1、密級： 廣義T-S模糊系統的魯棒控制Robust Control for Descriptor T-S Fuzzy Systems學 院：理學院專 業 班 級：信息與計算科學0602班學 號：060701030學 生 姓 名：王亞歌指 導 教 師：蘇曉明 （教授） 2010年6月I 摘 要在實際應用的控制系統中，各種時域上的硬約束條件是廣泛存在的。對控制系統的高性能要求，往往意味著需要較大的控制動作，這樣就產生了高性能要求和滿足時域硬約束之間的矛盾。如果只考慮系統性能，而不考慮時域硬約束，求出的控制量也遠遠地超出了約束的范圍。在這種情況下，就不能保證閉環系統需要的性能，甚至可能會出現系統不穩定

2、的現象。所以說時域硬約束是控制器設計時必須考慮的因素。廣義T-S模糊系統是在T-S模糊系統模型與廣義系統理論的基礎上衍生的而來的，近年來，廣義T-S模糊系統在控制理論、電路、經濟、機械以及其它領域中得到了廣泛應用。因此，對廣義T-S模糊系統進行研究具有重要的現實意義。本文針對不確定廣義T-S模糊系統，基于廣義Lyapunov穩定性理論和橢圓不變域方法，利用線性矩陣不等式(LMI)技術，分別研究了系統的最優控制問題和H控制問題。首先，考慮初始狀態在非零情況下的不確定廣義T-S模糊系統的最優控制問題，將系統輸出能量作為優化性能指標，得到了優化性能指標和系統橢圓不變域的共同上界。通過最小化系統的這個

3、上界實現了廣義T-S模糊系統的優化控制，同時可以用橢圓不變域來得到系統穩定的充分條件。其次，當存在外部干擾時，進一步考慮不確定廣義T-S模糊系統干擾抑制問題，用雙橢圓域方法尋找到了滿足時域硬約束的充分條件的約束H控制策略。尋找到初始狀態所在的一個橢圓域，在閉環系統滿足一定的不等式并假設外部干擾的能量小于某個界的條件下，確定另一個包含系統所有可能狀態的橢圓域。從而得到依賴于這個橢圓域的滿足時域硬約束的充分條件。關鍵詞：廣義T-S模糊系統；時域硬約束；最優控制；H控制AbstractTime-domain hard constraints are probably the most widely

4、existent in practice control systems. It is well recognized that performance requirements for control systems imply large control actions. All of these result in the conflict between high performance and satisfaction of time-domain hard constraints. If one ignores these constraints and only performa

5、nce is treated, control action will exceed the bounds greatly. In such case, performance of closed-loop system wouldnt be guaranteed, even of stability. So time-domain hard constraints must be handled in some control system design.Descriptor T-S fuzzy system is a combination of both T-S fuzzy modula

6、r and descriptor system. Recently, there has extensive application in control theory, circuits, economics, mechanical systems and other areas. So it is of significant practical meaning to study the problem of descriptor T-S fuzzy system. Based on the descriptor Lyapunov theorem and the ellipsoidal i

7、nvariant sets methods, by using linear matrix inequalities (LMI), in this article, the optimal regulation problem and H control problem for uncertain descriptor T-S fuzzy systems have been considered.First, considering the optimal regulation problem for uncertain descriptor T-S fuzzy system with non

8、-zero initial state, we choose the energy of output as performance function, is the common super-bound for the performance and an ellipsoidal invariant set. So the optimal control can be realized by minimizing bound, and sufficient conditions dependent on the ellipsoidal invariant set for satisfying

9、 system stability are derived.Then, when external disturbance exists, further consideration disturbance restraint on uncertain descriptor T-S fuzzy system, we seek H control satisfying time-domain hard constraints with double-ellipsoidal-set. We seek an ellipsoidal set which includes initial state,

10、with closed-loop system satisfying some inequation and under the bound assumption of the external disturbance energy, we seek another ellipsoidal set containing all possible condition, and sufficient conditions dependent on the ellipsoidal invariant set for satisfying time-domain hard constraints ar

11、e derived.Keywords: Descriptor T-S fuzzy system; Time-domain hard constraints; Optimal regulation; H control目 錄摘 要IAbstractII第1章 緒論11.1課題背景11.2 廣義T-S模糊系統模型的提出21.3 廣義T-S模糊系統的研究意義41.4 廣義T-S模糊系統的研究現狀51.5 全文主要研究工作6第2章 預備知識72.1 廣義T-S模糊系統描述72.2 平行分配補償控制器82.3 廣義T-S模糊系統穩定性分析92.4 線性矩陣不等式102.5 S-Procedure132.

12、6 小結15第3章 不確定廣義T-S模糊系統的最優控制163.1 引言163.2 不確定廣義T-S模糊系統描述163.3 不確定廣義T-S模糊系統的最優控制193.4 小結28第4章 不確定廣義T-S模糊系統的H控制294.1 引言294.2 問題描述294.3 不確定廣義T-S模糊系統的H控制294.4 小結35第5章 結論36參考文獻38致 謝40III 沈陽工業大學本科生畢業設計（論文）第1章 緒論1.1課題背景美國加里福尼亞大學LAZadeh教授在1965年提出的Fuzzy set開始了模糊控制的歷史，從此模糊數學學科發展起來了。自從1974年英國工程師EHMandani首先按模糊集合

13、理論組成了模糊控制器用于蒸氣機的控制，使模糊控制得以廣泛的發展并且在現實應用中取得了成功。在此后的20年中取得了迅速的發展，不論是在理論方面還是在實際工程應用當中，模糊控制理論都逐漸顯示出其自身的活力。1985年由Takagi和Sugeno提出了T-S模糊模型1，T-S模糊系統2通過一些模糊規則給出非線性系統的局部線性表示，Cao SG等人在文獻3中進一步證明了T-S模糊系統可以以任意精度逼近的致密集U上的連續實函數，T-S模糊系統從而成為了研究非線性系統的一個重要工具。作為T-S模糊系統的推廣，文獻4和5給出了廣義T-S模糊系統的定義。文中TTaniguchi等人對廣義T-S模糊系統進行了穩

14、定性分析和控制器的設計，采用了增廣系統的方法解決了廣義T-S模糊系統的系統矩陣E的問題，給出了廣義T-S模糊系統的基本的分析方法，并應用線性矩陣不等式研究了其穩定性。之后，關于廣義T-S模糊系統的穩定性分析、控制策略及應用研究取得了一定的成果6-10。文獻6-10對基于T-S模糊模型的廣義T-S模糊系統進行了穩定性分析，給出了各種鎮定控制器的設計方法。文獻10研究了基于廣義T-S模糊系統的魯棒H控制問題，大都基于LMI方法，在保證閉環系統穩定并滿足一定性能指標的前提下，給出了各種控制器的設計方法。但值得注意的是，現有廣義T-S模糊系統的研究基本上是基于T-S模糊系統模型的推廣研究，主要涉及系統

15、穩定性、H控制以及保性能控制三個方面問題；盡管廣義T-S模糊系統與正常系統的結構有很大的差別，但針對其控制策略的研究大多是沿用正常系統中所使用的方法，因此廣義T-S模糊系統的控制理論在模型的構建、系統的結構分析、控制器的設計等方面都有待改進。1.2 廣義T-S模糊系統模型的提出廣義系統11(也稱為廣義動態系統、奇異系統、微分-代數系統)是一類擯棄了現實系統物理屬性而抽象出來的一類數學模型，它是由微分-代數方程或差分-代數方程所描述的，更接近于實際，因此更加廣泛的應用于工業、軍事、經濟、動力網絡及受限機器人領域當中。著名的Leontief12宏觀經濟學模型、具有快變生產過程和滿變生產過程的Von

16、 Neumann模型，含受控源的復雜電子網絡等常常導致這類系統。對于廣義系統我們可以表示為11： (1-1)其中分別表示狀態變量、輸入變量和時間變量，和是的維向量函數。當時。通過適當數學運算，系統可以變為正常系統。線性時不變廣義系統理論是廣義系統理論中一個基本的研究分支，線性時不變廣義系統狀態方程通常如下13： (1-2) 其中，一般為奇異矩陣，分別為適當維數的狀態、輸入和輸出向量，為時間變量。其它為適當維數的定常矩陣，為系統的狀態系數矩陣，為輸入系數矩陣，為輸出系數矩陣。特別地，當時，式（1-2）表示一個正常的時不變系統。自從20世紀70年代初 Rosenbrock H. H在研究復雜電路網

17、絡系統中首次提出廣義系統模型14以來，廣義系統的研究己從基礎向縱深發展，涉及了從線性到非線性,從連續到離散，從確定性到不確定性,從無時滯到時滯，從線性二次型最優控制到H2控制和H控制等各個專題。人們對廣義系統的研究傾注了極大熱情，獲得了豐富的成果15- 16。但由于廣義系統自身的復雜結構與動態特征使得在應用這些方法和策略時，從設計到實施,都顯得有些繁瑣與復雜。經典控制成功與否取決于精確的數學模型和相應的控制算法，大都采用狀態空間法。在實際應用當中，常常出現由于被控過程過于復雜難以建立數學模型、或過程參數變化太快、太大，任何單一的數學模型都不能滿足要求的情形，在這樣的情況下，經典的控制方法失效。

18、模糊控制正是在這些情況下應運而生的。1965年，美國控制理論學家扎德創建了模糊控制集合理論，提出了模糊控制技術17。1974年，英國的馬丹寧首次將模糊控制技術應用于鍋爐和蒸汽機的控制，取得了成功，開創了工業模糊控制的先河。模糊控制技術是以模糊集合論、模糊語言變量與模糊邏輯為基礎的一種非線性控制方法。在常規控制方法中，人們用傳遞函數或者邏輯方程和數學方程精確地描述控制器的輸入輸出特性，而在模糊控制器中則使用語言型模糊控制策略來描述模糊控制器的控制特性。模糊控制策略是對過程操作人員的推理和判斷知識加以提煉后形成的，它是由模糊算子“or”將單一的“If-Then”規則聯接在一起的模糊控制規則。其基本

19、形式為18：If(條件1 and/or 條件2) Then(結論1 and/ or 結論2)or ：If(條件1 and / or 條件2)Then(結論1 and / or 結論2)or ：If(條件1 and / or 條件2) Then(結論1 and / or 結論2)模糊控制器由模糊化、模糊推理及去模糊化三部分組成，其中的控制規則即是上文提到的模糊控制策略。模糊控制可以解決復雜系統的控制問題。當系統為多輸入多輸出、時變及滯后系統時，系統的數學模型非常復雜或難以建立，使得不能用常規控制方法來控制系統。而模糊控制因建立在對過程的語言經驗之上，不需要精確的數學模型，可用來解決上述問題。不僅

20、如此，模糊控制也適合于一般控制問題，其控制效果在快速性和魯棒性等方面都優于常規控制器。但傳統的模糊控制器的控制規則是由專家經驗來決定的，因此其穩定性和魯棒性等控制性能難以在理論上給予充分的證明。基于傳統的模糊控制的T-S模糊系統正是在這種背景下產生的。1985年，Takagi和Sugeno建立了模糊系統模型，其表達式如下：( is , is ) 其中：為輸出變量，為前件變量，為具有線性隸屬函數的模糊集。其特點為：系統的條件部分為模糊值，該部分的條件變量為確定的變量，可以是系統的狀態、輸出或任意的其它變量結論部分為確定值，表示了若干個動態線性系統，可以用狀態空間方程描述。T-S模糊系統模型可以同

21、時處理數據信息和語言信息。語言信息的處理通過一組“If-Then”模糊規則來完成，而作為對系統參數進行合理調節的外部條件的數據信息，在模糊規則的后件部分中得到處理。模型中，模糊規則的后件部分給出了控制對象確切的數學描述，為模糊控制的理論分析提供了方便。近年來,T-S模糊系統的研究與應用受到了廣泛的重視19- 21，穩定性分析方法和各種控制器的設計方法逐漸成熟起來。考慮到廣義系統豐富的實際背景，基于T-S模糊系統模型，TTaniguchi和KTanaka等人于1999年提出了廣義T-S模糊系統的概念。它的第條規則為：If is ，and is 廣義T-S模糊系統模型是由一組“if-then”規則

22、給出局部線性表示的非線性系統，每條模糊規則的后件部分為廣義系統形式的數學描述。經過單點模糊化、乘積推理、中心加權反模糊化方法可將其轉化為一個全局模型，這種處理有利于人們運用經典控制理論方法來研究該系統。1.3 廣義T-S模糊系統的研究意義對于一個實際系統，其動態性能和魯棒性具有相同的重要性，人們希望閉環控制系統既具有較好的動態性能，又具有較強的魯棒性。魯棒控制理論結合系統模型參數不確定性和外部擾動不確定性的考慮，研究系統的魯棒性能分析和綜合問題，彌補了現代控制理論需要對象精確數學模型的缺陷，使得系統的分析和綜合方法更加有效、實用。針對廣義T-S模糊系統的魯棒控制策略研究也取得了一些成果。文獻1

23、0研究了不確定模糊廣義系統魯棒控制的若干問題，大都采用LMI方法，在保證閉環系統穩定并滿足一定性能指標的前提下，給出了各種控制器的設計方法。如賀愛玲研究了廣義不確定系統的模糊滑模糊控制問題，控制結構中采用模糊系統來補償動態不確定性，利用李亞普諾夫理論證明了閉環系統的所有狀態是全局有界的。對廣義T-S模糊系統進行研究還只有不到十年的時間，其研究結果遠不及模糊正常系統的成果那么完善。在已有的廣義T-S模糊系統的研究結論中，大多是采用一個公共的可逆矩陣來解決關于穩定性的分析和各種控制器的設計等問題，這使得所導出的結果具有一定的保守性，對人們關注最多的不確定廣義T-S模糊系統的魯棒性能，研究成果不是很

24、多。由于不確定廣義T-S模糊系統的廣泛應用性，因此本課題的研究具有極其深遠的意義。1.4 廣義T-S模糊系統的研究現狀到目前為止，廣義T-S模糊系統理論的研究思路大多是借鑒正常模糊系統的理論，并將其推廣和移植到廣義T-S模糊系統中，其研究方法主要是狀態空間方法。狀態空間方法(或稱時域方法)，是對采用狀態空間描述的廣義T-S模糊系統主要運用矩陣運算和矩陣變換的計算方法。狀態空間法刻畫問題的方式簡潔直觀，所得結果清晰明了，且可設計相應的軟件支持而適宜在計算機上進行運算求解，因而該方法應用最廣，己經深入到了廣義T-S模糊系統的分析與綜合的方方面面。另外，目前流行的LMI方法，由于具有能揭示系統的內部

25、結構且易于計算機輔助設計等優點成為了時域狀態空間的基本研究方法，也是本文所采用的主要方法。自從TTaniguchi和KTanaka等人提出廣義T-S模糊系統的定義并給出廣義T-S模糊系統的穩定性的基本分析方法以來，廣義T-S模糊系統的研究引起了人們的注意。關于廣義T-S模糊系統的穩定性分析，劉國義22研究了一類廣義T-S模糊系統的二次穩定性與非線性模糊控制器設計的問題，給出了模糊極值子系統的定義，將模糊廣義系統的二次穩定性問題轉化為其模糊極值子系統的二次穩定性問題的分析與研究，并利用模糊極值子系統給出了廣義T-S模糊系統二次穩定的一個充分必要條件。時曉巖23 -24等人討論了廣義T-S模糊系統

26、二次穩定性問題，得出了一個使系統二次穩定的公共矩陣存在的必要條件，通過該必要條件可以預選判斷公共矩陣是否存在，從而減少在判斷模糊廣義系統二次穩定性時的計算量。朱寶彥，張慶靈33等人利用Lyapunov方法，給出了離散廣義T-S模糊系統一致正則、因果和穩定的定義，并研究了離散廣義T-S模糊系統的穩定性問題。1.5 全文主要研究工作本課題針對帶有時域硬約束的不確定廣義T-S模糊系統，基于廣義Lyapunov穩定性理論和橢圓不變域方法，利用線性矩陣不等式（LMI）技術研究帶有時域硬約束的不確定廣義T-S模糊系統穩定性問題和控制器設計。具體內容如下：第1章，簡要介紹了廣義T-S模糊系統的背景、研究現狀

27、及意義，最后概述了本論文的研究內容與主要工作。第2章，介紹了本文研究過程中所需要的數學基礎和預備知識。首先介紹了廣義T-S模糊系統模型設及數學表達形式。然后簡要介紹了研究廣義系統所必需的一些基礎知識，包括線性矩陣不等式（LMI）、Schur補公式和S-Procedure引理。第3章，提出一種不確定廣義T-S模糊系統的最優控制方法。將系統的輸出能量作為優化的性能指標，得到該指標的一個依賴于初始狀態的上界，同時它也是一個橢圓不變域的上界，那么不確定廣義T-S模糊系統的優化控制就可以通過最小化系統的這個上界來實現，進而可以用橢圓不變域方法得到滿足時域硬約束的充分條件。第4章，當存在外部干擾時，進一步

28、考慮不確定廣義T-S模糊系統干擾抑制問題，提出了用雙橢圓域方法來尋找滿足時域硬約束的充分條件的約束控制策略。先尋找到初始狀態所在的一個橢圓域，然后在閉環系統滿足一定的不等式并假設外部干擾的能量小于某個界的條件下，確定另一個包含系統所有可能狀態的橢圓域，從而得到依賴于這個橢圓域的滿足時域硬約束的充分條件。第5章，總結全文工作，對其中的研究成果與不足進行了分析。同時，也對今后的研究工作進行了展望。第2章 預備知識2.1 廣義T-S模糊系統描述廣義系統是一類比正常系統更具廣泛形式的動力系統，廣義系統理論也是20世紀70年代才開始形成并逐漸發展起來的現代控制理論的一個獨立分支，可以表示為其中分別表示狀

29、態變量、輸入變量和時間變量，是的向量函數；而。當時，稱為非線性廣義系統。1999年，Tanaka等人將T-S應用到非線性系統中，提出了廣義T-S模糊系，它的第條規則表示為：Ifis，andis, Then (2-1)其中表示第模糊模型規則，一般來說是奇異矩陣，。是模糊集，是模糊規則數。為狀態向量，為控制向量，為輸出向量。其他為適當維的定常數矩陣，為系統的狀態矩陣，為輸入矩陣，為輸出矩陣。表示前件變量，令。每一條模糊規則的后件部分中描述的系統稱為一個子系統，記作。由單點模糊化，乘積推理及加權平均解模糊化的推理方法可得系統(2-1)的全局模型： (2-2a) (2-2b) 其中其中是模糊集的隸屬函

30、數，且有2.2 平行分配補償控制器PDC設計方法由Kang和Sugeno最先提出的 。然而設計過程中并沒考慮穩定性問題。在PDC設計過程中，每一個控制規則可以針對廣義T-S模糊模型中相應的規則設計。設計的模糊控制器和模糊模型規則對于精確的變量享有相同的模糊集，也就是說針對某個子模型設計的子控制器在全局控制器中所占的權重與該子模型在全局系統中所占的權重保持一致。對于廣義T-S模糊系統(2-2)，令為第子系統對應設計的狀態反饋控制器，則系統的PDC控制器可以描述為：Ifis and， ， and is ,Then其中是一個常反饋增益矩陣。那么整個控制器的輸出可以表示為： (2-3)對應的閉環系統為

31、： (2-4a) (2-4b)其中 2.3 廣義T-S模糊系統穩定性分析設計控制系統時，首先要考慮穩定性。Lyapunov 1892年給出了穩定、漸近穩定的科學概念，引入了Lyapunov函數，建立了判定系統穩定性定理。在這個框架下，線性、廣義系統己形成一套完整理論體系,并被廣泛研究。 Takagi和Sugeno提出T-S模糊模型，為模糊控制系統穩定性分析提供模型基礎。但是由于T-S模糊廣義系統結構更加復雜，目前，還沒建立一套完整的分析系統穩定性和系統化設計方法。考慮如下T-S模糊廣義模型： Ifis and, , and is, Then (2-5)定義2.113 系統(2-5)是一致正則的

32、，如果存在常數，使得。定義2.213 一致正則系統（2-5）是無脈沖的，如果。定義2.313 一致正則系統(2-5)是穩定的，如果。其中。注2.1 若子系統正則，而全局系統不一定一致正則。注2.2 若子系統無脈沖，而全局系統不一定無脈沖。注2.3 若子系統穩定，而全局系統不一定穩定。定義2.413 系統（2-4）是漸近穩定的，如果 (2-6)其中，Lyapunov函數為 (2-7)并且存在共同的非奇異矩陣滿足。注2.4 接下來的研究我們假設系統均是一致正則且無脈沖的。定理2.1 系統（2-5）是漸近穩定的，如果存在共同的非奇異矩陣P滿足 (2-8a) (2-8b)2.4 線性矩陣不等式 線性矩

33、陣不等式(LMI)方法已經成為解決控制工程、系統辯識以及結構設計問題的一個強有力工具。LMI方法的廣泛應用主要是基于以下三種因素：1.大量的設計規范和約束能夠用LMI來表示；2.一旦能表示成LMI問題，問題就能用有效的凸優化算法來求得；3.具有多約束或多目標的問題用LMI方法往往能夠得到很好的解決。定義2.125 線性矩陣不等式是具有如下形式的不等式 (2-9)是決定變量；對稱矩陣是已知的對稱矩陣。式(2-9)中不等式符號意味是正定的。當然，LMI(2-9)也等價于n個關于的不等式，即各階主子式一定是正的。一個LMI具有以下性質：凸性 LMI(2-9)對變量定義了一個凸約束，即集合是凸的，也即

34、如果且，則 。盡管LMI(2-9)的形式似乎有點特殊，但可用來描述對的各種凸約束，特別是線性不等式，二次型不等式，矩陣不等式，以及控制理論中的Lyapunov不等式都可以轉換成式(2-9)給出的LMI形式。這為解決許多控制問題提供了可行途徑。甚至還可以在LMI框架下描述和求解有時域硬約束系統（控制量和輸出量約束）的控制問題。矩陣作變量：在許多系統與控制問題中，常常遇到矩陣作變量的問題，例如Lyapunov不等式 (2-10)其中是給定的，是未知矩陣變量，因此該矩陣不等式中的變量是一個矩陣。設是維對稱矩陣的一個基底，則對任意對稱矩陣，存在，使得，因此這說明(2-10)是關于對稱矩陣P的獨立變量的

35、LMI。系統與控制中的許多問題初看起來不是一個線性矩陣不等式，或不具有(2-9)式的形式，但可以通過適當的處理將問題轉化成具有(2-9)形式的一個矩陣不等式問題。下面給出了這方面的一些典型例子。多個線性矩陣不等式：不等式族 (2-11)稱之為一個線性矩陣不等式系統。該系統可以重新描述為一個單獨的線性矩陣不等式。記，則當且僅當時，式(2.11)成立。線性等式約束 考慮問題其中的是一個仿射函數，和是給定的常數矩陣和向量。由于的解向量的全體構成了中的一個線性子空間，因此可以考慮更一般的問題： (2-12)其中的是中的一個仿射集，即上式中的是中的一個線性子空間。可以證明：這樣一個多約束問題可以轉化成一

36、個單一的線性矩陣不等式約束：設是線性空間的一組基，而仿射函數可以分解成，其中是一個線性函數。由于對任意的可以表示成。因此，問題(2-12)成立當且僅當其中：。注意，的維數要小于的維數。以如下存在線性等式約束的Lyapunov不等式為例 (2-13)其中是變量。若把式(2-13)寫成的形式，則需消去等式約束。具體做法是，設是維對稱且跡零的矩陣的一組基，其中。令是一個維對稱矩陣且Trace()=1。取和則(2-13)轉化為(2-9)的形式。Schur補公式 在矩陣不等式運算中使用最頻繁的是Schur補公式。它可以把非線性矩陣不等式轉換成LMI。Schur補(余)可以闡述如下：線性矩陣不等式 (2-

37、14)等價于 (2-15)或者 (2-16)其中,換句話說，二次型不等式(2-15)或(2-16)可等價地表示為LMI(2-14)。這一等價關系也說明式(2-15)和式(2-16)中的非線性矩陣不等式也定義了一個關于變量的凸約束。考慮二次型矩陣不等式 (2-17)其中是給定的維數已知的矩陣。是變量。這是一個以為變量的二次型矩陣不等式，利用Schur補公式將其表示成線性矩陣不等式形式如下：.這表明一個二次型矩陣不等式(2-17)可以轉化為一個關于P的LMI。2.5 S-Procedure在控制系統的魯棒分析和魯棒綜合中，我們要常常用S-Procedure來將一些不是凸約束的問題轉化為LMI約束問

38、題。對，設是定義在一個線性向量空間(例如)上的初值范函，考慮如下的兩個條件：S1.對于所有使成立的，有。S2.存在標量使得對任意的，有：顯然，由條件S2可以推出條件S1。S-Procedure就是通過判斷S2的真實性來判斷條件S1的成立與否。一般說來，條件S2比條件S1更容易檢驗，因此通過應用S-Procedure來檢驗條件S1成立與否是一個更加有效的方法。由，條件S2也可以寫為，可見條件S2等價于一個LMI的可行性問題。因此，利用S-Procedure，我們可以通過檢驗上面的這個LMI的可行性來判斷條件S是否成立。以如下二次型函數為例：設是變量的二次函數：，其中。由于1.一般不是一個凸函數；

39、2.約束集；，一般也不是凸的。因此條件S1相當于要求一個非凸函數在一個非凸集上的最小值是非負的，即。這是一個很困難的非線性規劃問題，利用S-Procedure，有引理 2.125 當p = 1時，假設存在一個使得 成立，則條件S1與條件S2是等價的，即條件S1是條件S2成立的充要條件；如果函數對是仿射的，則條件S1和條件S2 是等價的。對二次型和嚴格不等式，也有S-Procedure。引理 2.225 設均 為 對 稱 矩 陣 。 考 慮 下 面 關于的條件：對于所有使, 成立的，有。 (2-18)顯然，如果存在使得 (2-19)成立，則(2-18)成立。當p = 1時，假設存在一個使得 成立

40、，則 (2-18)與 (2-19)是等價的，即 (2-19)是 (2-18)成立的充要條件。上述結論在魯棒控制中是很有用的。條件S1和條件S2一般是不等價的，當兩個條件等價時稱這個S-Procedure是無損的，否則稱為有損的。在應用中，使用S-Procedure常常是有損的。如在控制系統穩定性的檢驗中，應用有損的S-Procedure所導出的檢驗條件只是穩定性的一個充分條件，而不能保證是必要的。但這種穩定性條件的保守性的引入換來的是檢驗和計算上的方便和有效。2.6 小結本章介紹了本文研究過程中用到的基本知識。首先介紹了廣義T-S模糊系統，以及該系統的狀態反饋控制器，還有系統的穩定性分析。然后

41、又介紹了線性矩陣不等式和相關的引理，有S-Procedure引理和Schur補引理。這為后面的研究提供了基礎知識。第3章 不確定廣義T-S模糊系統的最優控制3.1 引言在實際的應用系統中，不確定性是廣泛存在的，它主要包括模型不確定性和參數不確定性。為了設計方便，常常將一個復雜的動態系統進行簡化，簡化模型和實際對象之間的存在的差距，就稱之為模型不確定性，對系統某些特性或環節缺乏足夠的了解（即難以建模的部分）也是導致模型不確定性產生的重要原因。另外，如果存在一些難于精確刻畫的物理參數，或者在運行過程中發生變化但難以刻畫其規律的參數，稱該系統具有參數不確定性。例如，機械系統中的阻尼系數和彈性系數、飛

42、行裝置中的空氣動力學系數、電路中的電容和電感等。不確定性可能是系統控制性能下降的直接原因，甚至可能導致系統失去穩定性。因此，參數不確定性也是控制器設計時應該考慮的因素。考慮參數不確定性的廣義T-S模糊系統的控制方法已經有了大量的研究成果。但很少涉及對時域硬約束的處理，由于存在不確定性或可能的外部干擾，就不能保證成立，考慮控制約束與輸出約束情況的控制器設計思想就不再適合。本章討論約束廣義T-S模糊系統的魯棒控制問題。首先將帶有不確定參數的非線性系統作T-S模型描述，每個T-S子系統都具有線性分式變換形式，其中不確定性具有對角的結構。本章提出一種廣義T-S模糊系統的魯棒最優控制方法，將輸出能量作為

43、優化性能指標，得到性能指標和一個系統魯棒橢圓不變域的共同上界，不確定廣義T-S模糊系統的優化控制通過最小化系統的這個上界來實現，同時可以用S-procedure和橢圓不變域方法得到滿足時域硬約束的充分條件。3.2 不確定廣義T-S模糊系統描述考慮一個含有不確定性和外部干擾的非線性系統，可以由以下T-S模糊模型描述：IfThen， ， (3-1)，其中表示第模糊模型規則，是模糊集合，為狀態變量，為控制輸入變量，為系統可測或可計算變量，這里假設它不依賴于控制輸入變量，為系統性能輸出，為系統約束輸出，為模糊模型規則的個數。， ()為與系統不確定性有關的變量，。為不確定集，它可以描述不確定性的特性(線

44、性的或非線性的，時不變的或時變的)，大小(范數或增益) 及其結構(對角的)。本文研究的不確定性的結構是對角的。其元素為系統范數有界的不確定參數。這里假設不確定集包含原點，即，它對應于無擾動或名義系統。對于T-S模糊廣義系統(3-1)，令為第子系統對應設計的狀態反饋控制器，系統的PDC控制器可以描述為：If Then ， (3-2) 其中是一個常反饋增益矩陣。為了簡便起見，在不引起歧義的情況下省略。則閉環T-S系統可以用以下參變線性系統來描述 , (3-3a) , (3-3b) , (3-3c) (3-3d) ，,(3-3e)其中, , , , ,.為簡便起見，這里將記為，下同。另外有，為屬于模

45、糊集合的隸屬度，且，且有以下性質：，；，。考慮系統存在時域的硬約束可以表示為：，, (3-4) T-S模糊廣義系統的一個控制目的就是設計狀態反饋控制器 ()，使得由PDC方法構建的全局控制器 (3-5)和(3-1)組成的閉環系統(3-3)對所有考慮的不確定性都是魯棒穩定的，且具有一定的性能。引理3.1如果存在矩陣使得矩陣族滿足 (3-6a) ， (3-6b) (3-6c)則參變量矩陣不等式 (3-7)成立，其中證明：很顯然，若滿足（3-6a）、(3-6b)，則有進一步，如果(3-6c)成立，則（3-7）成立。 證畢。注3.1 引理1中不等式符號“”改為“”仍成立。注3.2 由于系統（3-3）總

46、可經過初等變換使得變為，因此為了方便起見且不失一般性，以下我們總假設。3.3 不確定廣義T-S模糊系統的最優控制 先討論無外部干擾情況下(即對于系統(3-1)，)，不確定T-S模糊廣義系統(3-3)的最優控制問題。不確定T-S模糊廣義系統(3-3)的最優控制問題可以描述如下：一個控制命題就是設計狀態反饋控制器(3-5)，對于任意滿足的系統不確定性，閉環系統(3-3) 是魯棒穩定，并在給定系統初始狀態情況下，使性能輸出的能量滿足 ， (3-8)同時滿足時域硬約束(3-4)。這里，為一個給定的正數。如果對于所有，存在Lyapunov函數使不等式 (3-9)成立，則必須強調，(3-9)應對不確定的T

47、-S 模糊廣義系統(3-3)成立。下面，利用S-Procedure推導一個使之成立的條件。首先，對求導并將(3-3a)和(3-3c)代入式(3-9)經整理后得 (3-10)然后，考慮不確定性描述 (3-3b)和 (3-3e)。引入空間的第標準向量基，則(3-3e)等價于, (3-11)將(3-3b)代入(3-11)，整理后得 (3-12)因此，要求(3-9)對不確定的T-S 模糊廣義系統(3-3)成立就是要求不等式(3-10)對滿足(3-12)的成立。應用引理2.1(S-Procedure)得出的一個充分條件是：對于任意的，存在使得下式成立 (3-13)定義矩陣，則上式成立的一個充分條件是 (

48、3-14)即 (3-15) 令， ，并用和分別左乘、右乘(3-15)后再利用Schur補公式有 (3-16)先將將矩陣不等式(3.16)中左邊矩陣的第二、三行互換，再將第二、三列互換得 (3-17)利用Schur補公式有 (3-18)先交換上式矩陣中第三、四行，再交換其第三、四列，得等效的矩陣不等式 (3-19)再利用Schur補公式有 (3-20)令并將(3.3)中各表達式帶入，得到如下參變的線性矩陣不等式 (3-21)其中 ，這里，*表示沿矩陣對角線對稱的矩陣轉置。綜上，關于不確定T-S系統的最優控制有以下結論： 引理3.2 LMI優化問題(3-6) 以及 (3-22) (3-23)有最優

49、解，則子系統狀態反饋矩陣為控制器（3-5）使得閉環系統（3-3）對所有考慮的不確定性都是魯棒二次穩定的，且輸出能量最小，其值為。證明：由以上討論可知，(3-6)(3-21)(3-18)，根據矩陣的負定性質有所以說閉環系統是魯棒二次穩定的25。另外有(3-18)(3-13)，則對所有考慮的不確定性即滿足約束(3-3e)情況下，不等式(3-9)成立，從而有。又如果以及(3-23)式成立，則，所以有 ， (3-24)如果最優問題有最優解，記為，則是滿足（3-24）的最小。下面，在給定一個系統魯棒橢圓不變域的前提下，尋找依賴于該不變域滿足的時域硬約束(3-4) 的充分條件。定義 3.1 對于給定的可逆矩陣、一個給定的正數以及一個奇異方陣，為包含原點的橢圓域。如果對于所有的，若，則系統任意軌跡，則稱橢圓域是魯棒不變的。引理 3.3 假設是系統(3-3)一個魯棒不變橢圓域，即對，控制器使閉環系統狀態軌跡滿足，并且存在一組線對角正定矩陣以及矩陣族使得進一步滿足 (3-25a)， (3-25b)，(，) (3-25c)其中則閉環控制系統