1、2012-2013學年重慶市銅梁中學高二（下）第一次月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每題5分，共50分）1（5分）函數f（x）=（x2）2，則f（1）=（）A2B2C1D1考點：導數的運算；函數的值專題：計算題分析：首先求出函數的導函數，在導函數解析式中把x取1即可求得f（1）解答：解：由f（x）=（x2）2，得：f（x）=2（x2）（x2）=2x4所以，f（1）=2×14=2故選A點評：本題考查了簡單的復合函數求導法則，考查了基本初等函數導數公式，解答時也可把原函數展開后再求導，是基礎題2（5分）（2005安徽）函數f（x）=x3+ax2+3x9，已知f（x）在x

2、=3時取得極值，則a=（）A2B3C4D5考點：利用導數研究函數的極值專題：計算題分析：因為f（x）在x=3是取極值，則求出f（x）得到f（3）=0解出求出a即可解答：解：f（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=3時取得極值f（3）=306a=0則a=5故選D點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力3（5分）已知物體的運動方程是（t表示時間，單位：秒；s表示位移，單位：米），則瞬時速度為0米每秒的時刻是（）A0秒、2秒或4秒B0秒、2秒或16秒C2秒、8秒或16秒D0秒、4秒或8秒考點：導數的幾何意義專題：計算題分析：對物體的運動方程求導為瞬時速度，令其為0得瞬時速度為0米每秒的時刻解答

3、：解：s=t312t2+32t令s=t312t2+32t=0得t=0或 t=4或t=8故選項為D點評：考查導數在物理中的應用：位移求導為瞬時速度4（5分）由y=sinx，y=cosx，x=0，x=所圍成的圖形面積可表示為（）ABCD考點：定積分專題：導數的綜合應用分析：如圖所示，利用定積分的幾何意義即可得出解答：解：如圖所示：當x0，時，由sinx=cosx，解得則由y=sinx，y=cosx，x=0，x=所圍成的圖形面積可表示為+故選B點評：正確理解定積分的幾何意義是解題的關鍵5（5分）拋物線y=x2+bx+c在點（1，2）處的切線與其平行直線bx+y+c=0間的距離是（）ABCD考點：拋物

4、線的簡單性質專題：計算題分析：求出函數f（x）=x2+bx+c在點x=1處的導數值，這個導數值即函數圖象在該點處的切線的斜率，然后根據兩直線平行的條件列方程求解b，a，最后利用平行直線間的距離求解即可解答：解：由題意得：f'（x）=2x+b，f（1）=2+b，即函數在點x=1處的切線的斜率是2+b，直線bx+y+c=0的斜率是b，所以2+b=b，解得b=1拋物線y=x2+bx+c過點（1，2），2=11+c，c=2，故切線xy3=0與其平行直線xy2=0間的距離是=故選B點評：本題考查導數的幾何意義、兩直線平行的條件，把握好這兩個知識，列式易求解問題6（5分）若在區間（a，b）內有f（

5、x）0且f（a）0，則在（a，b）內有（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）=0D不能確定考點：函數的單調性與導數的關系分析：利用導函數的符號，判斷出函數f（x）在區間（a，b）內的單調性，利用單調性判斷出函數值的大小解答：解：在區間（a，b）內有f（x）0f（x）在區間（a，b）內遞增x（a，b）f（x）f（a）f（a）0f（x）0故選A點評：利用導數求函數的單調區間：遵循當導函數為正，函數單調遞增；當導函數為負，函數單調遞減7（5分）已知任意數x滿足f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且x0時，f（x）0，g（x）0，則x0時（）Af（x）0，g（x）0Bf（x）0，g（x）0Cf（x）0

6、，g（x）0Df（x）0，g（x）0考點：利用導數研究函數的單調性；奇偶性與單調性的綜合專題：計算題；函數的性質及應用分析：通過函數的奇偶性與函數的導數的符號，判斷x為負時，函數的導數的符號即可解答：解：因為任意數x滿足f（x）為奇函數，對稱區間上函數的單調性相同，當x0時，f（x）0，則x0時，f（x）0，任意數x滿足g（x）為偶函數，對稱區間上函數的單調性相反，當x0時，g（x）0，則x0時g（x）0，故選B點評：本題考查函數的單調性與函數的奇偶性的關系，單調性與函數的導數的符號的關系，考查基本知識的應用8（5分）方程2x36x2+7=0在（0，2）內根的個數有（）A0個B1個C2個D3個

7、考點：根的存在性及根的個數判斷專題：計算題分析：令f（x）=2x36x2+7，由導數判斷函數在（0，2）上的單調性，再結合函數零點的存在性定理求解即可解答：解：令f（x）=2x36x2+7，=6x（x2），f（x）=6x212x，由f（x）0得x2或x0；由f（x）0得0x2；又f（0）=70，f（2）=10，方程在（0，2）內只有一實根故選B點評：本題考查方程根的個數的判斷、函數性質的應用、零點的存在性定理等知識，考查利用所學知識解決問題的能力9（5分）若關于x的方程x33x+m=0在0，2上有根，則m的取值范圍（）Am2B2m0Cm2D2m2考點：函數零點的判定定理專題：函數的性質及應用分

8、析：由題意可得m=x33x，x0，2，利用導數判斷函數在0，1上增，在1，2上減，由此求得函數m在0，2上的值域，從而求得m的范圍解答：解：由題意可知方程x33x+m=0在0，2上有解，則函數m=x33x，x0，2求出此函數的值域，即可得到實數m的取值范圍令y=x33x，x0，2，則 y'=3x23，令y'0，解得x1，故此函數在0，1上增，在1，2上減，又當x=1，y=2； 當x=2，y=2； 當x=0，y=0函數y=x33x，x0，2的值域是2，2，故m2，2，m2，2，故選 D點評：本題考查學生對一元三次方程的圖象的認識，以及對函數值正負與圖象關系的利用，體現了轉化的數學

9、思想，屬于基礎題10（5分）（2009湖南）設函數y=f（x）在（，+）內有定義對于給定的正數K，定義函數 取函數f（x）=2xex若對任意的x（+，），恒有fk（x）=f（x），則（）AK的最大值為2BK的最小值為2CK的最大值為1DK的最小值為1考點：函數恒成立問題專題：計算題；壓軸題；轉化思想分析：根據新定義的函數建立fk（x）與f（x）之間的關系，通過二者相等得出實數k滿足的條件，利用導數或者函數函數的單調性求解函數的最值，進而求出k的范圍，進一步得出所要的結果解答：解：由題意可得出kf（x）最大值，由于f（x）=1+ex，令f（x）=0，ex=1=e0解出x=0，即x=0，當x0時，

10、f（x）0，f（x）單調遞減，當x0時，f（x）0，f（x）單調遞增故當x=0時，f（x）取到最大值f（0）=21=1故當k1時，恒有fk（x）=f（x）因此K的最小值是1故選D點評：本題考查學生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數是解決本題的關鍵，將所求解的問題轉化為求解函數的最值問題，利用了導數的工具作用，體現了恒成立問題的解題思想二、填空題（每題5分，共25分）11（5分）曲線y=ln（2x1）上的點到直線2xy+8=0的最短距離是考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；兩條平行直線間的距離專題：計算題分析：對曲線y=ln（2x1）進行求導，令y=2，解出這個點，再根據點

11、到直線的距離進行求解；解答：解：曲線y=ln（2x1），y=，分析知直線2xy+8=0與曲線y=ln（2x1）相切的點到直線2xy+8=0的距離最短，y=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x1），y=0，點（1，0）到直線2xy+8=0的距離最短，d=2，故答案為2點評：此題主要利用導數研究曲線上某點的切線方程，還考查點到直線的距離，此題是一道基礎題；12（5分）圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S，要使飲料罐的容積最大，則它的底面半徑R為考點：基本不等式；棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積專題：計算題；不等式的解法及應用；空間位置關系與距離分析：由圓柱體的表面積s，可

12、得高h與底面半徑R的關系，代入柱體體積公式，利用求導法，得體積最大時s與R的關系，從而可求解答：解：圓柱體的表面積為S=2R2+2Rh，h=； 柱體的體積為V=R2h=R2=RsR3；對V求導，得：V=s3R2，令V0，則s3R2=0，此時體積最大；R=故答案為：點評：本題利用柱體的表面積，體積公式，考查了利用導數求函數最大值的問題，是基礎題13（5分）已知函數f（x）的導函數為f（x），且滿足f（x）=3x2+2xf（2），則f（5）=6考點：導數的運算專題：計算題分析：將f（2）看出常數利用導數的運算法則求出f（x），令x=2求出f（2）代入f（x），令x=5求出f（5）解答：解：f（x）

13、=6x+2f（2）令x=2得f（2）=12f（x）=6x24f（5）=3024=6故答案為：6點評：本題考查導數的運算法則、考查通過賦值求出導函數值14（5分）設函數f（x）=ax33x+1（xR），若對于任意的x1，1都有f（x）0成立，則實數a的值為4考點：利用導數求閉區間上函數的最值專題：計算題分析：弦求出f（x）=0時x的值，進而討論函數的增減性得到f（x）的最小值，對于任意的x1，1都有f（x）0成立，可轉化為最小值大于等于0即可求出a的范圍解答：解：由題意，f（x）=3ax23，當a0時3ax230，函數是減函數，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，與已知矛盾，當a0時，令

14、f（x）=3ax23=0解得x=±，當x時，f（x）0，f（x）為遞增函數，當x時，f（x）0，f（x）為遞減函數，當x時，f（x）為遞增函數所以f（ ）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（ ）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，綜上a=4為所求故答案為：4點評：本題以函數為載體，考查學生解決函數恒成立的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題15（5分）（2012青島二模）已知函數f（x）的定義域為1，5，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f（x）的圖象如圖示x1045f（x）1221下列關于f（x）的命題：函數f（x）的極大值點

15、為0，4；函數f（x）在0，2上是減函數；如果當x1，t時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；當1a2時，函數y=f（x）a有4個零點；函數y=f（x）a的零點個數可能為0、1、2、3、4個其中正確命題的序號是考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的極值專題：綜合題；壓軸題；導數的綜合應用分析：由導數圖象可知，函數的單調性，從而可得函數的極值，故可得，正確；因為在當x=0和x=4，函數取得極大值f（0）=2，f（4）=2，要使當x1，t函數f（x）的最大值是4，當2t5，所以t的最大值為5，所以不正確；由f（x）=a知，因為極小值f（2）未知，所以無法判斷函數y=f（x）

16、a有幾個零點，所以不正確，根據函數的單調性和極值，做出函數的圖象如圖，即可求得結論解答：解：由導數圖象可知，當1x0或2x4時，f'（x）0，函數單調遞增，當0x2或4x5，f'（x）0，函數單調遞減，當x=0和x=4，函數取得極大值f（0）=2，f（4）=2，當x=2時，函數取得極小值f（2），所以正確；正確；因為在當x=0和x=4，函數取得極大值f（0）=2，f（4）=2，要使當x1，t函數f（x）的最大值是4，當2t5，所以t的最大值為5，所以不正確；由f（x）=a知，因為極小值f（2）未知，所以無法判斷函數y=f（x）a有幾個零點，所以不正確，根據函數的單調性和極值，做

17、出函數的圖象如圖，（線段只代表單調性），根據題意函數的極小值不確定，分f（2）1或1f（2）2兩種情況，由圖象知，函數y=f（x）和y=a的交點個數有0，1，2，3，4等不同情形，所以正確，綜上正確的命題序號為故答案為：點評：本題考查導數知識的運用，考查導函數與原函數圖象之間的關系，正確運用導函數圖象是關鍵三、解答題（共6題，共75分）16（12分）已知x=是函數f（x）=ln（x+1）x+x2的一個極值點（）求a的值；（）求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程考點：利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程專題：計算題分析：（）先求導函數，再利用x=是函數f（x）的一個

18、極值點，即f（）=0，從而可求a的值；（）由（）知：f（x）=+2x1，從而可求y=f（x）在點（1，f（1）處的切線的斜率k=，進而可求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程解答：解：（）f（x）=ln（x+1）x+x2，f（x）=1+axx=是函數f（x）的一個極值點f（）=0，21=0，故a=2（）由（）知：f（x）=+2x1從而曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線的斜率k=，又f（1）=ln2，故曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為y=x+ln2點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查導數的幾何意義，有一定的綜合性17（12分）（2010江西）設函數f（x

19、）=lnx+ln（2x）+ax（a0）（1）當a=1時，求f（x）的單調區間（2）若f（x）在（0，1上的最大值為，求a的值考點：利用導數研究函數的單調性分析：（1）已知a=1，f（x）=+1，求解f（x）的單調區間，只需令f（x）0解出單調增區間，令f（x）0解出單調減區間（2）區間（0，1上的最值問題，通過導數得到單調性，結合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值解答：解：對函數求導得：，定義域為（0，2）（1）當a=1時，f（x）=+1，當f（x）0，即0x時，f（x）為增函數；當f（x）0，x2時，f（x）為減函數所以f（x）的單調增區間為（0，），單調減區間為（，2）（2）函數f（

20、x）=lnx+ln（2x）+ax（a0），0，所以函數為單調增函數，（0，1為單調遞增區間最大值在右端點取到所以a=點評：考查利用導數研究函數的單調性，利用導數處理函數最值等知識18（12分）（2009江西）設函數，（1）對于任意實數x，f'（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍考點：函數恒成立問題；一元二次方程的根的分布與系數的關系專題：計算題分析：（1）先求函數f（x）的導數，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）minm成立即可（2）若欲使方程f（x）=0有且僅有一個實根，只需求出函數的極大值小于零，或求出函數的極

21、小值大于零即可解答：解：（1）f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），因為x（，+），f（x）m，即3x29x+（6m）0恒成立，所以=8112（6m）0，得，即m的最大值為（2）因為當x1時，f（x）0；當1x2時，f（x）0；當x2時，f（x）0；所以當x=1時，f（x）取極大值；當x=2時，f（x）取極小值f（2）=2a；故當f（2）0或f（1）0時，方程f（x）=0僅有一個實根、解得a2或點評：本題主要考查了一元二次函數恒成立問題，以及函數與方程的思想，屬于基礎題19（13分）設aR，函數f（x）=ax33x2（）若x=2是函數y=f（x）的極值點，求a的值；（）若函數g（x）=

22、f（x）+f'（x），x0，2，在x=0處取得最大值，求a的取值范圍考點：函數在某點取得極值的條件；利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值專題：壓軸題分析：（）導函數在x=2處為零求a，是必要不充分條件故要注意檢驗（）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范圍也是必要不充分條件注意檢驗解答：解：（）f'（x）=3ax26x=3x（ax2）因為x=2是函數y=f（x）的極值點，所以f'（2）=0，即6（2a2）=0，因此a=1經驗證，當a=1時，x=2是函數y=f（x）的極值點（）由題設，g（x）=ax33x2+3ax26x=ax2（x+3）3x（x+2

23、）當g（x）在區間0，2上的最大值為g（0）時，g（0）g（2），即020a24故得反之，當時，對任意x0，2，=0，而g（0）=0，故g（x）在區間0，2上的最大值為g（0）綜上，a的取值范圍為點評：極值點處的導數等于零是此點為極值點的必要不充分條件，所以解題時一定注意檢驗20（13分）已知函數f（x）=x2+lnx（1）求函數f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求證：在區間1，+）上，函數f（x）的圖象在函數g（x）=x3圖象的下方考點：利用導數求閉區間上函數的最值專題：計算題；證明題；壓軸題；轉化思想分析：（1）先求導，由導數研究函數的單調、極值，計算端點函數值，比較極值與端點函數值，進而求出函數的最大值、最小值；（2）構造函數設F（x）=x2+lnxx3，利用導數可知函數F（x）的單調性為遞減，從而可得F（x）F（1）=0可證解答：解：（1）由f（x）=x2+lnx有f（x）=x+（2分）當x1，0時，f（x）0fmax（x）=f（e）=e2+1，fmax（x）=f（1）=（6分）（2）設F（x）=x2+lnxx3，則F（x）=x+2x2=當x1，+）時，F（x）0，且F（1）=0故x1，+）時F（x）0x2+lnxx3，得證（12分）點評：本題主要考查了導數的應用：求單調區間，求極值、最值，利用單調性證明不等式，解（2）的關鍵是構造函數，