1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 大學數(shù)學(四) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 腳本編寫：孟益民 教案制作：孟益民本章學習要求： 理解事件頻率的概念，理解概率的古典定義. 理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運算. 掌握概率的基本性質(zhì)及概率加法定理. 理解條件概率的概念，掌握概率的乘法定理. 了解事件的獨立性概念. 掌握貝努利概型和二項概率的計算方法.第一章 隨機事件及其概率第四節(jié) 事件的獨立性一、事件的獨立性二、伯努利概型三、系統(tǒng)的可靠性一、事件的獨立性 | |ABP ABP B AP AP ABP AP B A在上一節(jié)我們知道了條件概率這個概念，在已知事件 發(fā)生的條件下， 發(fā)生的可能性為條件概率（）（

2、）（ ）由此得到了一般地概率乘法公式：（） （ ）（） 問題問題什么樣地情況呢？地影響，那么會出現(xiàn)了是否發(fā)生發(fā)生與否不受事件如果事件AB 得正品”，那么為事件“第二次取品”，為事件“第一次取得正中，設回這批產(chǎn)品如果第一次抽取后仍放產(chǎn)品，每次任取一件。次抽取品率的產(chǎn)品中，接連兩例如，在一批有一定次BA ）（）（）（乘法公式成為BPAPABP ）（）（ABPBP| .由此引入下述定義. 2| ,| ,. 0 0 1不受任何事件的影響）的發(fā)生與否、與任一事件相互獨立（、）（）（）（）（則相互獨立，事件）（，）（當APBAPBPABPBABPAP相互獨立。與則稱事件），（）（）（滿足、若事件BABPA

3、PABPBA 例1求敵機被擊中的概率。乙擊中敵機地概率為為機的概率機炮擊，已知甲擊中敵甲、乙各自同時向一敵. 5 . 0, 6 . 0 . 8 . 03 . 05 . 06 . 0 3 . 05 . 06 . 0 ）（于是）（）（）（的，因此有個隨機事件是相互獨立敵機”這兩擊中敵機”與“乙擊中根據(jù)題意可以認為“甲CPBPAPABP. 為事件“敵機被擊中”；為事件“乙擊中敵機”；為事件“甲擊中敵機”設CBA由加法公式知解解）（）（）（）（）（ABPBPAPBAPCP 相互獨立。，則稱事件）（）（）（）（），（）（）（），（）（）（），（）（）（有、如果兩獨立），兩兩相互獨立（也稱兩，則稱事件）（

4、）（）（），（）（）（），（）（）（為三個事件，如果，設CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBACBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA. . 推推 廣廣個相互獨立的事件。是，成立，則稱（都有式和任意的一組（的個事件。如果對于任意是，設nAAAAPAPAPAAAPniiinKKnAAAniiiiiiknkk21)2121)()()( 1)1 12121相互獨立。，兩兩獨立，不能得到兩兩獨立；，相互獨立，則nnnnAAAAAAAAAAAA21212121, 223010nn21(1 1)121nnninnnnnninCCCCCCnn 代表個等式不相

5、互獨立）。者都相互獨立，或者都件或相互獨立（即這四對事立的，則另外三對也是中有一對是互相獨、；、；、若四對事件BABABA 也相互獨立。、即證得）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（故）（）（）（相互獨立，所以有、因為其余請讀者自行證明。也相互獨立”、相互獨立時、這里僅證明“當BABPAPBPAPBPAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAPBPAPABPBABABA11 1 1 1 ., 證證推廣推廣獨立。個事件仍然相互對立事件，則所得事件相應地換成它們的個（相互獨立。若其中任意nnmmAAAAn)1, , 321事件獨立性的判斷 實際應用中，往往根據(jù)經(jīng)驗來判斷兩個事件

6、的獨立性：例如 返回抽樣、甲乙兩人分別工作、重復試驗等.例2一臺發(fā)生故障的概率。，求它們中至少有和正常工作的概率分別為床著，第一臺、第二臺機設兩臺機床獨立地運轉(zhuǎn)93. 0720 .正常工作。臺機床分別表示第一臺、第二，則障的事件為，第二臺發(fā)生故的事件為設第一臺機床發(fā)生故障2121 AAAA.07. 093. 01)(1)2(,28. 072. 01)(1)(211APAPAPAP相互獨立。，故由于兩臺機床獨立運轉(zhuǎn)故障”，則表示“至少有一臺發(fā)生用2121 AAAACC解解解法1.3304. 007. 028. 007. 028. 021212121）（）（）（）（）（）（）（）（由加法公式APA

7、PAPAPAAPAPAPCP解法23304. 093. 072. 01111, 212121212121）（）（）（）（）（獨立，于是也相互，相互獨立，故APAPAAPCPCPAAAAAAAAC 結(jié)結(jié) 論論(1) 若A、B、C 相互獨立，則AB 與 C 獨立,AB 與 C 獨立,AB 與 C 獨立. (3) n個事件相互獨立，則其中任意m個事件的對立事件與剩余事件的組合仍是相互獨立的則另外三對相互獨立。其中任一對相互獨立，與與與與,)2(BABABABA 結(jié)結(jié) 論論 在實際應用中, 對于事件的獨立性常常是根據(jù)事件的實際意義去判斷. 一般, 若由實際情況分析, A,B兩事件之間沒有關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)很微

8、弱, 那就認為它們是相互獨立的. 例如, A,B分別表示甲乙兩人患感冒. 如果甲乙兩人的活動范圍相距甚遠, 就認為A,B相互獨立, 若甲乙兩人是同住在一個房間里的, 那就不能認為A,B相互獨立了. 兩事件相互獨立的含義是它們中一個已發(fā)生, 不影響另一個發(fā)生的概率. 除非兩個事件之一的概率為0,否則兩個相互獨立的事件A與B通常是相容的, 這是因為P(AB)=P(A)P(B)不為零. 計算相互獨立事件的交的概率通常是好算的, 只須將它們各自的概率相乘即可. 但經(jīng)常也要計算到相互獨立事件的并的概率, 這時候或者可以用加法定理, 即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(

9、A)P(B) 結(jié)結(jié) 論論 如果是要求多個相互獨立的事件的并的概率, 也可利用狄.摩根定理將事件的并轉(zhuǎn)換為事件的交, 也就是考慮事件的逆的概率.)B)P(AP()BAP(B)P(A11)AP()A)P(AP()AAAP()AAP(Annn21212111,ABABABAB對偶律（對偶律（De MorganDe Morgan律）律）： 經(jīng)常有的難題喜歡求某些獨立事件的交了再并的概率, 這時候不得不套用廣義加法定理, 尤其常用的是三個事件的并的加法法則,例如, 常見的求AB+CD+EF 的概率, 則P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-P(ABEF)-P(CDE

10、F)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F 相互之間獨立, 則上式中的各個交事件的概率再變成各概率之積.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 一種常見的題型, 就是假設事件A,B,C 相互獨立, 但是問其中至少兩件發(fā)生的概率, 或者至少兩件不發(fā)生的概率.而A,B,C 至少兩件發(fā)生的事件為P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC)-P(ABC) - P(ABC)+P(ABC) AB+AC+BC =P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC) = P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(

11、C)-2P(A)P(B)P(C)而A,B,C 至少兩事件不發(fā)生的事件為.2 2 )C)P(B)P(AP()C)P(BP()C)P(AP()B)P(AP()CBAP()CBP()CAP()BAP()CBCABAP(因此CBCABA二、伯努利概型等價方式 將試驗重復進行n 次,如果每次試驗的結(jié)果都互不影響,即各次試驗結(jié)果相互獨立,則稱這n次重復試驗是n次重復獨立試驗.如果在n次重復獨立試驗中,每次試驗的結(jié)果只有兩個: , 1 (01),.AAP Ap P APPnn 和 ，且則稱這 次重復獨立的試驗為 重伯努利試驗，簡稱伯努利概型 問題問題 ).0(nkkPkAnPAn次的概率恰好出現(xiàn)次重復獨立試

12、驗中事件要計算，出現(xiàn)的概率為設每個試驗中事件（對于伯努利概型）， : ),210()1 (. 1 1 因此有下面定理理種出現(xiàn)方式，按加法定組合計算法可知應有次出現(xiàn)，按次，不考慮在哪試驗中出現(xiàn)在于只考慮由應該次試驗中不出現(xiàn)的概率現(xiàn)而其余次試驗中出在指定的這次試驗的獨立性，首先，由n、kPPCkPCkknApPnkAnknkknnknknk 在n重伯努利試驗中,如果事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為P(0p1),則事件A在n次重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為項概率公式。項，所以上述公式稱二按二項公式展開式的各恰好是由于nknkknppnkppC1), 2 , 1 , 0()1 ( pqnkqpCkPk

13、nkknn1 )., 2 , 1 , 0(其中n 重伯努里試驗成功的次數(shù) 在n 重伯努里試驗中，記事件A出現(xiàn)的次數(shù)為X. X 的可能取值為： 0，1，n. X 取值為 k 的概率為：knkknppCkXP)1 ()(例3 一批產(chǎn)品中有20%的次品.進行重復抽樣檢查,共有五件樣品.計算這五件樣品中恰好有三件次品、至多有三件次品的概率.解解按概率公式，得三件次品。現(xiàn)在，兩件一件有零件依次為五件樣品中恰好設2 . 05 3210、pn、A、A、AA 9933. 00512. 02048. 04096. 03277. 08 . 02 . 0323458 . 02 . 02458 . 02 . 058

14、. 032102334555553210PPPPAAAAP ;0512. 0)8 . 0()2 . 0(3233553CPAP一條自動生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級品率為0.6, 現(xiàn)檢查了10件, 求至少有兩件一級品的概率. 設B為事件至少有兩件一級品. 此為n=10 重伯努利試驗, 事件A (抽到一級品) 的概率 p=0.6998040601040110119101010.)(p)(p)BP(P(B)例4解解 一個元件正常工作的概率稱為該元件的可靠性. 由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性. 系統(tǒng)的可靠性由系統(tǒng)的元件的可靠性及其聯(lián)接方式?jīng)Q定. 1ana2a 以下假設各元件正常工作與否是相互獨立

15、的，記Ai“表示元件ai正常工作”設 用Bi表示“元件bi正常工作”，設P（Bi）= si .nirAPii, 2 , 1,)( 串聯(lián)系統(tǒng)由n個元件串聯(lián)而成，故只要一個元件失效，系統(tǒng)就不正常工作，所以該系統(tǒng)可靠性為1串聯(lián)系統(tǒng)nnrrrAAAPP21211)(特別地，當時 ， .rrrrn21nrP 1 2并聯(lián)系統(tǒng) 并聯(lián)系統(tǒng)由n 個元件并聯(lián)而成, 只要有一個元件正常工作，系統(tǒng)就不會失效，于是串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性為).1 ()1)(1 (1)(1)(1)(22121212nnnnrrrAAAPAAAPAAAPP特別地，當 時， .rrrrn21nrP)1 (121a2a3a3串并聯(lián)系統(tǒng) 設有2n個元件

16、組成一個系統(tǒng)，它是由2條串聯(lián)子系統(tǒng)并聯(lián)而成. 它正常工作時，要求兩條串聯(lián)支路至少有一條正常工作，用A、B分別表示兩條支路工作正常，則P（A）=P（A1A2An）= ,P（B）=P（B1B2Bn）= . nrrr 21nsss21).1)(1 (1)(1)(1 (1)()(1)(1)(1)(21213nnsssrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPP因此系統(tǒng)的可靠性為1ana2a1bnb2b特別地，當r1= r2 = = rn = s1= = sn = r 時，)2()1 (123nnnrrrP顯然 ，可見并聯(lián)可使可靠性提高，但元件數(shù)量增大. 13PP 4并串聯(lián)系統(tǒng) 設有2n個元件組成一個系統(tǒng)

17、. 記Ci表示“元件ai和bi至少有一個工作正常”，即Ci = Ai Bi , 則).1)(1 (1)()(iiiiisrBAPCP2a2b1a1bnanb所以，系統(tǒng)的可靠性為.)1)(1 (1 )()()()(12114niiinniisrCPCPCPCPP特別地，當 時（1in）， .rsriinnrrP)2(4 一個元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性. 如圖, 設有4個獨立工作的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接. 設第i個元件的可靠性為pi(i=1,2,3,4), 求系統(tǒng)的可靠性.1234例5 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i個元件正常工作, 以A

18、表示系統(tǒng)正常工作.P(A)=P(A1A2)+P(A3A4) - P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4) - p(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =p1 p2+p3 p4 -p1 p2 p3 p4由系統(tǒng)的獨立性, 得系統(tǒng)的可靠性:A=A1A2 A3A4伯努利家族伯努利家族 伯努利家族，這個非凡的瑞士家族產(chǎn)生過十一個數(shù)學家的家族。伯努利家族在數(shù)學與科學上的地位正如巴赫家族在音樂領(lǐng)域的地位一樣地顯赫。（其中三位是杰出的，他們是雅可布、約翰、丹尼爾），他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代。雅科布雅科布伯努利伯努利（Jakob Bernoulli,1654170

19、5)。巴塞爾大學教授。變分法的創(chuàng)始人之一。曾和萊布尼茨共同獲得過微積分學的不少結(jié)果，對常微分方程的積分法有貢獻，也是概率論的早期研究者，提出了關(guān)于大數(shù)法則的伯努利定理及伯努利數(shù)。 約翰約翰伯努利伯努利（Johann Bernoulli，16671748）。雅科布的弟弟。巴塞爾大學的醫(yī)學博士。歷任荷蘭格羅寧根大學和巴塞爾大學教授。也是變分法的創(chuàng)始人之一。在微積、微分方程、幾何和力學方面有貢獻。丹尼爾丹尼爾伯努利伯努利(Daniel Bernoulli,17001782)。約翰的次子。巴塞爾大學醫(yī)學博士。曾去俄國彼得堡科學院任教，回國后任巴塞爾大學教授。在流體力學、氣體動力學、微分方程和概率論等方

20、面都有貢獻。1738年出版流體動力學一書，提出的著名的伯努利定理。他解決的微分方程現(xiàn)稱為伯努利方程。 雅可布的弟弟約翰伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）原來也錯選了職業(yè)，他起先學醫(yī)，并在年獲得巴塞爾大學博士學位，論文是關(guān)于肌肉收縮問題的。但他也愛上了微積分，很快就掌握了它，并用它來解決幾何學、微分方程和力學上的許多問題。年他任荷蘭戈羅寧根大學數(shù)學物理教授，而在他的哥哥雅可布死后繼任巴塞爾大學教授。我們都知道極限論中有一個“羅比塔法則”，羅比塔（Guillaume Francois Antonie de lHospital 1661-1704)是約翰的一個學生，在年約

21、翰把自己發(fā)現(xiàn)的“羅比塔法則”寫信告訴了羅比塔，羅比塔將這一法則寫進了自己的著作無窮小分析中了。 雅可布和約翰兩兄弟有時致力于研究同一個問題，但是由于彼此嫉妒和易于激動，這一情況是很遺憾的。有時兩人之間的摩擦爆發(fā)成為公開的嫉恨詬罵。年約翰向全歐洲數(shù)學家挑戰(zhàn)，提出一個很艱難的問題：“設在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？” 這就是著名的“最速降線”問題。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔、伯努利兄弟、萊布尼茨和牛頓都得到了解

22、答。約翰的解法比較漂亮，而雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更為一般化。后來歐拉和拉格朗日發(fā)明了這一類問題的普遍解法，引出了一個數(shù)學的新分支變分學。 由于解決“最速降線”問題，兄弟兩個因為解法的優(yōu)劣而爭論不休，兩人之間的口角紛爭達數(shù)年之久，其所用言辭之粗野很像市井上的對罵而非科學討論。這兩人之中約翰的脾氣似乎更壞，因為多年之后，由于他的二兒子獲得了他自己渴望獲得的法蘭西科學院獎金，約翰竟把他摔出窗外。他的二兒子叫做丹尼爾。伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）起初也像他父親一樣學醫(yī)，寫了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學學位，并且也像他父親一樣馬上放棄了醫(yī)學而改攻他天生的專長。

23、他在概率論、偏微分方程、物理和流體動力學上都有貢獻。而最重要的功績是在流體動力學上，其中的“伯努利定理”就是他的貢獻。他曾經(jīng)榮獲法國科學院獎金次之多，其中就包括那項惹他父親惱怒的獎。 伯努利家族在整個歐洲漸漸出了名，連遠在東方俄羅斯的沙皇也有所耳聞。當時文治武功的沙皇喀得林一世正在試圖振興俄羅斯，急需各種優(yōu)秀人才來俄羅斯工作。年，約翰的兩個兒子尼古拉。伯努利（Nicolaus Bernoulli 1695-1726）和丹尼爾同被沙皇邀請赴彼得堡去。約翰的一個得意門生歐拉也被丹尼爾推薦去了彼得堡。尼古拉在那里提出了一個概率論的問題，后來以“彼得堡問題”聞名于世。可惜的是他在次年就以韶華年光死在那

24、里。歲的丹尼爾在那里解決了黎卡提方程的解。并發(fā)表了一系列的科學論著。年回到巴塞爾，先后擔任巴塞爾大學的植物學、解剖學與物理學教授。以歲高齡離開人世，許多人認為他是第一位真正的數(shù)學物理學家。 1、甲,乙,丙三人進行定點投籃比賽, 已知甲的命中率為0.9, 乙的命中率為0.8, 丙的命中率為0.7, 現(xiàn)每人各投一次, 求:(1)三人中至少有兩人投進的概率;(2)三人中至多有兩人投進的概率.解: 設A=甲投進, B=乙投進, C=丙投進則三人中至少兩人投中的事件為AB+AC+BC三人中至多有兩人投進的事件為ABC課堂練習因此0.4960.50410.70.80.91C)P(A)P(B)P(1P(ABC)1)ABCP(2)0.9021.0081.911.0080.560.630.720.70.80.920.70.80.70.90.80.9(C)2P(A)P(B)PP(B)P(C)P(A)P(C)P(A)P(B)2