1、正比例和反比例內部講義與練習知識點一：正比例和反比例的意義（1）正比例1、兩種相關聯的量,一種量變化，另一種量也隨著變化，這兩個量就是相關聯的量。如果這兩種量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，它們的關系叫做正比例關系用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示一定的量，那么正比例關系可以寫成：例如，總價隨著數量的變化而變化，總價和數量的比的比值（單價）是一定的，我們就說，總價和數量是成正比例的量。工總xM=工效（一定）工總和工時是成正比例的量證=速度（一定）所以路程與時間成正比例。（2）反比例兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做

2、成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示一定的量，那么反比例關系可以寫成：xXy=k（一定）例如，長乂寬=面積（一定）長和寬是成反比例的量每本的頁數X裝訂的本數=紙的總頁數（一定）每本的頁數和裝訂的本數是成反比例的量掌握：我們研究的一定是兩個量，無論什么公式都至少有三個量，我們前面說過，要研究兩個量的關系，一定要固定第三個量，也就是說讓它不變，這是本單元的核心所在，如果第三個量不固定，就談不上什么正比例還是反比例知識點二：正比例和反比例有什么相同點和不同點？（1）相同點：正、反比例都是研究兩種相關聯的量之間的關系，即一種量變化，另一種量也隨著變化。（2）

3、不同點：正比例是兩種相關聯的量一種量擴大幾倍，另一種量就擴大相同的倍數：兩個數的比值（商）反比例是兩種相關聯的量一個量擴大幾倍，另一個量就縮小幾倍.兩個數的積一定。噸數/知識點三：正反比例的圖像1、某造紙廠每小時造紙1.5噸，2小時、3小時各造紙多少噸?1)把下表填寫完整。造紙時間/時1234造紙噸數/噸1.5(2)根據表中的數據，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數對應的點，再把它們連起來。(3)造紙噸數與造紙時間成正比例嗎？為什么?(4)根據圖像判斷，5小時造紙多少噸？2、(正比例的圖像)磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關系如下時間/分1234567路程/千米7142128354249(1)圖

4、中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點(2)連接各點，它們在一條直線上嗎？/千米(3)根據圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米？行駛 30千米大約需要幾分鐘?路程時間/分知識點四：判斷正反比例判斷兩種量是否成正比例的應用方法：1、判斷兩個是否相關聯2、判斷這兩個量的比值是否一定，比值一定就成正比例關系；反之不成正比例關系3、（簡說：用除法，商一定，成正比）判斷兩種量是否成反比例的應用方法：1、判斷兩個是否相關聯；2、判斷這兩個量的積是否一定，積一定就成反比例關系；反之不成反比例關系2、（簡說：用乘法，積一定，成反比）例：【典型例題】工作總量

5、一定，工效和時間成反比例工效一定，工作總量和時間成正比例時間一定，工作總量和工效成正比例總價一定，單價和數量成反比例單價一定，總價和數量成正比例數量一定，總價和單價成正比例總產量一定，單產量和數量成反比例單產量一定，總產量和數量成正比例數量一定，總產量和單產量成正比例煤的總量一定，每天的燒煤量和燒的天數成反比長方形面積一定，它的長和寬成反比樹的總棵數一定，每行種的棵數與行數成反比每天看書頁數一定，天數和看書的總頁數成正比分數的值大小一定，這個分數的分子與分成正比單價一定，數量和總價成正比正方形的邊長和它的面積成正比工作時間一定，工作效率和工作總量成正比路程一定，速度和時間成反比一堆貨物一定，運

6、出的和剩下的成反比煤的總量一定，每天的燒煤量和燒的天數成反比長方形面積一定，它的長和寬成反比樹的總棵數一定，每行種的棵數與行數成反比反比例：1.百米賽跑，路程100米不變，速度和時間是反比例；2 .排隊做操，總人數不變，排隊的行數和每行的人數是反比例；3 .做紙盒子，總個數一定，每人做的個數和人數成反比例；4 .買東西（實際就用文具用品），總錢數一定，它的單價和數量是反比例;5 .長方形的面積一定，長和寬是反比例；6 .長方體的體積一定，底面積和高是反比例。7 .等分一塊蛋糕，每人分到的蛋糕與人數成反比例。8 .總價一定，單價與數量成反比例.9 .長方體體積一定，底面積與高成反比例10 .總紙

7、盒一定，每人做的個數與人數成反比例1、總產量一定，每公頃的產量和公頃數是不是成反比例？為什么？2、和一定，一個加數和另一個加數成反比例。點評：有些相關聯的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也不是比值定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數一定，被減數和差等。（1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？（2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？分別說明大米的總千克數、每天吃的千克數和天數這三種量中，每兩種量的比例關系。（1）大米的總千克數一定，每天吃的千克數和天數；（2）每天吃的千克數一定，大米的總千克數和天數；（3）天數一定，大米的總

8、千克數和每天吃的千克數。（1）因為每天吃的千克數x天數=大米的總千克數（一定），所以大米的總千克數一定時，每天吃的千克數和天數成反比例。（2）因為一卷一=每天吃的千克數（一定）,所以每天吃的千克數一定時,大米的總千克數和天數成正比例。（3）因為=天數（一定），所以天數一定時，大米的總千克數和每天吃的千克數成正比每天吃的千克數例。練習：（判斷是否成反比例）2、用一批紙裝訂練習本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。題中（）量一定，關系式：（）。（）=（）（一定），（）和（）成（）比例。3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正

9、方形地磚，需要Y塊題中（）量一定，關系式：（）。（）=（）（一定），（）和（）成（）比例。4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中當底面周長一定時，（）與（）成（）比例；當高一定時，（）與（）成（）比例；當側面積一定時，（）與（）成（）比例。5、在被除數、除數、商這三種量中，當（）一定時，（）與（）成正比例；當（）一定時，（）與（）成反比例；6、在行程問題中，當路程一定時，（）與（）成反比例；當速度一定時，（）與（）成正比例當時間一定時,）成正比例6、當 a x b = c（a、b、c為三種量，且均不為0）。（）一定，（）與（）成（）比例；（）一定，（）與（）成（）比例;（）一定，（）與（）

10、成（）比例;7、判斷（1）、工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例。（）（2）、圖上距離和實際距離成正比例。（）（3）、X和Y表示兩種變化的相關聯的量，同時5X7Y=0,X和Y不成比例。（）（4）、分數的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）（5）、在一定的距離內，車輪周長和它轉動的圈數成反比例。（）（6）、兩種相關聯的量，不成正比例，就成反比例。（）（7）訂閱小學數學評價手冊的份數與所需錢數成正比例。（）（8）在400米賽跑中，跑步的速度和所用時間成反比例。（）（9）工作總量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。（）（10）正方體的棱長和體積成正比例。（）（11）被除數一定，除數和商成反比

11、例。（）（12）圓的周長和它的直徑成正比例。（）（13）路程與時間成正比，時間與速度成反比。（）8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1）、裝配一批電視機，每天裝配臺數和所需的天數（）。（2）、正方形的邊長和周長（）。（3）、水池的容積一定，水管每小時注水量和所用時間（）。（4）、房間面積一定，每塊磚的面積和鋪磚的塊數（）。（5）、在一定時間里，加工每個零件所用的時間和加工零件的個數（）。（6）、在一定時間里，每小時加工零件的個數和加工零件的個數（）。9、思考：明明三歲時體重12千克，十一歲時體重44千克。于是小張就說：“明明的體重和身高成正比例你認為小張的說法對嗎

12、？為什么？10、某造紙廠每小時造紙1.5噸，2小時、3小時各造紙多少噸?噸數/（3）造紙噸數與造紙時間成正比例嗎？為什么?（4）根據圖像判斷，5小時造紙多少噸？題型一：根據圖標填寫信息例1:購買面粉的重量和錢數如下表，根據表填空。重量(千克)123456總價(元)1.93.85.77.69.511.4(1)()和()是兩種相關聯的量，()隨著()的變化而變化。)元。(2)與總價7.6元相對應的重量是()千克；與6千克相對應的總價是(3)總價與重量中相對應的兩個數的比值所表示的意義是()。(4)因為比值一定，所以表中總價和重量叫做成()的量。題型二：根據關系式正比例反比例的判斷例2:判斷下面兩種

13、相關聯的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。(1)瓷磚面積一定，瓷磚的塊數和瓷磚的面積。(2)鋪地面積一定，每塊磚的面積和所需塊數。(3)鋪地面積一定，方磚的邊長和所需塊數。(1)生產總時間一定，生產一個零件的時間和個數。(2)生產一個零件的時間一定，生產零件的總時間和個數。(1)圓的周長和半徑。(2)圓的周長一定，圓周率和直徑。(3)圓的面積和半徑的平方。例3:判斷下面各題中的兩種量成不成比例(在括號里填上“成正比例”或“不成正比例”)。(1)正方形的面積和邊長。()(2)比的前項一定，比的后項和比值。()(3)人的體重和身高。()(4)每本書的單價一定，買書的本數與總價。()(5)出粉率

14、一定，小麥的重量和出粉重量。()(6)正方體的體積和棱長。()(7)產品合格率一定，產品合格數和產品總數。()(8)工作時間一定，工作總量和工作效率。()例4：判斷下面每題中的兩種量成什么比例關系，并說明理由。（1）每公頃施肥量一定，施肥總量與公頃數。（2）每臺織布機的每小時織布的米數一定，織布的總米數和所用的小時數。（3）汽車行1千米的耗油量一定，汽車所行路程和總耗油量。（4）同一輛汽車所行駛的路程和車輪轉數。例題9：判斷下列各題的兩種量是否成比例？如果成，成什么比例？（1）工作效率一定，工作時間和工作總量。（）（2）貨物總數一定，每次運貨噸數和運貨次數。（）（3）路程一定，已走路程和剩下路

15、程。（）（4）圓的半徑和面積。（）（5）平行四邊形的底和面積。（）（6）在太陽照射下，同時同地的竿高和影長。（）（7）煤的總量一定，每天燒煤量和可燒的天數。（8）ab=c,c一定，a和b。（）（9）分數值一定，分子和分母。（）（10）路程一定，車輪的直徑和轉動的周數。（【鞏固練習】（1）比例尺一定，圖上距離與實際距離成（）比例。（2）圓的半徑和面積（）比例。（3）三角形的高一定，它的面積和底成（）比例。（4）訂閱中國少年報的錢數和份數成（）比例。（5）圓的直徑和周長成（）比例。（6）差一定，被減數和減數（）比例。（7）圓錐的高一定，底面積和它的體積（）比例。（1） 每公頃的施肥量一定，施肥總量

16、與公頃數成（）比例。（2） 要修的路程一定，每天修的路程與天數成（）比例。（3） 肥料總數一定，每平方米施肥量和平方米成（）比例。（4） 錢的總數一定，鉛筆數量和單價成（）比例。（5） 制造一批零件的個數一定，制造一個零件的時間和需要的總時間成()比例。A.成正比例B.成反比例C.不成比例(1)平行四邊形的底一定，高和面積。()(2) 積一定，一個因數與另一個數。()(3) 一本書的頁數一定，已看的頁數和沒看的頁數。()(4) 工作效率一定，工作總量和工作時間。()下面各題中的兩種量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并說明理由。1、每個小朋友分的餅干數一定，餅干數的總塊數和分的人數。2、每

17、箱梨的重量一定，箱數和總重量。3、正方形的周長和邊長。4、正方形的面積和邊長。5、讀一本書，每天讀的頁數和讀的天數。6、一箱飲料的數量一定，賣出的和剩下的。7、三角形的底一定，它的面積和高。8、每袋面粉的質量一定，面粉的總質量和袋數。9、一個人的年齡和體重。10、長方形的周長和寬。11、長方形的長一定，面積與寬。12、三角形的高一定，面積與底。13、圓的面積與半徑。14、正方形的周長和邊長。15、一個班級的男生人數和女生人數。16、每箱蘋果個數一定，運來蘋果的箱數與蘋果總個數。17房屋地面的面積一定，鋪地磚的塊數與每塊地磚的面積。18、每塊地磚的面積一定，鋪地面積與所需地磚的塊數。19、分子一

18、定，分母和分數值。20、三角形的高一定，它的底和面積。21、梯形的上底和下底一定，面積和高。22、圓的周長和直徑。23、車輪的直徑一定，所行駛的路程和轉數。24、被乘數一定，乘數和積。25、積一定，一個因數和另一個因數。26、除數一定，被除數和商。27、從甲地到乙地，行駛的速度和所用的時間。28、每臺電視機的價格一定，購買電視機的臺數和錢數。29、圓柱的側面積一定，它的底面周長和高。30、小明的身高和他的體重。10判斷下面的兩種量成不成比例？成正比例畫，成反比例畫“”，不成比例畫“X”。（1）每小時織布米數一定，織布的總時間和總米數。（）（2）一個人的年齡和他的體重。（）（3）生產總量一定，每

19、天的生產量和生產天數。（）（4）正方形的邊長和面積。（）（5）分母一定，分子和分數值。（）11填空：（1）物品的總價一定，它的單價和數量成（）比例。（2）每公頃的施肥量一定，施肥的公頃數和施肥總量成（）比例。（3）要走的路程一定，已行路程與未行的路程（）比例。（4）比的后項一定，前項和比值成（）比例。（5）甲數是乙數的80%甲數和乙數成（）比例。（6）圓的半徑和它的周長成（）比例。14判斷（對的打“，”，錯的打“X”）（1）生產效率一定，生產的總量和生產的時間成反比例。（）（2）出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。（）（3）汽車速度一定，行駛的路程和所用時間成反比例。（）（4）三角形的

20、高一定，它的面積和底不成比例。（）（5）被減數一定，減數和差成反比例。（）2、用一批紙裝訂練習本，每本25頁，可以裝訂400本。如果要裝訂500本，每本有X頁。題中（）量一定，關系式：（）。（）=（）（一定），（）和（）成（）比例。3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪，需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚，需要Y塊題中（）量一定，關系式：（）。（）=（）（一定），（）和（）成（）比例。題型三：根據圖表成正反比例判斷例：李平和同學星期六騎車去郊游，下圖表示她騎車的路程和時間的關系。李平騎車行駛的路程和時間成正比例嗎？為什么?利用圖估計，李平20分鐘大約行了多少千米？行20千米

21、大約用了多少分鐘？（答案保留整數）例：根據表中兩種量相對應的比值，判斷它們是不是成正比例，并說明理由面粉的袋數（袋）1234面粉的總重量（千克）255075100鋼鐵的重量（千克）7.815.623.431.2鋼鐵的體積（m3）1234【鞏固練習】（4）糖果廠包裝一批糖果，每袋糖果的粒數和裝的袋數如下表:每袋的粒數12152024裝的袋數50403025每袋糖果的粒數和裝的袋數成反比例嗎？為什么?1、仔細觀察每張表格，思考表格中兩種量之間有關系嗎？有什么關系？為什么?表格1數量/本13681020總價/元41224324080表格2單價/元1.523456總價/元6812162024表格3用6

22、0元錢購買筆記本，筆記本的單價和可以購買的數量如下表:單價/元1.523456數量/本403020151210題型四：根據比例關系填表例4:(1)根據義10,填寫下表。xy2035120x28(2)下表中x和y兩個量成反比例，請把表格填寫完整(1)如果x和y成正比例，并且y=20。請完成下表。x在下圖中，描出上題中y與相對應的y20801301000850x1.580.410(21)已知x和y成正比例關系，請完成下列表格。x608y642.4(3)已知x和y成反比例關系，請完成下表。x0.071.40.2y1410(4)小英和媽媽的年齡變化情況如下，把表填寫完整。小英的年齡/歲67891011

23、媽媽的年齡/歲3031母女的年齡成正比例嗎？為什么?10、某造紙廠每小時造紙1.5噸，2小時、3小時各造紙多少噸?(1)把下表填寫完整。造紙時間/時1234造紙噸數/噸1.5(2)根據表中的數據，在下圖中描出造紙時間和造紙噸數對應的點，再把它們連起來。1(3)造紙噸數與造紙時間成正比例嗎？為什么?(4)根據圖像判斷，5小時造紙多少噸?題型五：比例的擴大縮小例5:選擇。(把正確答案的序號填在括號里)相同的倍數。(1)如果兩種相關聯的量成正比例，一種量擴大幾倍，另一種量就(擴大縮小增加減少(2)如果兩種相關聯的量成反比)相同的倍數。擴大縮小增加減少(3)和一定，一個加數和另一個加數(成正比例成反比

24、例不成比例(4)正方形的面積和邊長(成正比例成反比例不成比例(5)甲、乙兩車行同一段路程，甲車需3小時，乙車需5小時，甲、乙兩車速度的比是(11：6題型六：根據關系式，說出哪種量一定，哪兩種量成正比例或反比例。例：根據下面的關系式，說出哪種量一定，哪兩種量成正比例。總價=單價X數量。()一定，()和()成正比例。長方形面積=底><高。()一定，()和()成正比例。xy=z。()一定，()和()成正比例。(4)鋪地面積=方磚面積X方磚塊數。()一定，()和()成正比例。(5)路程=速度X時間。()一定，()和()成正比例。已知ab=c,a、b都不為0。先寫兩個正比例關系式，再填空)

25、和()成正比例。) 和()成正比例。) 成()比例。) 成()比例。) 成()比例。()一定，()一定，(1)速度x時間=路程。速度一定，()和(時間一定，()和(路程一定，()和(2)單價X數量=總價。單價一定，()和()成()比例。數量一定，()和()成()比例。總價一定，()和()成()比例。4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中當底面周長一定時，()與()成()比例；當高一定時，()與()成()比例；當側面積一定時，()與()成()比例。5、在被除數、除數、商這三種量中，當()一定時，()與()成正比例；當()一定時，()與()成反比例；6、當axb=c(a、b、c為三種量，且均不

26、為0)。()一定，()與()成()比例；()一定，()與()成()比例；）成（）比例;拓展例：若x和y是兩種相關聯的量，判斷它們是否成比例，成什么比例（1）若5x=4y,（x,y均不為0）,貝Ux和y成（）比例（2）若二二丫，（x,y均不為0）,則x和丫成（）比例。34x4（3）右二，（x,y均不為0）,則x和y成（）比例。3y（4）若*=丫+5,（x,y均不為0）,則x和y成（）比例。k+3（5）若k一=y,（k一定），（x,y均不為0）,則x和y成（）比例x【鞏固練習】C.不成比例）C.不成比例C.不成比例1 .三角形的高一定，它的面積和底（A.成正比例B.成反比例2 .甲數和乙數互為倒數

27、，則甲數和乙數A.成正比例B.成反比例13 .a是b的-，那么a與b（5A.成正比例B.成反比例）比例；當b 一定時，a ft c M （）比例;a例：如果b.c=1（bw0,cw。），那么，當a一止時，b和cj（當c一定時，a和b成（）比例作業：一、填空1、 判斷分子、分母、分數值一種量一定，另外兩種量成什么比例（1）分子一定，分母和分數值成比例(2)分母一定，分子和分數值成比例。(3)分數值一定，分子和分母成比例。2、 已知Y=k,當定時，另外兩種量成反比例3、路程時間一定時,3口 成正比例。當定時，?口成反比例。4、已知x、y成反比例，完成表格。X41223Y91833.65、已知x、y

28、成正比例，完成表格X1.537256Y1214.50.156、如果6a=5b,那么a:b=:,a:5=7、 有120噸貨物，每次運的噸數和運的次數成（）比例。8、 總價一定，購買算草本的本數和單價成（）比例。9、 工作效率一定，工作總量和工作時間成（）比例。10、 汽車每千米耗油量一定，所行的路程和耗油總量成（）比例二、選擇1、如果3x=8y（x、y者B不等于0）,那么xfty（）A、成正比例B、成反比例C、不成比例D、以上說法都不對2、如果x=Y（x、y都不等于0）,那么xfty（）38A、成正比例B、成反比例C、不成比例D、以上說法都不對3、把一堆化肥裝入麻袋中，麻袋的數量和每袋化肥的重量

29、（）A成正比例B、成反比例C、不成比例D、以上說法都不對4、下列表示x和y成反比例的式子是（）Ax+3y=12B、y=4xGy=-D、y=-xx25、已知kx=y,且x和y都不為0,當k一定時，xfty（）A成正比例B、成反比例C、不成比例D、以上說法都不對6、三種量a,b,h的關系是b=ah,當b一定時，2和h（）A成正比例B、成反比例C、不成比例D、以上說法都不對7、甲數的3是乙數，那么甲數與乙數（）4A成正比例B、成反比例C、不成比例D、以上說法都不對三、判斷題1、正方形的邊長和周長成正比例。（）2、正方形的邊長和面積成正比例。（）3、a是b的5,數a和數b成正比例。（）74、如果4a=

30、3b,那么a:b=3:4。（）5、圓的周長一定，直徑和圓周率成反比例。（：A6、8=b，那么A和B成反比例。（）7、長方體的體積一定，底面積和高成反比例。（）8、如果x與y成反比例，那么3x與y也成反比例。（9、圓的面積與半徑的平方成正比例。（）10、圓錐的體積一定，底面積和高成反比例。（）11、三角形的高一定，底和面積成反比例。（）12、路程一定，車輪的直徑與車輪的轉數成反比例。（13、全班總人數一定，出勤人數和出勤率成正比例。（14、從甲地到乙地，已走路程和未走路程成反比例。（15、減數一定，被減數和差成正比例。（）四、圖表題1、某場一生產車間的生產情況如下表：時間（天）12345678生產量（噸）70140210280350420490560（1）表中有哪兩個量？是不是相關聯的量?（2）寫出幾組這兩種量中相對應的兩個數的比，求出比值，并比較比值的