1、正態性檢驗的一般方法姓名：藍何忠學號：1101200203班號：1012201正態性檢驗的一般方法【摘要】：正態分布是自然界中一種最常見的也是最重要的一種分布.因此,人們在實際使用統計分析時，總是樂于正態假定，但該假定是否成立,牽涉到正態性檢驗.在一般性的概率統計教科書中，只是把這個問題放在一般性的分布擬合下作簡短處理,而這種萬精油式的檢驗方法,對正態性檢驗不具有特效.鑒于此,該文從不同角度出發介紹正態性檢驗的幾種常見的方法,并且就各種方法作了優劣比較，【引言】一般實際獲得的數據，其分布往往未知。在數據分析中，經常要判斷一組數據的分布是否來自某一特定的分布，比如對于連續性分布，常判斷數據是否來

2、自正態分布，而對于離散分布來說，常判斷是否來自二項分布.泊松分布，或判斷實際觀測與期望數是否一致，然后才運用相應的統計方法進行分析。幾種正態性檢驗方法的比較。一、/擬合優度檢驗：(1)當總體分布未知，由樣本檢驗總體分布是否與某一理論分布一致。H0:總體X的分布歹ij為pX二為=叱i=l,2,H1：總體X的分布不為Pi.構造統計量=£半/=#上電£印仙I)芻np.其中L為樣本中/發生的實際頻數，口也為H0為真時發生的理論頻數。(2)檢驗原理若/=0,則門二口巳，意味著對于%,觀測頻數與期望頻數完全一致，即完全擬合。觀察頻數與期望頻數越接近，則產值越小。A當原假設為真時，有大數

3、定理，有與Pi不應有較大差異，即/值應較小。若/值過大，則懷疑原假設。拒絕域為R=/之王，判斷統計量是否落入拒絕域，得出結論。二、Kolmogorov-Smirnov正態性檢驗：Kolmogorov-Smirnov檢驗法是檢驗單一樣本是否來自某一特定分布。比如檢驗一組數據是否為正態分布。它的檢驗方法是以樣本數據的累積頻數分布與特定理論分布比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分布族。即對于假設檢驗問題:H0:樣本所來自的總體分布服從某特定分布H1：樣本所來自的總體分布不服從某特定分布統計原理：Fo(x)表示分布的分布函數，Fn(x)表示一組隨機樣本的累計概率函數。F2,n設D為Fo(

4、x)與Fn(x)差距的最大值，定義如下式：D=max|Fn(x)-Fo(x)對于給定的a,PDnd于a.例如：35位健康男性在未進食前的血糖濃度如表所示，試測驗這組數據是否來自均值口二80,標準差。二6的正態分布8777926880788477818080779286768081757772819084868068778776777892758078n=35檢驗過程如下：假設H0:健康成人男性血糖濃度服從正態分布H1:健康成人男性血糖濃度不服從正態分布計算過程如表:血糖濃度(X)次數(f)累計次數(F)Fn(x>Fn標準化值Z=(x-U).C理論分布F0(x)D682X0.05*1-2.

5、000.02280.0272240.11434.330.09349175260.1714-0.830.20330.02762S0.2286-0.670.251409776140.4000-0.500.30850.03783170.4857-0.330.370719806230.657100.50000.02813260.74290.170.567528842280.80000.670.74860.09862300.85/11.000.841315872320.91431.170.87900.11923351.00002.000.9772500.15710.17540.05140.01580.0

6、3530.0228結論：上表中的理論值l'o(x)是根據標準化值Z查表得到，實際上D=max|Fn(x)-Fo(x)|=0.1754<Do.55,35=°-23查D值表，故不能拒絕HO即健康成年男人血糖濃度服從正態分布，當樣本容量n大時可以用Da,n=1.36/求得結果，如上述DO.55,35=1.36/=0.2299=0.23結論：當實際觀測D>Dn,則接受Hl,反之則不拒絕H0假設。/擬合優度檢驗與K-S正態檢驗的比較：/擬合優度檢驗與K-S正態檢驗都采用實際頻數與期望頻數進行檢驗。它們之間最大的不同在于前者主要用于類別數據，而后者主要用于有計量單位的連續和定

7、量數據，擬合優度檢驗雖然也可以用于定量數據，但必須先將數據分組得到實際觀測頻數，并要求多變量之間獨立，而K-S正態檢驗法可以不分組直接把原始數據的n個觀測值進行檢驗，所以它對數據的利用較完整。三、Lilliefor正態分布檢驗該檢驗是對Kolmogorov-Smirnov檢驗的修正，當總體均值和方差未知時，Lilliefor提出用樣本均值和標準差代替總體的期望和標準差，然后使用Kolmogorov-Smirnov正態性檢驗法，它定義了一個D統計量；a人22D=maxIFn(x)-Fo(x)|參數未知，由a=S計算得到統計量，查表得Lilliefor檢驗的臨界值，確定拒絕域,得出結論。四、偏度峰

8、度檢驗法：(一)偏度檢驗：設隨機變量X具有數學期望以6R和方差/>0,”瓦為X的偏度，所謂偏度檢驗就是檢驗如下假設：“0：跖二0%:曬手。注意到，拒絕原假設”。，則可以認為樣本不是來自正態總體。接受原假設”。，并不等價于接受原假設“樣本來自正態總體:這是因為任對稱分布的偏度都為0,無法排除樣本來自非正態的對稱分布的可能。因此，偏度檢驗只能檢驗數據分布的對稱性。由于總體分布未知，無法直接得到總體的偏度，故可以利用樣本偏度作為檢驗上述假設的檢驗統計量，記i=1定義1設勺,“2,，/為隨機變量X的n個相互獨立的樣本，偏度檢驗的檢驗統計量為m(%-歹g=q32hJL12“23(2)21=1(*)

9、常被用于雙尾檢驗，因為非正態分布可能出現左偏，也可能出現右偏。在原假設成立時，瓦”0,在顯著性水平aE(0,1)下取定分位點若N旬-嚎巴則拒絕原假設。事實上,M的分布是對稱的,因此采取雙尾檢驗的做法是合理的。定理1設也為(*)式中定義的偏度檢驗統計量，貝拄伉匕漸進服從均值為0,方差為6的正態分布，即、國.N(0,6)(Nts)樣本容量有限的情形，使用漸進情形下的結論就會導致較高的出錯率，這也是偏度檢驗的一個缺陷。需要指出的是，只有在確定對稱性是唯一影響分布的形態時，偏度檢驗才是合適的選擇，否則應該避免使用偏度檢驗。(二)峰度檢驗設隨機變量X具有數學期望NCR和方差/>0,”為X的峰度，所

10、謂峰度檢驗，實際上是將正態性檢驗轉化為檢驗如下假設：盛能=33：/芋3如同偏度檢驗一樣，峰度為3的非正態分布也是存在的。所以,接受原假設”。并不能表明X一定服從正態分布，這一事實也導致對數據的正態性檢驗會有一定的出錯率。定義2設，4為隨機變量X的n個相互獨立的樣本，峰度檢驗的檢驗統計量為b2m辦歹）41 = 12 m2比（3歹）2,1 = 1（*2）定理2設為為(*2)式中定義的峰度統計量，則而（b-3）tN（0,24）九T8同偏度統計量一樣,的收斂速度也是比較慢的.五、小樣本場合（3<n<50）的W檢驗w檢驗是檢驗樣本容量nW50時，樣本是否符合正態分布的一種方法。其檢驗步驟如下

11、：將數據按數值大小重新排列，使xlWx2<Wxn；計算之區-對1=1計算式中：當n為偶數時，i=n/2；n為奇數時，i二（n1）/2；值可查表得出；計算檢驗統計量5/2£q（X廠X）t-xy/=1若w值小于判斷界限值Wa（可通過查表求得），按表上行寫明的顯著性水平a舍棄正態性假設；若W>Wa,接受正態性假設。六、大樣本場合（50<n<100）的D檢驗檢驗統計量:包-野方D=(向E(x-w再令(。-0.28209479)、歷Y=0.2998598則在顯著性水平a時，拒絕域為卜工丫的2或丫之片一哂。其中y<%/2和Y"1_哂分別為Y的a/2和1-a/2分位數。