1、小學生在數學問題解決中圖式的建構以算術應用題為例 江萍 （四川省綿竹市班學校，四川綿竹，618207,2514377411,電話【摘要】數學是一門關系性、結構性很強的學科，而關系型、結構性又恰是圖式的本質所在，所以數學學科與圖式理論表現出極大地相容性。有關圖式在學習中的研究已經成為當前西方認知學習研究的熱點，但是我國在這方面的研究還很薄弱，研究主要集中在閱讀理解方面。從數學學科與圖式理論所表現出的極大地相容性，我們可以看到極大的可研究、探索的空間。那么在具體背景下學生是如何建構圖式的？圖式又是怎樣影響數學問題解決的？本文將從“探究圖式在數學學習中的機理”以及“以算術應

2、用題的教學為例在實踐層面上開展研究”著手，通過這兩方面的研究，期望圖式理論對數學學習的指導具有較強的可行性，為小學階段算術應用題的有效教學提供理論基礎。【關鍵詞】數學學習 圖式理論 圖式 教學策略 一、問題與問題解決研究“問題解決”首要解決的問題是“問題”是什么？格式塔心理學家唐克爾（Karl Dunker）在1945年對“問題”的界定至今可以采用，即“當一個有機體有個目標，但又不知道如何達到目標時，就產生了問題。”這個定義包含了如下三個要點：第一，測試者所設定的任務能否構成問題，在于被試對象的知識水平以及使用相關知識的能力。第二，如果被試者改變了目標，該問題就不再存在或者不用解決。第三，只有

3、當被試者辨別出自己的目標和自己所處情境的差異時，才真正形成問題。可見，“問題”是相對存在的。對于一個大學生而言，一道多位數加減題不算是問題，但對于一個小學一年級的學生就是問題；對于一個百萬富翁而言，謀生不是問題，但是一個乞丐每天都必須為謀生絞盡腦汁。當然，如果那個小學生不想去做那道數學題，數學題也不成其為問題；如果百萬富翁要去體驗一下向別人乞討的滋味，學會乞討就是一個他要面臨的新問題。這就是說，問題有目標指向性。認知心理學家對“問題解決”公認的定義就是：問題解決是一系列的有目的指向性的認知操作活動過程。這個定義包含了三點：第一，問題解決具有目的指向性，這一點在前面對“問題”的界定中已經說明；第

4、二、問題解決應該是一系列的操作，問一個小學中高年級的學生“1+1=？”，他立刻就能報出答案，這不能算是問題解決；第三，這種操作必須是認知操作，也就是說問題解決本質上是一種思維活動。問題解決所需的域知識包括程序性知識和概念性知識。概念性知識是指知識的層級網絡以及知識間的相互聯系。程序性知識是將概念性知識組成行為單元。程序性知識的操作是以概念性知識為基礎進行的。如果問題解決僅從程序性知識入手，過度強調程序性知識而弱化概念性知識，那么學生對數學則不能形成真正地理解，學生難以達到數學地解決問題的水準。通過對有關圖式理論的涉足，我深刻地體驗到圖式理論對學生數學問題的解決存在著重要的指導意義，本文將從兩方

5、面展開研究：一方面是探究圖式在數學學習中的機理，另一方面就是在實踐層面上以算術應用題的教學為例開展研究。通過這兩方面的研究，期望圖式理論對教學的指導具有較強的可行性，為小學階段算術應用題的有效教學提供理論基礎。具體的研究問題為：（1）圖式是怎樣影響數學問題解決的？（2）以算術應用題的教學為例，如何提高教學的針對性和有效性來促進學生圖式的建構？二、現代圖式理論1、圖式的內涵圖式（schema，復數為schemata），這個詞的出現至少可以追溯到18世紀的德國哲學家康德那里，后來被英國劍橋的巴特萊特（F.C.Bartlett）引入心理學中。目前，“圖式”已經成為現代認知心理學的核心概念之一。自提出

6、至今已經有很多學者就圖式的內涵與特征等問題提出過自己的觀點，但是并無一個完全一致的說法，但是都認為圖式是用以表征客觀事物及其關系的某種知識或心理結構、組織、框架，它是對一類事物的抽象概括，可以用來組織零散的刺激、信息和數據。圖式是個體的知識結構，它對輸入的新信息進行選擇、組織，并將其整合到一個有意義的框架中，以促進對信息的理解。人腦的只是單元、知識單元和知識系統就是圖式，其中包括核心概念以及怎樣與何時應用核心概念的知識間的關系。例如，一個人的直角三角形的圖式，其圖式的核心概念就是直角三角形，其他的關系、概念、程序性知識和條件性知識則可在此基礎上一一建立起來。2、圖式的特征大家比較認可的“圖式”

7、的特征是由Thorndyke提出的以下五個特征：一是抽象，一個圖式代表了所表征概念的原型抽象，包含著定義其典型事例的特征，這些特征為概念提供了框架結構；二是示例化，一個圖式所抽象出的典型事例的特征用變量來代表，變量可以用特定的示例加以填充或示例化；三是預測，如果輸入的信息不完整，圖式可以對期望的信息加以預測，并指示對輸入信息的解釋；四是歸納，圖式是通過對各種示例上的經驗加以歸納而形成的，歸納是對期望特征不斷地定義和提純的過程。五是層次組織，根據專門性水平不同，最后將圖式按層次組織起來。3、圖式的功能（1）剪輯。圖式剪輯可分為兩級：一級剪輯是指圖式對輸入信息的選擇、刪減和抽象；二級剪輯是指對同化

8、進來的信息的整理、組織和建構。圖式的一級剪輯又可以分為兩個方面：其一是指圖式對其的篩選和過濾；其二是指圖式對信息的抽象，這如皮亞杰所說的同化作用。（2）預測和推理。圖式一旦被激活，就要對當前的只是狀態做出解釋，進行解釋必然包含著預測和推理。（3）遷移。遷移對知識獲得有著極為重要的作用，而遷移尤其是普遍遷移的根本條件就是建立良好的圖式。在把系統的知識結構轉化為良好圖式后，就可以產生舉一反三、觸類旁通的作用。因此，良好的認知圖式是獲取新知識的有效途徑。三、在算術應用題中圖式的建構1、問題解決中圖式的作用問題的解決經歷了從對問題情境的知覺到對問題的理解，最后到問題解決的方法的獲取，這幾個階段都要受到

9、圖式的影響。（1）影響對問題情境的知覺。在對問題情境的知覺中，人通過感官獲得大量信息，此時正確的問題圖式可以指導人對這些信息進行進一步的注意和加工，即進行過濾、分析和解釋，并暗示一個和此問題類似的問題解決的方法。比如在學習三位數乘三位數計算時，正確的問題圖式可以引導學生使用已經學習過的兩位數乘兩位數的計算法則順利解決新的計算問題。（2）影響對問題的理解。知識是由許多相互聯系的節點組織而成的網絡，其組織的主要方式就是圖式，要理解一個新問題，就必須把它納入已有的圖式，使新問題提供的信息激活網絡中的節點，進而激活相關圖式，提供解決問題所需的知識或補充問題情境缺失的、隱藏的信息，以使問題解決者能迅速理

10、解問題的本質。（3）影響問題解決方法的獲得。每個人都有成千上萬的圖式，面臨問題時，需要選擇合適的圖式，并用它指導問題解決的行為。比如在解決“植樹問題”時，如何根據題意判斷此題屬于“植樹問題”中哪種類型的題目，并根據該題的類型選擇合適的解決方法就涉及圖式的選擇問題。值得注意的是，圖式并不總是起著積極地作用，它還會干擾問題的解決：（1）可能造成大量信息的喪失。圖式好似一個過濾器，一般地說，問題解決中忽略掉與問題無關的信息是有意義的，但是卻可能破壞信息的全面獲取。（2）圖式難以更改。我們一旦認為某個事物以某種方式組成，這種觀點就很難改變，這就限制了新圖式的獲得。（3）可能使用錯誤的圖式，誤導問題的解

11、決。圖式不僅對問題解決有影響，反過來，問題解決是獲得圖式的重要渠道。在解決新問題的時候，人們會選擇有關圖式指導問題解決，在問題解決的過程中，有關圖式會得以修正，這樣就形成了新的圖式。可見，圖式和問題解決是相互影響的。2、在算術應用題的解題過程中如何促進圖式的建構對于算術應用題的解題，有不少學生都傾向于根據題目中所給定的關鍵詞或數量直接轉化到數的運算，即直譯策略。由于直譯策略對于部分甚至是大部分應用題的解決都可能是有效的，所以很多學生甚至是成人都樂于使用這種策略。但是，直譯策略對問題難以形成較高水平的理解，它導致學生對問題不能作出更高水平的意義加工。數學問題解決的兩個重要的成分就是問題表征和執行

12、解決計劃。在算術應用題中，這兩個成分體現得尤為明顯。解決算術應用題需要建立問題文字的表征，并運用算術規則發現問題解決的方案。小學生在解決應用題時遇到的困難主要是問題表征，也就是將問題的文字轉化為心理的表征。問題表征是對問題信息的提取和理解過程，導致問題表征錯誤或者不完整的原因包括：信息遺漏，即未能將問題的有關信息全部提取出來；信息誤解，即對某些問題信息作了錯誤的分析和理解；隱喻干擾，即問題信息中潛在的歧義性使學生困惑或者誤導學生的解題思路。需要強調的是問題表征中所要獲取的信息是問題的結構信息，如何透過問題的表層意義把握其深層結構是問題表征的關鍵。在問題表征中包含兩個子成分。（1）句子的翻譯，特

13、別是對數量關系句的理解。小學生在解題時經常忽略或者誤解數量關系句中的信息。比如“生產隊甲生產了65個零件，比乙隊多生產了23個，乙隊生產了多少個零件？”這個問題中第二句為數量關系句，在理解時很容易出錯，但是隨著年齡的增長，學生對數量關系句的理解能力會逐步增強。（2）識別問題類型。以低年級加、減法應用題為例，按照增加、減少、合并、比較等，按語義關系將算術應用題歸為三種類型：引起變換問題。變換問題描述了增減操作引起的事物在數量上的增加或減少。比如，“小喬有3個玻璃球，爸爸給了他5個，小喬現在又多少個玻璃球？”組合問題。組合問題中有一個始終不變化的量，學生在問題解決過程中需要做出合并或分解。比如，“

14、小喬有3個玻璃球，爸爸有5個玻璃球。他們一共有多少個玻璃球？”比較問題。比較問題是比較兩個不變的量的大小。比如，“小喬有3個玻璃球，比爸爸多5個。爸爸有多少個玻璃球？”在算術應用題中，許多問題有相同的算術結構，但是概念結構卻不一樣，對于學生來說，難度就不同。比如，在上面三道題中都要求同樣的算術運算：3+5=8。但是比較問題與其他兩類問題相比更容易出現錯誤，這些錯誤主要是由于用了不正確的問題圖式。所以對問題類型進行區別是非常有用的，學生學習時把問題歸成各種類型也就是獲得各種問題類型的圖式。由此可見數學教學的主要目的就是要教會學生能夠透過問題的表面內容理解問題的結構關系。在小學階段，算術應用題和文

15、字題一直是學生和老師都非常頭疼的題目。由于不能正確表征問題的深層關系結構以及使用了不正確的圖式，學生總會出現列式錯誤，而非計算錯誤。很多時候，老師沒有有效地教學方法，只能不斷地告訴學生：“多讀幾遍題”或“認真審題”。又或者就讓學生重復做練習，但是這些方法都難以促進學生問題解決的能力的提高。在問題解決過程中，所有與問題相關的知識，只有通過恰當的問題圖式在頭腦中充分地組織起來，才能被正確的理解和應用，從而正確解題。因此，有效地教學既要強調問題解答更要強調問題表征。在解決算術應用題時，可以將問題濃縮為框架，以“圖式”形式表現出來，更多地體現了潛在問題中的數量關系。從一步計算應用題說起。問題一：花店里有30支玫瑰和26支百合，