較復(fù)雜情況下，直接計(jì)算P(B)不容易不容易, 但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的但總可以適當(dāng)?shù)貥?gòu)造一組兩兩互斥的Ai , 使使B伴隨著某個(gè)伴隨著某個(gè)Ai 的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè)的出現(xiàn)而出現(xiàn)，且每個(gè) P( Ai B) 容易計(jì)算。可用所有容易計(jì)算。可用所有 P( Ai B) 之和計(jì)算之和計(jì)算 P(B)。 niiiABPAPBP1)()()

14、(由公式由公式“全部概率全部概率” P(B)，可分成多，可分成多個(gè)個(gè)“部分概率部分概率” P( Ai B) 之和。之和。它的理論和實(shí)用意義在于它的理論和實(shí)用意義在于:不難看出不難看出: 某一事件某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因Ai (i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，則所引起，則B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是 每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故發(fā)生，故B發(fā)生的發(fā)生的概率是各原因引起概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概發(fā)生概率的總和，即全概率公式。率公式。P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai)我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式。我們

15、還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是：由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的各種原因的“作用作用”大小有關(guān)。全概率公大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了因果之間的關(guān)系式表達(dá)了因果之間的關(guān)系 。諸諸Ai是原因是原因B是結(jié)果是結(jié)果實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：已知結(jié)果求原因。已知結(jié)果求原因。 這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因條件概率，是某結(jié)

16、果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。接上例，考慮如下問(wèn)題：接上例，考慮如下問(wèn)題：或者問(wèn)：或者問(wèn)：“該球取自各箱的可能性大小該球取自各箱的可能性大小” 。某人從任意一箱中任意摸出一球，某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率號(hào)箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP考慮上邊例子：考慮上邊例子：記記 Ai = 球取自球取自 i 號(hào)箱號(hào)箱， i =1, 2, 3; B = 取得紅球取得紅球。所求為所求為 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|()(運(yùn)用全概率公式運(yùn)用全概率公式 計(jì)算計(jì)算P(B)將上述公

17、式一般化，就得貝葉斯公式。將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjjiii 該公式于該公式于17631763年由貝葉斯年由貝葉斯 (BayesBayes) 給出。給出。 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。發(fā)生的每個(gè)原因的概率。貝葉斯公式貝葉斯公式 設(shè)設(shè)A1, A2, An是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則之一同時(shí)發(fā)生

18、，則 例例6: 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”。 A解：解：設(shè)設(shè) A = 抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥, B = 試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性。求求 P(A|B)。已知已知:。 04. 0)|( ,95. 0)|(, 995. 0)( ,0

19、05. 0)(ABPABPAPAP現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義：代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得 P(A | B)= 0.1066。 (2). 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? (1). 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌有無(wú)該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌有無(wú) 意義？意義？， )|()()|()()|()()|( ABPAPABPAPABPAPBAP 由由貝葉斯公式貝葉斯公式，得，得 如果不做試驗(yàn)，抽查一人如果不做試驗(yàn)，抽查一人, 他是癌癥患他是癌癥患者的概率者的概率 P(A)=0.005 。 患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.950.95，若試驗(yàn)

20、后，若試驗(yàn)后呈陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得到的信息：此人呈陽(yáng)性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得到的信息：此人是癌癥患者的概率為是癌癥患者的概率為 P(A|B)= 0.1066 。 說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌癥有意義。說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患癌癥有意義。 概率從概率從0.005增加到增加到0.1066, 約約增加了增加了2121倍。倍。(1). 該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)該試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú) 意義？意義？(2). 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? 試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，此人確患癌癥的概率為試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，此人確患癌癥的概率為 P(A|B)=0.1066。 即使你檢出陽(yáng)性

21、，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有有癌癥，這種可能性只有10.66% (平均來(lái)說(shuō)，平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有個(gè)人中大約只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)其他試驗(yàn)來(lái)確認(rèn)生常要通過(guò)其他試驗(yàn)來(lái)確認(rèn)。 njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(貝葉斯公式貝葉斯公式在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分別稱為分別稱為原因的原因的驗(yàn)前概率驗(yàn)前概率和和驗(yàn)后概率驗(yàn)后概率。P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在沒(méi)有進(jìn)一步的信息是在沒(méi)有進(jìn)一步的信息(不知道事件不知道事件B是否發(fā)生是否

22、發(fā)生) 的情況下，人們對(duì)的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。當(dāng)有了新的信息當(dāng)有了新的信息(知道知道B發(fā)生發(fā)生)，人們對(duì)諸事件，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的認(rèn)識(shí)。有了新的認(rèn)識(shí)。例例7 7：8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準(zhǔn)過(guò)支已校準(zhǔn)過(guò),3,3支未校準(zhǔn)。支未校準(zhǔn)。一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概率為一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為；用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3?，F(xiàn)從現(xiàn)從8 8支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。支槍中任取一支用于射擊，結(jié)果中靶。 求：所用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率。求：所用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率。解：解：設(shè)設(shè) A=射擊時(shí)中靶射擊時(shí)中靶 ，B1 1=槍校準(zhǔn)過(guò)槍校準(zhǔn)過(guò), , B2 2=槍未校準(zhǔn)槍未校準(zhǔn) ，則則 B1 1, ,B2 2 是是一個(gè)劃分，由貝葉斯公式，得一個(gè)劃分，由貝葉斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP4940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/