1、強度理論與方法（強度理論與方法（3 3） 底周疲勞底周疲勞底周疲勞底周疲勞單調應力單調應力- -應變關系應變關系循環應力循環應力- -應變行為應變行為循環應力循環應力作用下的作用下的應變響應應變響應應變疲勞應變疲勞 性能性能缺口應變缺口應變 分析分析應變疲勞應變疲勞 壽命預測壽命預測A0l0originallAdeformedEngineering stress SPA= =0Engineering strainelll ll= = =- -D D000PDl0llld 真應力真應力0S-es syss-es-e均勻變形均勻變形)1ln()ln()ln(000elllll+ += =D D+

2、+= = =0ldlll= = e edlAdeformed頸縮前，頸縮前，忽忽略彈性體積變化，可假定均略彈性體積變化，可假定均勻變形階段后體積不變。勻變形階段后體積不變。單調加載下的應力單調加載下的應力應變關系應變關系eeess=+=+epnEK()1：s se e e ep pe e0 0e eAK為強度系數，應力量綱為強度系數，應力量綱(MPa); n為應變硬化指數，無量綱。為應變硬化指數，無量綱。n=0，理想塑性材料。，理想塑性材料。N N ，s sa a ，循環硬化；反之，為循環軟化。，循環硬化；反之，為循環軟化。1. 滯后環滯后環 hysteresis loops 在在e ea=c

3、onst的對稱循環下，的對稱循環下， 應力、應變的連續變化。應力、應變的連續變化。一般說來，低強度、軟材料趨于循環硬化；一般說來，低強度、軟材料趨于循環硬化； 高強度、硬材料趨于循環軟化。高強度、硬材料趨于循環軟化。eaa穩態環穩態環s s0N=2100低碳鋼的循環應力應變響應低碳鋼的循環應力應變響應： eaaEes=npaaK)( es=eeessaeapaaanEK=+=+()1：各穩態各穩態滯后滯后環頂點連線。環頂點連線。 注意：循環注意：循環s sa- -e ea曲線，曲線， 不反映加載路徑。不反映加載路徑。K為循環強度系數，應力量綱為循環強度系數，應力量綱(MPa)；n為循環應變硬化

4、指數，無量綱。為循環應變硬化指數，無量綱。esaa0循環應力循環應力- -應變曲線應變曲線s-es -es -eaaDsDs0e eDeDe0e eeaDs-Des -eae eeas saaae epae epaDDDDDeeess222221=+=+epnEK()反映加載路徑。反映加載路徑。若若拉壓性能拉壓性能對稱，考慮半支即可。對稱，考慮半支即可。以以oo為原點，考慮上半支。為原點，考慮上半支。假設假設DsDs- -DeDe曲線與曲線與s sa- -e ea曲線曲線幾何相似幾何相似，滯后環曲線滯后環曲線為：或者或者 D DD DD De es ss s= =+ + nEK221()加載加

5、載ABD, ABD, 卸卸、加載曲線加載曲線ABCBDABCBD。ABDs se eDBC已知已知e e1 1，用，用數值方法數值方法可解出可解出s s1 1。 ess1111=+()()EKn已知變應變循環歷程，取從最已知變應變循環歷程，取從最大峰或谷起止的典型譜段，分大峰或谷起止的典型譜段，分析其穩態應力響應。析其穩態應力響應。0-1 第一次加載，第一次加載，由由s sa-e ea曲線描述。曲線描述。12 2345 567810e et71-2 卸載。已知載荷反向的變程卸載。已知載荷反向的變程DeDe1-2 , 求求DsDs1-2。12 2345 567810e et7已知已知DeDe1-

6、21-2= = e e1 1- -e e2 2 。可求。可求DsDs1-21-2；從從 1 1到到 2 2是卸載，則是卸載，則2 2處有：處有： e e2 2= =e e1 1- -DeDe1-21-2 s s2 2=s=s2 2-Ds-Ds1-21-2對于加載，有：對于加載，有：e e3= =e e2+DeDe2-3； s s3 3=s=s2 2+Ds+Ds2-32-3。12 2345 567810e et712 2345 567810e et7依據計算數據依據計算數據( (e ei , ,s si ), ), 在在s-s-e e坐標中描點，順序坐標中描點，順序連接，即可得到連接，即可得到

7、s-s-e e響應曲線。響應曲線。e es s04576782325114) 4) 依據計算數據依據計算數據( (e eI , ,s si ), ), 畫出畫出s-s-e e響應曲線。響應曲線。1) 1) 第一次加載，由第一次加載，由s sa- -e ea曲線描述，已知曲線描述，已知e ea算算s sa。2) 后續反向，由后續反向，由De-DsDe-Ds曲線描述；曲線描述； 由譜中已知的由譜中已知的DeDe算相應的算相應的DsDs，且有：，且有： e ei+1 =e ei DeDei-i+1 ； s si+1=s si DsDsi-i+1 加載變程用加載變程用“+”, 卸載用卸載用“-”。3)

8、 3) 注意材料記憶特性注意材料記憶特性, , 封閉環不影響其后的響應，封閉環不影響其后的響應， 去掉封閉環按原路徑計算。去掉封閉環按原路徑計算。012 345 61t.01- -.008e e- -.004.002.0063-4 卸載。形成封閉環卸載。形成封閉環2-3-2。按。按1-4的路徑計算。的路徑計算。1-4 卸載。卸載。DeDe1-4=0.018 DsDs1-4=900MPa， e e4=-0.008, s s4=-438MPa。4-5 加載，加載，DeDe4-5=0.01 e e5=0.002, s s5=334MPa5-6 卸載。卸載。DeDe5-6=0.006 e e6=-0.

9、004, s s6=-324MPa6-1 形成封閉環形成封閉環5-6-5、1-4-1 s s11= =s s1 1。繪。繪s-s-e e響應曲線。響應曲線。s s0e eMPa0.01- -0.01500-5001265430eseafbEN=()2eepafcN= ()2eeeseaeapafbfcENN=+=+ ()()22s sf f - - 疲勞強度系數，應力量綱疲勞強度系數，應力量綱； b - b - 疲勞強度指數，無量綱；疲勞強度指數，無量綱；e ef f - - 疲勞延性系數，無量綱；疲勞延性系數，無量綱； c - c - 疲勞延性指數，無量綱。疲勞延性指數，無量綱。大多數金屬材

10、料，大多數金屬材料，b=- -0.06 - -0.14, c=- -0.5 - -0.7。近似估計時取：近似估計時取： b - -0.1, c - -0.6 。eeeseaeapafbfcENN=+=+ ()()22在以在以e epa為主的為主的階段，有階段，有 e epa=e ef (2N)c這就是著名的這就是著名的Manson-Coffin公式公式 (1963年年) 。注意注意 b b、c c0 0；同樣可知，拉伸平均應力有害，；同樣可知，拉伸平均應力有害，壓縮平均應力有利。壓縮平均應力有利。高應變范圍，材料延性高應變范圍，材料延性 ；壽命；壽命 ；低應變長壽命階段，強度低應變長壽命階段，

11、強度 ，壽命，壽命 。一般金屬材料，一般金屬材料，e ea=0.01，N 1000。e ea高強度材料高強度材料高延性材料高延性材料2N0.010.0120002000Dee=+-350120606.()().SENNuf由拉伸性能估計材料的由拉伸性能估計材料的e e-N-N曲線曲線：式中，式中，S Su u為極限強度；為極限強度；e ef f是斷裂真應變。是斷裂真應變。考慮平均應力的影響有：考慮平均應力的影響有： (SAE疲勞手冊疲勞手冊1968)esseafmbfcENN= -+ ()()22考慮平均應力：考慮平均應力：esseafmbfcENN= -+ ()()22循環循環響應響應計算計

12、算e ea和和s sm穩穩態態環環估算估算壽命壽命 2N2NeeeseaeapafbfcENN=+=+ ()()22R=-1，s sm=0已知已知 e e 、s s歷程歷程0.020.0050-0.005-0.02(A) (B) (C)te e12 4 2 4 33 3 20 101解解：A) e ea=0.005； s sm=0。 直接由直接由估算壽命，估算壽命，得：得： 2N=11716, N=5858次次esseafmbfcENN= -+ ()()222-3 DeDe2-3=0.01, 由滯后環曲線得由滯后環曲線得 DsDs2 2-3=772MPa e e3=0.005, s s3=34

13、2MPa。3-4 注意注意2-3-4形成封閉環。故形成封閉環。故 e e4=e e2, s s4=s s2。 B B）1. 計算計算s s- -e e響應：響應： 0-1 e e1=0.02=s s1/E+(s s1/K)1/n s s1 1=542 MPa0.020.0050-0.005-0.02 (B) te e 2 4 3 11-2 DeDe1-2=DsDs1-2/E+2(DsDs1-2/2K)1/n De De1-2=0.025 DsDs1-2=972MPa 有：有：e e2=e e1-DeDe1-2=-0.005； s s2=s s1-DsDs1-2=-430MPa。引入了引入了(s

14、 sm0),疲勞壽命延長，疲勞壽命延長，是有利的。是有利的。( (情況情況A A：N=5858次次) )2. 畫畫s s- -e e響應曲線。響應曲線。012,43s se e(B)由穩態環求得：由穩態環求得： e ea =(e e3 3- -e e4 4)/2=0.005； s sm=(s s3 3+ +s s4 4)/2=-44MPa。3. 估算壽命，有：估算壽命，有：e es ss se eafmbfcENN= = - -+ + ()()22代入數值代入數值后解后解得：得： 2N=12340 所以，所以， N=6170 次循環。次循環。C）1. 循環響應計算：循環響應計算： 0-1： e

15、 e1 1=0.02，ss1 1=542MPa。 注意注意到拉壓對稱性且此處是壓縮，到拉壓對稱性且此處是壓縮， 故：故： e e1 1=-0.02時，時，。0.020.0050-0.005-0.02 (c) te e 2 4 3 1012,43s se e(C)2. 畫畫s s-e e響應曲線得：響應曲線得： e ea =0.005；s sm=(s s3+s s4)/2=44 Mpa3. 求壽命：求壽命： N=5565 次循環。次循環。壓縮高載引入殘余拉應力壓縮高載引入殘余拉應力, N ，是有害的是有害的。由滯后環曲線計算后續響應得：由滯后環曲線計算后續響應得： e e2 2=0.005， s

16、 s2 2=430MPa e e3 3=-0.005， s s3 3=-342MPat“若缺口根部承受與光滑件相同若缺口根部承受與光滑件相同的的 應力應變歷程，則將發生與光滑應力應變歷程，則將發生與光滑 件相同的疲勞損傷件相同的疲勞損傷”。缺口根部材料元在局部應力缺口根部材料元在局部應力s s或應變或應變e e循環下的循環下的壽命，可由承受同樣載荷歷程的光滑件預測。壽命，可由承受同樣載荷歷程的光滑件預測。PpS=P/(W-d)ts s再由應力再由應力- -應變關系應變關系 e e= =s s/E+(s s/K)1/n 計算局部應力計算局部應力s s。圖中圖中C C點即線性理論給出的解。點即線性

17、理論給出的解。已知已知 S 或或e應力應力應變應變 關系關系 求求S或或ee e=Kte應變集中的不變性假設應變集中的不變性假設： Ke e=e e/e=Kts ss-es-ee e0曲線曲線CAs 缺口局部應力缺口局部應力- -應變應變S-eK etes sB圖中，圖中，NeuberNeuber雙曲線與材料雙曲線與材料s s- -e e曲線的交點曲線的交點D D，就是就是NeuberNeuber理論的解答，比線性解答保守。理論的解答，比線性解答保守。如帶缺口薄板拉伸。如帶缺口薄板拉伸。假定：假定： Ke eKs s=Kt2 二端同乘二端同乘eS，有：，有： (Ke ee)(Ks sS)=(K

18、tS)(Kte), 得到雙曲線：得到雙曲線： sese=Kt2eS Neuber雙曲線雙曲線應力應力-應變關系應變關系已知已知S 或或e應力應力-應變應變 關系關系 求求S或或e聯立求解聯立求解 s s和和e es ss-es-ee e0曲線曲線CAs 缺口局部應力缺口局部應力- -應變應變S-eK etes sBNeuber雙曲線雙曲線Des s 1) 1) ： 有有: : e e=Kte=30.01=0.03 由應力由應力- -應變曲線：應變曲線： e e= =0.03= =s s/ /60000+(s s/ /2000)8 可解出可解出: : s s=1138 MPa解解：已知：已知 S

19、=600MPa, 由應力由應力-應變曲線：應變曲線： e=S/60000+(S/2000)1/0.125 求得名義應變為：求得名義應變為： e=0.01+0.38 0.01可見，可見，Neuber理論估計的理論估計的s s, ,e e大于線性理論，是大于線性理論，是偏于保守的，工程中常用。偏于保守的，工程中常用。2) : 有有Neuber雙曲線雙曲線: sese=Kt2eS =90.01600=54 和應力和應力- -應變曲線：應變曲線： e e= =s/s/60000+(s/s/2000)8聯立得到：聯立得到： s s/ /60000+(s/2000)60000+(s/2000)8 8=54

20、=54/ /s s 可解出：可解出： s s= =1245 Mpa； 且有：且有： e e=54/=54/s s=0.043線性理論結果：線性理論結果：e e=0.03，s s=1138 MPa 對于循環載荷作用的情況，第一次加對于循環載荷作用的情況，第一次加載用循環應力載用循環應力- - 應變曲線；其后各次載荷應變曲線；其后各次載荷反向，應力反向，應力- -應變響應由滯后環描述。應變響應由滯后環描述。：已知應力：已知應力S或應變或應變e的歷程的歷程, , 已知已知K Kt t； 計算缺口局部應力計算缺口局部應力s s、e e。 找出穩態環及找出穩態環及e ea和和s sm，進而利用，進而利用

21、e e-N曲線曲線估算壽命。估算壽命。 無論名義無論名義應力應力S、應變、應變e或或缺口應力缺口應力s s、應變應變e e，都應在材料的，都應在材料的應力應力-應變曲線上。應變曲線上。聯立求解聯立求解DsDs、DeDe。S (MPa)4000123t 將將 e ea=0.003141, s sm=247MPa 代入方程，代入方程， 解解得：得： N=12470 次循環。次循環。0820326s se e(MPa)1,32S (MPa)5004000Smax1Smin201Smax223tn1n21001-2 已知已知D DS S1 1-2=400, 有有D De1-2=0.002。 由由Neu

22、ber曲線和曲線和D Ds s-D De e曲線聯立求得曲線聯立求得： DsDs1 1-2=1146, , DeDe1 1-2=0.006283 有：有： s s2 2=-261MPa, e e2 2=0.0068870-1 已知已知S1=500 e1=0.00259 由由Neuber曲線和曲線和s sa -e ea曲線曲線 聯立求得聯立求得： s s1 1=885MPa, , e e1 1=0.013172-3 1-2-3形成封閉環，故形成封閉環，故s s3= =s s1 1, , e e3= =e e1 1。S (MPa)5000123t10001,32s se e885-2613. 估算

23、壽命，有：估算壽命，有：e es ss se eafmbfcENN= = - -+ + ()()22 將將 e ea=0.003141, s sm=312 MPa 代入方程，代入方程， 解解得：得： N2=10341 次循環。次循環。4) 由由Miner理論有：理論有： n1/N1+n2/N2=1 解得：解得：n2=6195 次循環。次循環。： 循環應力應變曲線循環應力應變曲線 滯后環曲線滯后環曲線e ee ee es ss saeapaaanEK= =+ += =+ + ()1D DD DD DD DD De ee ee es ss s= =+ += =+ + epnEK221()2) 材料的疲勞性能材料的疲勞性能： e e-N-N曲線曲線 考慮平均應力考慮平均應力影響影響e ee ee es se eaeapafbfcE EN NN N= =+ += =+ + ( () )( () )2 22 2e es ss se eafmbfcENN= = - -+ + ()()22循環循環響應響應計算計算e ea和和s sm穩穩態態環環估算估算壽命壽命 2N2N已知已知 e e 、s s歷程歷程聯立求解聯立求解DsDs、DeDe。7）變幅載荷下