1、機械振動機械振動第六章第六章 機械振動機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。物體在一定位置附近作來回往復的運動。廣義振動廣義振動：任一物理量任一物理量( (如電量、如電量、電流等電流等) )在某一數值附近反復變化。在某一數值附近反復變化。一、一、簡諧振動的描述簡諧振動的描述6-1 簡諧振動簡諧振動 物體運動時，離開物體運動時，離開平衡位置平衡位置的位移的位移(或角位移或角位移)隨隨時間按時間按余弦余弦或或正弦正弦函數變化函數變化.F xxF 以彈簧振子為例以彈簧振子為例O )cos( tAx1. 運動方程運動方程振幅振幅A 物體離開平衡位置的物體離開平衡位置的最大距離最大距離, ,決定

2、于初始條件決定于初始條件. .周期周期T 物體完成一次全振動物體完成一次全振動所需時間所需時間. . )(cos)cos(TtAtA2T F xxF 以彈簧振子為例以彈簧振子為例O )cos( tAx頻率頻率 :單位時間內振動的次數單位時間內振動的次數. 21 T角頻率角頻率 22 T相位相位 t : 決定某時刻的質決定某時刻的質點的運動狀態點的運動狀態初相位初相位 2.振動速度及加速度振動速度及加速度)cos( tAx),cos( tAdtxda222dtdxv ),sin( tA Av max2Aa maxxa2 簡諧振動的加速度簡諧振動的加速度和位移反向正比和位移反向正比.3.振動初相及

3、振幅由初始條件決定振動初相及振幅由初始條件決定初始條件：當初始條件：當t = 0時時, x = x0 ，v = v0)sin( tAv),cos( tAx代入代入得得0cos ,xA 0sinvA 2200()vAx 00arctan()vx 例如：例如：v0 = 0, x0 = A = 0 xO A A k 例例1. 一質點沿一質點沿x 軸作簡諧振動，軸作簡諧振動，A= 0.12 m, T= 2 s, 當當t = 0 時時, x0 = 0.06 m, 此時刻質點向此時刻質點向x 正向運動。求此簡正向運動。求此簡諧振動的表達式。諧振動的表達式。解：解：取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點,

4、 ,設簡諧振動表達式為設簡諧振動表達式為)cos( tAxT= 2 s0cos ,xA 0sin0,vA cos1 2 3 sin0, 3 簡諧振動的表達式為簡諧振動的表達式為0.12cos()3xt 2,T 初初始始條條件件v0 0 x0 = 0.06A= 0.12 m二、簡諧振動的旋轉矢量表示法二、簡諧振動的旋轉矢量表示法1.簡諧振動與勻速圓周運動簡諧振動與勻速圓周運動勻速圓周運動在勻速圓周運動在x軸上軸上的投影為簡諧振動：的投影為簡諧振動：)cos( tAx2.簡諧振動的旋轉矢量表示法簡諧振動的旋轉矢量表示法A xO )cos( tAxA旋轉矢量旋轉矢量簡諧振動簡諧振動矢量大小矢量大小振

5、幅振幅矢量旋轉角速矢量旋轉角速度（恒定）度（恒定）角頻率角頻率t=0時矢量時矢量與與x軸夾角軸夾角初相初相 注意：注意：旋轉矢量旋轉矢量本身繞起始端勻本身繞起始端勻角速度逆時針旋角速度逆時針旋轉，其末端在轉，其末端在x軸軸上的上的投影點投影點才做才做簡諧振動簡諧振動。3.兩同頻率簡諧振動的相位差兩同頻率簡諧振動的相位差)cos(111 tAx)cos(222 tAx兩個諧振動兩個諧振動相位差相位差12 )()(12 tt對兩對兩同頻率同頻率的諧振動的諧振動 = 2 1初相差初相差若若 = 2 1 0, 稱稱x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。 0,取取為為簡簡單單起起見見當當

6、= 0,兩振動步調相同兩振動步調相同, ,稱稱同相同相當當 = ,兩振動步調相反兩振動步調相反, ,稱稱反相反相O xA1A2 O xA1A2 O xA1A2 用旋轉矢量表示振動相位關系用旋轉矢量表示振動相位關系xy1A2Ax2比比x1超前超前 /2同相同相反相反相x, v, a avx T O tx, v, a O AA A2 )cos( tAa2)sin( tAv)cos( tAx).cos(2tA ).cos( tA2例：由旋轉矢量確定簡諧振動中位移與例：由旋轉矢量確定簡諧振動中位移與速度、位移與加速度的相位差。速度、位移與加速度的相位差。例例2. 以余弦函數表示的簡諧振動的位移時間曲線

7、如以余弦函數表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，確定其振動方程圖所示，確定其振動方程.x (cm)O t (s)12 1 210v x0O t = 0 xA A t = 1sA解解: : 設振動方程為設振動方程為cos()xAt 由旋轉矢量確定振由旋轉矢量確定振動初相位：當動初相位：當 t = 0, 23 23 0v 旋轉矢量以旋轉矢量以 從從 t = 0 到到t = 1 轉過角度為轉過角度為 43t 43 42( )0.02cos()33x tt 三、簡諧振動的動力學方程三、簡諧振動的動力學方程A AO xmk F222cos(),d xaAtdt xa2 xmmaF2)( )cos( t

8、Ax由振動方程由振動方程令令 k,m2 kxF ( (回復力回復力) )kxF 反之，如質點所受的力反之，如質點所受的力則質點一定作簡諧振動則質點一定作簡諧振動.2220d xxdt 或位移滿足或位移滿足簡諧振動簡諧振動微分方程微分方程簡諧振動的定義簡諧振動的定義)cos( tAxkxF 運動學定義運動學定義動力學定義動力學定義2220d xxdt 或或歸納與總結歸納與總結簡諧振動的質點所受的合外力與它相簡諧振動的質點所受的合外力與它相對于平衡位置位移成正比而反向。對于平衡位置位移成正比而反向。mk 固有角頻率固有角頻率四、簡諧振動實例四、簡諧振動實例1. 彈簧振子彈簧振子kxF 選選平衡位置

9、平衡位置為原點為原點位移為位移為x處，物體所受的的處，物體所受的的合外力合外力滿足簡諧振動的動力學定義滿足簡諧振動的動力學定義,物體一定作簡諧振動物體一定作簡諧振動.由由牛頓第二定律牛頓第二定律,kxma xmka x2 角頻率角頻率完全由振動系統本生的性質決定。完全由振動系統本生的性質決定。固有周期固有周期 22 T固有頻率固有頻率)cos( tAx振動方程振動方程A AO xmk F sinmgmg2. 單擺單擺2,2glTlg 當當 5 時，時，,sin 擺球角位移為擺球角位移為 時時受的合外力受的合外力 mgF 合合平衡位置平衡位置 ： = 0. ,tmamg .22tdtdla 22

10、d0dgtl 諧振動微分方程諧振動微分方程結論結論：單擺的單擺的小角度擺動小角度擺動是簡諧振動。是簡諧振動。2,gl sinmgF 合合2lTg ?3. 復擺復擺繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體。繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體。2220,ddt ,22dtdJmgh 2mghJ 令令Jmgh ,sin 小幅擺動時小幅擺動時角位移角位移 ，回復力矩回復力矩 M = mghsin M = mgh 由剛體的由剛體的轉動定律轉動定律 Jmghdtd22 或或諧振動微諧振動微分方程分方程結論結論：復擺的復擺的小角度小角度擺動擺動是簡諧振動。是簡諧振動。gmChO 拓展與思考拓展與思考由能量守恒建立簡諧

11、振動微分方程由能量守恒建立簡諧振動微分方程xO k x 222121kxmvE 0 dtdE11(2)(2)022dvdxmvkxdtdt220d xmkxdt2220d xxdt km sinmgmg21(1cos )2Emvmgl 很小很小( 5 )，21cos2 221122Emvmgl 11(2)(2)022dEdvdmvmgldtdtdt dtdlv 22dvdldtdt 2220,ddt gl 線性諧振動線性諧振動角諧振動角諧振動mk 1,.2T J 簡諧振動的判斷及振動方程的確定簡諧振動的判斷及振動方程的確定kx,F , Mx,a2 , 2 歸納與總結歸納與總結0+ m m懸線懸

12、線平衡位置平衡位置固定端固定端例如：對圖示的扭擺，例如：對圖示的扭擺，圓盤的轉動慣量為圓盤的轉動慣量為J, MJ 為扭轉常數，取為扭轉常數，取決于決于懸線的長度、懸線的長度、直徑及材料。直徑及材料。mcos().t 例例3.如圖如圖m=2 10-2kg, 彈簧的靜止形變為彈簧的靜止形變為 l =9.8cm t =0時時, x0 9.8cm, v0=0(1)取開始振動時為計時零點，取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；寫出振動方程；(2)若取若取x0=0，v00為計時零點，為計時零點， 寫出振動方程寫出振動方程,并計算振動頻率。并計算振動頻率。解：解： (1)確定平衡位置確定平衡位置 mg=k

13、 l 取為原點取為原點 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則則 f = mg k( l +x)= kx系統作諧振動，設振動方程為系統作諧振動，設振動方程為0cos(),xAt 10rad / skgml 9.8cmmO x mx由初始條件得由初始條件得000arctan()0,vx 2200()0.098mvAx 由由x0=Acos 0= 0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0= A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m對同一諧振動取不同的計時起點對同

14、一諧振動取不同的計時起點 不同，但不同，但 、A不變不變1221.6Hzgl 固有頻率固有頻率9.8cmmO x mx x0 9.8cm, v0=010rad / s 例例4. 如圖所示，振動系統由一倔強系數為如圖所示，振動系統由一倔強系數為k的的 輕彈簧、輕彈簧、一半徑為一半徑為R、轉動慣量為、轉動慣量為J的的 定滑輪和一質量為定滑輪和一質量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.解：解：將將m的平衡位置取為的平衡位置取為坐標原點，設平衡位置對坐標原點，設平衡

15、位置對應的彈簧伸長量為應的彈簧伸長量為 l0 , 則則00mgkl mxO R, Jk當當m有位移有位移x時時1mgFma 10()aF Rklx RJR 聯立得聯立得2JkxmaR 2220d xkxdtmJ R 22RJmk 222mJ RTk mxO R, Jk1F1Fmga2F m2220d xxdt 物體作簡物體作簡諧振動諧振動00mgk l 諧振動系統的能量諧振動系統的能量=系統的動能系統的動能Ek+系統的勢能系統的勢能Ep某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度為v，位移為，位移為x)sin( tAv)cos( tAx212kEmv )(sin2122 tkA212pEkx )

16、(cos2122 tkA諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數五、簡諧振動的能量五、簡諧振動的能量系統的機械能守恒系統的機械能守恒212kpEEEkA 221cos ()sin ()2tt 222011coscos22d xtotTo EEk(t)212kA kpEEE 214kpEEkAEp(t)振動能量曲線振動能量曲線例例5.一彈簧振子沿一彈簧振子沿x軸作簡諧振動，彈簧倔強軸作簡諧振動，彈簧倔強系數為系數為k，物體質量為，物體質量為m，簡諧振動振幅為，簡諧振動振幅為A。求彈簧振子的動能為勢能的求彈簧振子的動能為勢能的3倍時的位置倍時的位置x。pkEE3 解

17、：解：2221414121kAEkxEp 2221321kxmv )(cos213)(sin2122222 tkAtAm.)( t)cos( tAx另解：另解：2Ax 一、同方向、同頻率諧振動的合成一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA )cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx質點同時參與同方向同頻率質點同時參與同方向同頻率的諧振動的諧振動 :合振動合振動 :6-2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成x1x2

18、 1 2 xA1AA2如如 A1=A2 , , 則則 A=0，兩個同幅反相的振動合，兩個同幅反相的振動合成的結果將使質點處于靜止狀態。成的結果將使質點處于靜止狀態。, 2 , 1 , 0212 kk 合振動的振幅取得最大，兩分振合振動的振幅取得最大，兩分振動相互動相互加強。加強。21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 合振幅最小合振幅最小，兩分振動相互減弱。兩分振動相互減弱。21AAA 兩個重要特例兩個重要特例若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相: :221212212cos()AAAAA 合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動式中式中tAtA)2cos(2

19、)(12 tt)2cos(cos12 隨隨t 緩變緩變隨隨t 快變快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二二. 兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成 拍拍分振動分振動11cos()xAt22cos()xAt 合振動合振動21212cos()cos()22xAtt 21xxx 當當 2 1時時, ,( )cosxA tt 1212 拍拍 合振動忽強忽弱的現象合振動忽強忽弱的現象拍頻拍頻: : 單位時間內加強或減弱的次數單位時間內加強或減弱的次數 =| 2 1| 12 拍拍212T 或或 ：xt tx2t tx1t tBeat phenomen

20、on 拍的現象常被用于校正樂器。例如我們可以利用拍的現象常被用于校正樂器。例如我們可以利用標準音叉來校準鋼琴的頻率：因為音調有微小差標準音叉來校準鋼琴的頻率：因為音調有微小差別就會出現拍音，調整到拍音消失，鋼琴的一個別就會出現拍音，調整到拍音消失，鋼琴的一個鍵就被校準了。鍵就被校準了。 微波測速雷達：微波測速雷達：被測物體移動時，由于直達波和被測物體移動時，由于直達波和反射波混合的結果在接收檢波器上混頻出差拍信反射波混合的結果在接收檢波器上混頻出差拍信號，該差拍信號的頻率和移動物體速度成線性關號，該差拍信號的頻率和移動物體速度成線性關系。系。 拍的應用拍的應用三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的

21、合成三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動合振動)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振動分振動)cos(11 tAx)cos(22 tAyjtyitxtr)()()( 合合振動質點的軌跡方程振動質點的軌跡方程為橢圓方程為橢圓方程. . 兩相互垂兩相互垂直同頻率直同頻率不同相位不同相位差簡諧振差簡諧振動的合成動的合成22221212212122cos()sin ()xyxyAAA A 四、四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形對于兩個頻率不相同的諧振動，其相位差對于兩個頻率不相同的諧

22、振動，其相位差2121()()t不斷地隨時間變化，因而合振動不一定有穩定不斷地隨時間變化，因而合振動不一定有穩定的軌跡。只有在兩振動的的軌跡。只有在兩振動的頻率成簡單的整數比頻率成簡單的整數比時，才有穩定的軌跡。時，才有穩定的軌跡。李李薩薩如如圖圖形形 2 解：解：(1)式中式中t以秒計，以秒計，x以厘米計。以厘米計。(1)求求x1和和x2合振動的振幅和合振動的振幅和初相位。初相位。(2)如果如果x1和和x3合成振幅最大，則合成振幅最大，則 3取何值？取何值？如果如果x2和和x3合成振幅最小，則合成振幅最小，則 3取何值？取何值？),438cos(31 tx),48cos(42 tx)8cos

23、(333 tx例例6.三個同方向的簡諧振動分別為三個同方向的簡諧振動分別為221212212cos()5cmAAAAA 7coscossinsintan22112211 AAAA 9 .81 式中式中t以秒計，以秒計，x以厘米計。以厘米計。(1)求求x1和和x2合振動的振幅和合振動的振幅和初相位。初相位。(2)如果如果x1和和x3合成振幅最大，則合成振幅最大，則 3取何值？取何值？如果如果x2和和x3合成振幅最小，則合成振幅最小，則 3取何值？取何值？),438cos(31 tx),48cos(42 tx)8cos(333 tx例例6.三個同方向的簡諧振動分別為三個同方向的簡諧振動分別為解：解

24、：(2)x1和和x3合成振幅最大合成振幅最大, x1和和x3同相同相4313 x2和和x3合成振幅最小合成振幅最小, x1和和x3反相反相4523 4323 或或一、一、 阻尼振動阻尼振動阻阻尼尼振振動動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統的動能轉化為熱能。作用，系統的動能轉化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。6-3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動和共振受迫振動

25、和共振固定端固定端 m葉片葉片 阻尼系數阻尼系數 kx物體以不大的速率在粘性介質中運動時物體以不大的速率在粘性介質中運動時, ,介質對物介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比體的阻力僅與速度的一次方成正比RFv 阻尼系數阻尼系數由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得0()vk xlmgma l0 = mg/k 022022 xdtdxdtxd 0km 系統固有角頻率系統固有角頻率m2 阻尼因子阻尼因子弱阻尼弱阻尼0 )cos( tAext220 阻尼振動的振幅按指數衰減阻尼振動的振幅按指數衰減過阻尼過阻尼t)(tx過阻尼過阻尼系統不作往復運動，而是非常緩系統不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位

26、置慢地回到平衡位置0 tOxAA(0) ecostAt etA 臨界阻尼臨界阻尼系統不作往復運動，而是較快地系統不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡位置并停下來0 A C B tx(t) tx(t)b c a tx0阻尼振動的應用阻尼振動的應用在實際生產和生活中，常根據不同的要求，通過不在實際生產和生活中，常根據不同的要求，通過不同的方法來控制阻尼的大小。例如，同的方法來控制阻尼的大小。例如，各種機器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種機器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種聲源、樂器，總希望它能輻射足夠大的聲各種聲源、樂器，總希望它能輻射足夠大的聲 能，能，就需要加大

27、其輻射阻尼，各種樂器上的空氣箱就起就需要加大其輻射阻尼，各種樂器上的空氣箱就起這種作用。這種作用。在靈敏電流計中，為了盡快地、在靈敏電流計中，為了盡快地、較準確地進行讀數測量，常使電較準確地進行讀數測量，常使電流計的偏轉系統處于臨界阻尼狀流計的偏轉系統處于臨界阻尼狀態下工作。因為臨界阻尼與過阻態下工作。因為臨界阻尼與過阻尼和弱阻尼狀態相比，振動物體尼和弱阻尼狀態相比，振動物體回到平衡位置的時間最短。回到平衡位置的時間最短。二、二、 受迫振動受迫振動受迫振動：受迫振動：振動系統在周期性外力作用下的振動。振動系統在周期性外力作用下的振動。這種周期性的外力稱為這種周期性的外力稱為驅動力驅動力。系統在

28、彈性力、阻力和驅動系統在彈性力、阻力和驅動力的作用下，其運動方程為力的作用下，其運動方程為202cosd xdxmkxFtdtdt thxtddxtdxd cos22022 0cosFFt 令令mk 0 0,2Fhmm 受迫振動的微分方程受迫振動的微分方程 mkxO = /2 )cos()(cos)( tAteAtxt2200阻尼振動阻尼振動在阻尼較小的情況下的通解在阻尼較小的情況下的通解經過一段時間后，減經過一段時間后，減幅振動可以忽略不計。幅振動可以忽略不計。系統達到穩定狀態后系統達到穩定狀態后的振動為一穩定的等幅的振動為一穩定的等幅振動。振動。受迫振動的穩定狀態為受迫振動的穩定狀態為)c

29、os( tAxthxtddxtdxd cos22022 受迫振動微分方程受迫振動微分方程A O xt(1)角角頻率頻率: : 等于驅動力的角頻率等于驅動力的角頻率 (3)初相初相: :2202tan 特點特點: :穩態時的受迫振動按簡諧振動的規律變化。穩態時的受迫振動按簡諧振動的規律變化。(2)振幅振幅: :2/12222204)( hA受迫振動振幅的大小，不決定于系統的初始條受迫振動振幅的大小，不決定于系統的初始條件，而與振動系統的性質件，而與振動系統的性質(固有角頻率、質量固有角頻率、質量)、阻、阻尼的大小和驅動力的特征有關。尼的大小和驅動力的特征有關。討論討論)cos( tAx受迫振動的

30、穩態解受迫振動的穩態解2202 r最大振幅為最大振幅為2202rhA 如如 0 0 ， r= 0, ,即即驅動驅動力的角頻率等于振動系統的力的角頻率等于振動系統的固有角頻率時，振幅達到最固有角頻率時，振幅達到最大值。這種現象叫大值。這種現象叫共振共振。三、共振三、共振2/12222204)( hA受迫振動的振幅受迫振動的振幅與驅動力的角頻率與驅動力的角頻率 有關。令有關。令dA/d =0，可得與振幅可得與振幅極大值對應的角頻率為極大值對應的角頻率為A 0在共振時，在共振時， = 0)cos( tAx共振原因的進一步分析共振原因的進一步分析受迫振動的振動方程受迫振動的振動方程2202tan 初相

31、初相則則 = /2振動速度，振動速度，)( tsinAdtdxv)(2tAcos tA cos 這說明，振動速度和驅動力同相這說明，振動速度和驅動力同相(F = Acos t )，因，因而，驅動力總是對系統做正功，系統能最大限度地而，驅動力總是對系統做正功，系統能最大限度地從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。tFF0 cos 驅動力驅動力thxtddxtdxd cos22022 受迫振動的微分方程受迫振動的微分方程共振的利與弊共振的利與弊共振現象在實際中有著廣泛的應用共振現象在實際中有著廣泛的應用：鋼琴、小提琴等樂器的木制琴身，利用共振現象使

32、鋼琴、小提琴等樂器的木制琴身，利用共振現象使其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機的調其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機的調諧裝置也利用了共振現象（電磁共振）選臺；原子諧裝置也利用了共振現象（電磁共振）選臺；原子核內的核磁共振用來進行物質結構的研究及醫療診核內的核磁共振用來進行物質結構的研究及醫療診斷等。斷等。共振的利與弊共振的利與弊共振現象也有其危害性：共振現象也有其危害性：例如，共振時振動系統的振幅過大，建筑物、機器例如，共振時振動系統的振幅過大，建筑物、機器設備等就會受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發動設備等就會受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發動機運轉的頻率接近車身的固有頻率，車身

33、也會產生機運轉的頻率接近車身的固有頻率，車身也會產生強烈的共振而受到損壞。強烈的共振而受到損壞。18世紀中葉，一隊拿破侖士兵在指揮官的口令下，世紀中葉，一隊拿破侖士兵在指揮官的口令下，邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過法國昂熱邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過法國昂熱市一座大橋，快走到橋中間時，橋梁突然發生強市一座大橋，快走到橋中間時，橋梁突然發生強烈的顫動并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市烈的顫動并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市民落入水中喪生。造成這次慘劇的罪魁禍首，正民落入水中喪生。造成這次慘劇的罪魁禍首，正是共振！因為大隊士兵齊步走時，產生的一種頻是共振！因為大隊士兵齊步走時，產生的一種頻率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動加強，率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動加強，當它的振幅達到最大限度直至超過橋梁的抗壓力當它的振幅達到最大限度直至超過橋梁的抗壓力時，橋就斷裂了。時，橋就斷裂了。 共振的利與弊共振的利與弊聲音殺人聲音殺人 聽不到的聲音聽不到的聲音次聲，頻率低于次聲，頻率低于20赫茲，人赫茲，人體內臟固有頻率和次聲頻率接近