1、扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖切應力互等定理與剪切胡克定律切應力互等定理與剪切胡克定律圓軸扭轉橫截面的應力圓軸扭轉橫截面的應力,強度條件強度條件圓軸扭轉時的變形，剛度條件圓軸扭轉時的變形，剛度條件非圓截面桿扭轉的概念非圓截面桿扭轉的概念 扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例對稱扳手擰緊鏍帽對稱扳手擰緊鏍帽扭轉變形的扭轉變形的受力特點受力特點一組外力偶的作用，且力偶的作用面與桿件的軸線垂直；一組外力偶的作用，且力偶的作用面與桿件的軸線垂直；M ：外力偶矩：

2、外力偶矩變形特點變形特點：變形特點：變形特點：任意兩橫截面繞軸線發生相對轉動；任意兩橫截面繞軸線發生相對轉動； 軸：軸：工程中以扭轉為主要變形的構件。齒輪軸直接計算直接計算一一. .外力偶矩的計算外力偶矩的計算外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖M=Fd按輸入功率和轉速計算按輸入功率和轉速計算電機每秒輸入功：電機每秒輸入功：外力偶作功：外力偶作功：)N.m(1000PW2MW已知已知軸轉速軸轉速n n 轉轉/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦計算：力偶矩計算：力偶矩M Mmin)/r(n2)KW(P60M9549()PN mn60n二、扭轉變形橫截面的內力二、扭轉變

3、形橫截面的內力“T”矢量離開截面為正，反之為負。矢量離開截面為正，反之為負。 扭矩的符號規定：扭矩的符號規定：右手螺旋法則右手螺旋法則扭矩扭矩圖圖： 目目 的的xT扭矩沿桿件軸線各橫截面上變化規律的圖線。扭矩沿桿件軸線各橫截面上變化規律的圖線。扭矩變化規律；扭矩變化規律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置（危險截面）（危險截面）。mm危險面處處是危險面例例1 :圖示傳動軸上，經由圖示傳動軸上，經由A輪輸入功率輪輸入功率10KW，經，經由由B、C、D輪輸出功率分別為輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉速。軸的轉速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪

4、的位置輪的位置更換放置是否合理？更換放置是否合理？BCAD1 傳遞的外力偶矩傳遞的外力偶矩9549318.3()AAPMN mn954963.7()BBPMN mn),( 5 .95mNMC),(2 .159mNMDB、C、D: 2、3、5KWn=300r/minBCADBM1T0MTD3BMCM2T0MMTCB20MTB1DM3T2、求內力、求內力)mN(7 .63MTB1)mN( 2 .159MMTCB2)mN( 2 .159MTD3BCADIIIIIIIIIIII)mN( 2 .159Tmax在在CA段和段和AD段段3、繪出扭矩圖：、繪出扭矩圖：7 .632 .1592 .159TNmB

5、CAD)mN(7 .631T)mN( 2 .1592T)mN( 2 .1593T4 將將A、D輪的位置更換輪的位置更換)( 3 .318max,mNMnAD段段因此將因此將A、D輪的位置更換不合理。輪的位置更換不合理。7 .632 .1593 .318TNmBCDA作扭矩圖作扭矩圖1KNm2KNm3KNm切應力互等定理與剪切胡克定律切應力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒：薄壁圓筒：rm：為平均半徑為平均半徑mr101t 壁厚壁厚一、薄壁圓筒的扭轉切應力一、薄壁圓筒的扭轉切應力1、觀察圓筒變形、觀察圓筒變形縱向線發生了傾斜；縱向線發生了傾斜；圓筒表面的各圓周線的圓筒表面的各圓周線的形狀、大小、間距

6、形狀、大小、間距均未改變；均未改變；各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網格均變成同樣大小的平行四邊形所有矩形網格均變成同樣大小的平行四邊形;2、觀察現象、觀察現象只是繞軸線作了相對轉動；只是繞軸線作了相對轉動；3表明：表明：橫截面上只有切于截面的橫截面上只有切于截面的切應力切應力；可以認為沿筒壁厚度切應力可以認為沿筒壁厚度切應力均勻分布均勻分布；4、切應力分布規律假設、切應力分布規律假設因為筒壁的厚度很小，因為筒壁的厚度很小，20T2RR R0 0：薄壁圓筒橫截面的平均半徑薄壁圓筒橫截面的平均半徑; ;5、薄壁圓筒的扭轉切應力、薄壁圓筒的扭轉切應力202TR

7、T R0 dAd0TARdA二、切應力互等定理二、切應力互等定理0mz在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現；在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現；切應力互等定理切應力互等定理dy dx dx dy且數值相等；且數值相等； 兩者都垂直于兩平面的交線；兩者都垂直于兩平面的交線；方向：方向：共同指向共同指向或或共同背離共同背離該交線；該交線；acddxb dy z三、三、剪切虎克定律：剪切虎克定律： 當剪應力不超過材料的剪切比例當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（極限時（ p)， 切應力與切應變成線形關系；切應力與切應變成線形關系；acdb tG12EG對各向同性材料有對各向同性材料有

8、G材料剪切彈性模量，單位：材料剪切彈性模量，單位：GPa。圓軸扭轉橫截面上的應力圓軸扭轉橫截面上的應力 強度條件強度條件一、等直圓桿扭轉實驗一、等直圓桿扭轉實驗觀察不變量觀察不變量橫截面在變形前后都橫截面在變形前后都3. 縱向線變形后縱向線變形后通過變形觀察現象通過變形觀察現象1、各圓周線的大小、形狀、間距、各圓周線的大小、形狀、間距半徑仍保持半徑仍保持2. 軸向軸向保持不變保持不變直線直線保持為平面保持為平面無伸縮；無伸縮；仍近似為直線，仍近似為直線， 只是傾斜了一個角度；只是傾斜了一個角度；觀察小方格的變化觀察小方格的變化小方格小方格平行四邊形平行四邊形基本假設基本假設橫截面在變形后橫截面

9、在變形后大小、大小、半徑半徑平面假設平面假設仍然保持為平面；仍然保持為平面；形狀、形狀、 間距間距不變不變；仍保持為直線；仍保持為直線；結論結論橫截面：橫截面：像像剛性平面剛性平面一樣，一樣，只是繞軸線只是繞軸線旋轉旋轉了一個角度。了一個角度。二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：1. 變形幾何關系：變形幾何關系：xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉角沿長度方向變化率。2. 物理關系：物理關系：虎克定律：代入上

10、式得： GxGxGGddddxGdd 3. 靜力學關系：靜力學關系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關系式 得：xGdd pIT切應力與半徑成正比切應力與半徑成正比pIT切應力與扭矩同向的順流切應力與扭矩同向的順流縱向面內切應力縱向面內切應力pIT橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點切應力計算公式處任一點切應力計算公式（實心截面）（實心截面）危險點的位置危險點的位置圓截面邊緣處；圓截面邊緣處；pIRT pmaxITtmaxWTRIWPt令抗扭截面系數抗扭截面系數討論討論1.僅適用于各向同性、僅適用于各向同性、線彈

11、性材料，線彈性材料，在小變形條件下的在小變形條件下的等等圓截面圓截面桿；桿；公式的適用范圍公式的適用范圍2.在材料的比例極限范圍內在材料的比例極限范圍內 AdI2Ap實心圓截面：實心圓截面： d2I2D02p32D I4Pd2 dA16DW 3t截面的極慣性矩和抗扭截面系數計算截面的極慣性矩和抗扭截面系數計算空心圓截面：空心圓截面： AdI2Ap)(Dd )dD(3244)1(16D W43t)1(32DI44p d2 Ad d2I2D2d2p實心軸與空心軸實心軸與空心軸 Ip 與與 Wt 對比對比空心圓截面的扭轉切應力分布空心圓截面的扭轉切應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構

12、件：提高強度，節約材料，重量輕，工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重量輕， 結構輕便，應用廣泛。結構輕便，應用廣泛。圓軸扭轉時的破壞圓軸扭轉時的破壞圓軸扭轉時的破壞圓軸扭轉時的破壞塑性材料（低碳鋼）塑性材料（低碳鋼）脆性材料（鑄鐵）脆性材料（鑄鐵）圓軸扭轉時的強度計算圓軸扭轉時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用切應力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度：校核強度： 設計截面尺寸：設計截面尺寸： 計算許可載荷：計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt1. 1. 等

13、截面圓軸：等截面圓軸：2. 2. 階梯形圓軸：階梯形圓軸： 例例1 1 功率為功率為150150kW，轉速為轉速為15.415.4轉轉/ /秒的電動機轉秒的電動機轉子，許用切應力子，許用切應力 =30=30M Pa, Pa, 試校核其強度。試校核其強度。D3 =135D2=75D1=70MMnP9.549mm)(kN55. 1：扭矩圖計算并校核切應力強度計算并校核切應力強度此軸滿足強度要求。此軸滿足強度要求。MPa23160701055133max.WTt計算外力偶矩T=mTxD3 =135D2=75D1=70MM例例2：已知：已知：P7.5kW, n=100r/min，最大切應力最大切應力不

14、得超過不得超過40MPa,空心圓軸的內空心圓軸的內外直徑之比外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。二軸長度相同。求求: 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外直和空心軸的外直徑徑D2；確定二軸的；確定二軸的重量之比。重量之比。計算外力偶矩計算外力偶矩實心軸實心軸31616 716 20 045m=45mm40 10d.max13111640MPaxxPMMWdTTP7.5kW, n=100r/min，最大切應力，最大切應力不不得超過得超過40MPa, = 0.5。二軸長度相同。二軸長度相同。7 595499549716 2N m100.xPMTn空心軸空心軸 = 0.5 d2=23 mm32

15、4616 716 20 046m=46mm 1-40 10D.max234221640MPa1xxPMMWDTT確定實心軸與空心軸的重量之比確定實心軸與空心軸的重量之比空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 實心軸實心軸d d1 1=45 mm=45 mm長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA1、計算抗扭截面模量：、計算抗扭截面模量：)1(D16W43t)2(1 1643DtDD361024.29m2、軸的最大切應力、軸

16、的最大切應力例例3 某汽車傳動軸，用某汽車傳動軸，用45號鋼無縫鋼管制成，其外徑號鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用時最大扭矩為，使用時最大扭矩為T=1500 N.m, =60MPa。試校。試校核此軸的強度核此軸的強度,若此軸改為實心軸，并要求強度仍與原空心軸相若此軸改為實心軸，并要求強度仍與原空心軸相當，則實心軸的直徑當，則實心軸的直徑 為多少？為多少？1DtmaxWTMPa3 .511024.2915006MPa60所以此軸安全。所以此軸安全。3、若此軸改為實心軸、若此軸改為實心軸MPa3 .51WTtmax31tD16WmMDx053. 0103 .5116

17、36max,1實心軸的橫截面面積為實心軸的橫截面面積為2114DA22205mm空心軸的橫截面面積空心軸的橫截面面積2222687)(4mmdDA空心軸與實心軸的重量之比：空心軸與實心軸的重量之比：%3122056871212AAGG因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節約材料、比較經濟。約材料、比較經濟。實心與空心對比實心與空心對比采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節約材料。采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節約材料。從截面的幾何性質分析從截面的幾何性質分析: :采用空心軸的優勢采用空心軸的優勢軸心附近處的應力很小，軸心附近處的應力很小，根據應力

18、分布規律根據應力分布規律:實心軸的軸心附近處的材料沒有較好地發揮其作用；實心軸的軸心附近處的材料沒有較好地發揮其作用；其極慣性矩其極慣性矩Ip必大于實心軸，必大于實心軸，扭轉截面系數扭轉截面系數Wt也比較大，也比較大，強度和剛度均又提高；強度和剛度均又提高；橫截面面積相同的條件下，橫截面面積相同的條件下， 空心軸材料分布遠離軸心，空心軸材料分布遠離軸心，1、受扭圓軸某截面的扭矩為、受扭圓軸某截面的扭矩為T20KN，直徑為，直徑為D100毫米。求該截面、三點的剪應力，毫米。求該截面、三點的剪應力，并在圖中標示出方向。并在圖中標示出方向。acbTD/42、內外徑分別為、內外徑分別為20毫米和毫米和

19、40毫米的空心圓軸承受扭毫米的空心圓軸承受扭矩矩T1KNm的作用，計算的作用，計算A點（到圓心的距離為點（到圓心的距離為15毫米）的剪應力，并畫出剪應力的分布圖。毫米）的剪應力，并畫出剪應力的分布圖。A3、作扭矩圖，并求最大剪應力。、作扭矩圖，并求最大剪應力。M1600NmM2=200Nmd=40d=304、n=80r/min，軸的許用剪應力，軸的許用剪應力60MP，設計實心軸的直徑。設計實心軸的直徑。PAPB=20KWPC=40KW5、已知軸傳遞的功率，如果二段軸內的最大、已知軸傳遞的功率，如果二段軸內的最大剪應力相等，求二段軸的直徑之比。剪應力相等，求二段軸的直徑之比。300KWPB=20

20、0KWPC=500KW6、圓軸的外經為、圓軸的外經為D90毫米，壁厚為毫米，壁厚為2.5毫米。毫米。承受的內徑為承受的內徑為T1500N。軸的許用應力為。軸的許用應力為60MP，校核強度。，校核強度。7、畫出下列各圖的剪應力的分布規律。、畫出下列各圖的剪應力的分布規律。T空心T內碳鋼、外內碳鋼、外合金鋼合金鋼T圓軸扭轉變形圓軸扭轉變形,剛度條件剛度條件一、扭轉時的變形一、扭轉時的變形pGITx dd 長為長為 l一段桿兩截面間相對扭一段桿兩截面間相對扭轉角轉角 為 xdGIT dl0p值值不不變變）若若 T( GITl p抗變形剛度抗變形剛度桿件長度桿件長度內力內力扭轉角（扭轉角（）：）：任意

21、兩截面繞軸線轉動而發生的相對角位移。任意兩截面繞軸線轉動而發生的相對角位移。niPiiiGIlT1如果內力沿軸線變化，或截面尺寸發生變化如果內力沿軸線變化，或截面尺寸發生變化二、單位長度扭轉角二、單位長度扭轉角 ：(rad/m) dd pGITx/m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 或GIp:截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度; 反映了截面抵抗扭轉變形的能力。反映了截面抵抗扭轉變形的能力。稱為許用單位扭轉角。稱為許用單位扭轉角。)/(180TmaxmaxmGIP單位： 的數值按照對機器的要求決定：

22、的數值按照對機器的要求決定：精密機器的軸：精密機器的軸：m/)5 .025.0(一般傳動軸：一般傳動軸：m/)15 .0(精度要求不高的軸：精度要求不高的軸：m/)5 .21 (剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度：校核剛度： 設計截面尺寸：設計截面尺寸： 計算許可載荷：計算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時，還可依據此條件進行選材。有時，還可依據此條件進行選材。mKNM.81mKNM.32LBLC1M2MA例例1 圖示等截面圓軸，已知圖示等截面圓軸，已知d=90mm ,L=50cm, 軸的材料為鋼，軸的材料為鋼，G=80GPa,求（求（1）軸的最大切應力

23、；）軸的最大切應力； （2）截面）截面B和截面和截面C的扭轉角；的扭轉角； （3）若要求）若要求BC段的單位扭轉角與段的單位扭轉角與AB段的相等，則在段的相等，則在BC段段鉆孔的孔徑鉆孔的孔徑d 應為多大？應為多大？mKN.5mKN .3(1)軸的最大切應力軸的最大切應力m.KN5TmaxmaxpTW3316105dMPa5 .25Td=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mKNM.81mKNM.32ABCLBLC1M2MA（2）扭轉角）扭轉角截面截面B：pABABABBGIlT178.0rad00311.0lmBlmC1M2MAd=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mK

24、NM.81mKNM.32mKN.5mKN .3TABCACCrad00125.0BCAB00311.0072.0pBCBCGIlT（3）BC段孔徑段孔徑dBCABBCpBCABpABGITGITABBCABp44BCpTTI)dd(32Icm8m08. 0dlmBlmC1M2MA某傳動軸設計要求轉速某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率輸入功率P1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 P2 = 200馬力及馬力及 P3 = 300馬力，已知：馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC

25、段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排主動輪與從動輪如何安排,軸的受力合理？軸的受力合理？ 500400P1P3P2ABCm)(kN0247nN.m7.024 4.21Tx(kNm)1、內力圖 500400P1P3P2ABCWTt mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td2 按強度設計直徑 G180T32d I4 p按剛度條件設計直徑按剛度條件設計直徑Tx7.0244.21(kNm) 500400P1P3P2ABC180GITPmm4 .74d2 mm84d1

26、mm75 mm8521 d,d全軸選同一直徑時全軸選同一直徑時 mm851 dd 4.21Tx(kNm)2.814A輪和B輪應該換位。軸的合理受力軸的合理受力扭矩的扭矩的絕對值最大者越小越合理；絕對值最大者越小越合理；換位后,軸的扭矩如下；軸的最大直徑為 75mm。 P3P1P2ABC1、M10.8KNm，M3=1.5KNm，d1=4厘米，厘米，d2=7厘米，厘米，,G=80Gpa，求，求AC二截面的相對轉角，及二截面的相對轉角，及軸內最大的單位長度扭轉角。軸內最大的單位長度扭轉角。M3AM2M1Cd2d10.8m1m2、軸的外經為、軸的外經為 D76毫米，厚毫米，厚2.5毫米，承毫米，承受的

27、扭矩為受的扭矩為T1.98KN， 剪變模量剪變模量G80GP，許用扭轉角，許用扭轉角2度度/m,許用剪應力許用剪應力為為100MP。校核該軸。校核該軸。3 3、傳動軸每分鐘、傳動軸每分鐘200200轉，主動輪轉，主動輪2 2輸入輸入8080馬力，馬力，1 1、3 3、4 4、5 5分別輸出分別輸出2525馬力、馬力、1515馬力、馬力、3030馬力、馬力、1010馬力。馬力。 剪變模量剪變模量G G80GP80GP，許用扭轉角，許用扭轉角0.50.5/m,/m,許許用剪應力為用剪應力為60MP60MP。: :按等截面設計軸的直徑；按等截面設計軸的直徑；：此軸承受的外力合理嗎？如果不合理，請重新

28、：此軸承受的外力合理嗎？如果不合理，請重新安排齒輪的位置，此時按等截面設軸的直徑；：安排齒輪的位置，此時按等截面設軸的直徑；：在合理安排齒輪的條件下，采用變截面，求每一段在合理安排齒輪的條件下，采用變截面，求每一段軸的直徑。軸的直徑。213454、空心軸、空心軸1(外經外經D1，內徑，內徑)緊套在實心軸緊套在實心軸2（直（直徑為徑為2）上整體受扭，二軸的扭轉剛度分別為）上整體受扭，二軸的扭轉剛度分別為G1IP1，G2IP2，共同承受的扭矩為，共同承受的扭矩為M，求二軸內，求二軸內各自的最大剪應力各自的最大剪應力M5、AB段長為段長為1米，米，BC段長為段長為0.5米，米，P1KN，G80GP，

29、 AB70MPa。:設計設計AB段軸的直徑。段軸的直徑。如果如果AB70MP，求由于軸的扭轉而引起的，求由于軸的扭轉而引起的C點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。(BC段的變形不計段的變形不計)ABCP6、實心圓軸的直徑為、實心圓軸的直徑為D,受力如圖受力如圖,求求AC二截面的二截面的相對轉角、軸內的最大剪應力。相對轉角、軸內的最大剪應力。M2MaaAC7、實心圓軸直徑為、實心圓軸直徑為D100毫米，在外力偶毫米，在外力偶M1、M2的作用下，的作用下，AC段內的最大剪應力為段內的最大剪應力為50MP。自由端相對于固定端扭轉了自由端相對于固定端扭轉了0.1弧度。弧度。G80GP，作軸的扭矩圖。作軸的扭矩

30、圖。M2M11m1mAC8 階梯狀圓軸，階梯狀圓軸，D1120毫米，毫米，D2100毫米，毫米，AB=BC=1m，G80GP，M215KN，若使，若使AC二截面的相對轉角為二截面的相對轉角為0，求，求M1？軸內的最？軸內的最大剪應力？大剪應力？M2ABCM1D19、等截面傳動軸的轉速為、等截面傳動軸的轉速為n191轉轉/分，由分，由A輪輸入輪輸入的功率為的功率為8KW，由，由B、C、D各輪輸出的功率分別為各輪輸出的功率分別為3KW，1KW，4KW。已知軸的許用剪應力為。已知軸的許用剪應力為60MPa，剪變模量為，剪變模量為G80GPa，許用轉角為，許用轉角為20/m。要求：首先合理安排各輪的位

31、置，然后繪出。要求：首先合理安排各輪的位置，然后繪出軸的內力圖，確定軸的直徑軸的內力圖，確定軸的直徑D。20020020010、外徑、外徑100毫米，內徑毫米，內徑80毫米的空心圓軸，與一直徑為毫米的空心圓軸，與一直徑為80毫毫米的實心圓軸用平鍵連接。傳遞的力偶矩如圖。已知軸的許米的實心圓軸用平鍵連接。傳遞的力偶矩如圖。已知軸的許用剪應力為用剪應力為45MPa，平鍵的尺寸為，平鍵的尺寸為101030。鍵的許。鍵的許用剪應力為用剪應力為100MPa，許用的擠壓應力為，許用的擠壓應力為bs=280MPa。（1）校核軸的強度（不考慮鍵槽的影響）（）校核軸的強度（不考慮鍵槽的影響）（2）確定平鍵的）確

32、定平鍵的個數（個數（3）如何安排圓輪比較合理）如何安排圓輪比較合理3010105KNm2.5KNm2.5KNm解決扭轉超靜定問題的方法解決扭轉超靜定問題的方法靜力學關系；靜力學關系；物理關系；物理關系；補充方程；補充方程；變形協調關系；變形協調關系；聯立求解；聯立求解；圓軸扭轉超靜定問題圓軸扭轉超靜定問題三關系法三關系法步驟步驟例例2,2,一組合桿由實心桿一組合桿由實心桿1 1和空心管和空心管2 2結合在一起所結合在一起所組成，桿和管的材料相同。剪切模量為組成，桿和管的材料相同。剪切模量為G,G,試求組試求組合桿承受外力偶矩合桿承受外力偶矩M M以后，桿和管內的最大剪應力以后，桿和管內的最大剪

33、應力; ;12MM2d1d補充方程補充方程)dd(dTT41424121（4）補充方程與靜力平衡方程聯立）補充方程與靜力平衡方程聯立,ddMT424114241422d)dd(MT（3）變形協調關系）變形協調關系21T12（1 1）靜力學關系）靜力學關系TTT21（2）物理關系：）物理關系： ,d32GlT4111)dd(32GlT414222（5）最大切應力）最大切應力桿桿1 1：管管2 2：1t11WT311d16T42116dMd2t22WT)dd(1d16T4213223216dM練習練習 一兩端固定的圓截面桿一兩端固定的圓截面桿AB受力偶矩作用如圖。受力偶矩作用如圖。要求要求：1）作

34、扭矩圖；）作扭矩圖；2）若）若M=10KN.m,材料的材料的 =60MPa，試選擇此等直圓截面桿直徑。試選擇此等直圓截面桿直徑。MABClMDll扭轉靜不定問題的解法：扭轉靜不定問題的解法：（1）建立靜力平衡方程；）建立靜力平衡方程；（3）變形協調條件；）變形協調條件；（4） 補充方程；補充方程；pGIlT（5）補充方程與靜力平衡方程聯立求解）補充方程與靜力平衡方程聯立求解（2）應用扭矩與相對扭轉角之間的物理關系）應用扭矩與相對扭轉角之間的物理關系材料扭轉破壞的力學性質材料扭轉破壞的力學性質低碳鋼的扭轉破壞低碳鋼的扭轉破壞觀察破壞方位；觀察破壞方位；分析破壞原因；分析破壞原因；鑄鐵的扭轉破壞鑄

35、鐵的扭轉破壞觀察破壞方位；觀察破壞方位；分析破壞原因；分析破壞原因；36 非圓截面桿扭轉非圓截面桿扭轉非圓截面桿非圓截面桿一、非圓截面桿的自由扭轉一、非圓截面桿的自由扭轉桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，自由扭轉自由扭轉任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。工字鋼截面桿的自由扭轉工字鋼截面桿的自由扭轉橫截面上只有切應力，沒有正應力；橫截面上只有切應力，沒有正應力；平面假設不成立；平面假設不成立；須由彈性力學須由彈性力學方法求解。方法求解。各截面發生翹曲不保持平面；各截面發生翹曲不保持平面；由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用

36、；由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用；對比對比圓截面桿與非圓截面桿的自由扭轉圓截面桿與非圓截面桿的自由扭轉二、非圓截面桿扭轉時切應力分布規律二、非圓截面桿扭轉時切應力分布規律1、非圓截面桿扭轉時，橫截面邊緣上各點的剪應力、非圓截面桿扭轉時，橫截面邊緣上各點的剪應力形成與邊界相切的順流。形成與邊界相切的順流。2、證明：、證明：1121 1必定等于零；必定等于零；由于縱向面為自由表面；由于縱向面為自由表面；故邊緣上一點的切應力與邊界相切故邊緣上一點的切應力與邊界相切。三、矩形截面桿自由扭轉時橫截面上的應力分布規律三、矩形截面桿自由扭轉時橫截面上的應力分布規律分布規律分布規律hbh 1T max 注意！b四、約束扭轉四、約束扭轉桿件的變形受到限制，使得相鄰的兩截面翹曲程度不同；桿件的變形受到限制，使得相鄰的