1、習題二答案1隨機變量的分布函數、分布律、密度函數有何聯系與區別？ 答：隨機變量的分布刻畫了隨機變量的取值規律，不管是連續型、離散型或既不是連續型，也不是離散型隨機變量都可用分布函數來描述其取值的規律；而分布律只用來描述離散型隨機變量的取值規律；密度函數只能來描述連續型隨機變量的取值規律。它們的聯系在于當知道了X的分布律，可通過求概率PXx（x取任意的值）求得X的分布函數Fx;僅之亦然。當知道了連續型隨機變量的密度函數fx,可通過積分Fx=-xdt (-x+) ,求得分布函數Fx, 可通過對Fx求導，即dydxFx=fx（對一切fx的連續點處）求得密度函數fx。2. 同時擲兩枚骰子,求兩枚骰子的

2、點數之和X 的概率分布,并計算PX3和PX>13. 解：由題意X的正概率點為2，3，12 PX=k=6-k-736 , k=2,3,12 PX3=PX=2=PX=3=136+236=112 PX>12=P=03. 某產品共17件,其中有次品3件,現從中任取5件,求抽得次品數X 的概率分布,并計算P1X<2 解：PX=k=C3kC145-kC175 , P1X<2=C31C144C1754. 一汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立,且紅綠兩種信號顯示的時間相等,以X 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數

3、,求X 的概率分布 解：X 的可能取值為0,1,2,3 A i(i=1,2,3)表示事件“汽車在第i個路口首次遇到紅燈”；A1,A2,A3 相互獨立，且PAi=PAi=12 ，i=1,2,3 對于m =0,1,2,3 ，有 PX=0=PAi=12 PX=1=PA1A2=122PX=2=PA1 A2A3=123 PX=3=PA1 A2 A3=1235設隨機變量X的概率密度為：fx=13 x0,129 x3,60 其他 若k使得PXk=23, 求k的取值范圍。 解： PXk=k-fxdx 當k-,1 時， PXk=k113dx+130dx+3629dx+6+0dx=1-k3>23 當k1,3

4、 時， PXk=k30dx+362dx9+6+0dx=23 當k3,- 時， PXk=k62dx9+6+0dx=296-k<23 故要使得PXk=23 ，k的取值范圍是 1,36設某射手每次射擊命中目標的概率為0.5， 現連續射擊10次，求命中目標的次數X的概率分布，又設至少命中3次才可以參加下一步的考核，求次射手不能參加考核的概率。 解：XB(10，0.5) PXk=C10K0.5k0.510-k, k=0,1,2,10 設A此射手不能參加考核，有 PA=PX2=k=02PX=k=k=02C10k0.5k0.510-k0.0547設X服從泊松分布，且已知PX=1=PX=2, 求PX=4

5、 解：由PX=1=11！e-=22！e-2=PX=2 得到=2 PX=4=44！e-=241！e-20.09028某儀器裝有3只獨立工作的同型號電子元件,其壽命(單位:小時)都服從同一指數分布,概率密度為fx=1600e-1600 , x>00 x0 求:在儀器使用的最初200小時內,至少有一只電子元件損壞的概率。 解：Ak=在儀器使用的最初200小時內，第k只原件損壞 k=1,2,3 Xk=第k只原件的使用壽命 PAk=PXk>200=200+1600e-x600dx=e-13 =PA1A2A3=P-PA1A2A3=1-PA1 A2 A3=1-e-133=1-e-19. 令X 表

6、示向直角等腰三角形內投點時落點的第一坐標,求F(x). 解：0<X<1 當x0時，Fx=0 當x>1時，Fx=1 當0<x1時，Fx=12x212=x2 Fx=0 當x0時x2 當0<x1時 1 當x>1時 10從1個白球n-1個黑球中任取k 個,令X 表示取出的白球個數.(1)求X 的分布律;(2)證Cnk=Cn-1k-1+Cn-1k 解：(1)X的可能取值為0,1，且PX=0=Cn-1kCnk PX=1=Cn-1k-1Cnk 故分布律：0 1Cn-1kCnk Cn-1k-1Cnk (2)由分布律性質，Cn-1kCnk+Cn-1k-1Cnk=1 即Cnk=

7、Cn-1k-1+Cn-1k11已知X 的概率密度為f(x)=12x2-12x+3,0<x<1,0, 其他,計算P X 0.2|0.1<x0.5 解：P X 0.2|0.1<x0.5=P X 0.2,0.1<x0.5P 0.1<x0.5=P 0.1<x0.2P 0.1<x0.5=0.10.2fx0.10.5fx=0.1480.2560.57812已知X 的概率密度為f(x)=Ce-x2+x ,確定常數C.1=-+Ce-x2+xdx=C-+e-x-122+14dxx-12=t2 Ce142-+e-t22dt=Ce1422故，C=e1413. 設XN(

8、108,9),(1)求P101.1<x<117.6;(2)求常數a,使PX<a=0.90. 解：(1) P101.1<x<117.6=117.6-1083-101.1-1083=3.2-2.3=3.2-1-2.3=0.9886 (2) PX<a=a-1083=0.90 故，a-1083=1.28 即，a=111.8414設X 為一離散型隨機變量,其分布律如下表,求:(1)q 的值;(2)X 的分布函數.X-101P121-2qq2 解：(1)12+1-2q+q201-2q1q21 解得：q=1-12 分布律：X-101P122-132-2(2)由Fx=PXx

9、知，Fx=0 x<112 -1x<02-12 0x<11 x115. 設隨機值變量X 在2,5上服從均勻分布,現對X 進行3次獨立觀測,試求至少有2次觀測值大于3的概率. 解：因A=X>3 且fx=13, &2x50, &其他 故，PA=PX>3=3513dx=23 以Y表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數（即在3次獨立實驗中事件A出現的次數）顯然，Y服從參數為n=3，p=23 的二次分布PY2=C3223213+C33233=202716. 設一大型設備在任何長為t的時間間隔內發生故障的次數N(t)服從參數的泊松分布，求:（1）相繼兩次故障之間時

10、間間隔T的概率分布；（2）在設備已經無故障工作8小時的情況下，再無故障運行8小時的概率Q.17.設X的分布律為：求Y=的分布律。X123456P求Y=COS的分布律。解：X與Y的對應關系如下表:X123456Y0-1010-1P可見Y的取值只有-1,0,1三種可能。Y-101P18.設XN（0,1），求Y=的密度函數。19. 設連續型隨機變量x的概率分布為：(B)1. 隨機變量X與Y均服從正態分布。XN(,),YN(,),證=P,=P,則()(A) 對任何實數，都有(B)對任何實數，都有(C)只對的個別值，才有=(D)對任何實數，都有>2. 設隨機變量XN(,)，則隨著的增大，概率P()

11、(A) 單調增大(B)單調減小(C)保持不變(D)增減不定解：XN(,)N(0,1)3. 設F1(x)與F2(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數,為使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某隨機變量的分布函數,在下列給定的各組數值中應取()(A) a=35,b=-25(B)a=23,b=23(C)a=-12,b=32(D)a=12,b=-32(C)計算題1. 設測量誤差XN(0,),試求在100次獨立重復測量中,至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率,并用泊松分布求出的近似值(要求小數點后取兩位有效數字).12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001解：設100次獨立重復測量中有Y次測量誤差的絕對值大于19.6，則YB（100，p）,p=PN(0,1)2.一實習生用同一臺機器接連