1、第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布3.4 兩個隨機變量的函數的分布兩個隨機變量的函數的分布 在第二章中，我們討論了一維在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數的分布，現在我們進一隨機變量函數的分布，現在我們進一步討論步討論: 當隨機變量當隨機變量 X, Y 的聯合分布已知時，如何的聯合分布已知時，如何求出它們的函數求出它們的函數Z = g ( X, Y ) 的分布的分布? 例例1 已知已知(X, Y) 的聯合分布的聯合分布見右表，求見右表，求 （1）Z1 = X+Y 的概率分布的概率分布; （2）Z2 = X- Y 的概率分布的概率分布. 解解 由由(X,Y)的分布可得的分布

2、可得: 1/8 0 3/8 2/8 2/8 0-1 2 0 1 3XYp00(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235X-Y-1-2-421-181838282 去掉概率為去掉概率為0的值，并將相同函數值對應的概率求和，的值，并將相同函數值對應的概率求和，從而得到：從而得到：一、離散型隨機向量函數的分布一、離散型隨機向量函數的分布 (1) Z1=X+Y的分布為的分布為 Z1=X+Y-123P81858582Z2=X-Y-4-112P(2) Z2=X-Y的分布為的分布為 83818282 一般地，如果一般地，如果(X, Y)的概率分布為的概率

3、分布為），（，21jipyYxXPijii記記zk(k=1,2,)為為Z=g(X,Y)的所有可能的取值，則的所有可能的取值，則Z的的概率分布為概率分布為 (, )kkP ZzP g X Yz()1 2ijkijg xyzP Xx Yyk，,， 例例2 若若 X、Y 獨立，獨立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函數的概率函數.解解 )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨立性由獨立性r=0,1,2, 解解 依題意依題意 riirYiXP

4、rZP0),()( 例例3 若若 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,它們分別服從參數為它們分別服從參數為的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數為服從參數為于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.riirYiXPrZP0),()( ri 0i)!-(rei!ei - r2-i1-21 rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即Z服從參數為服從參數為 的泊松分布的泊松分布.12 i)!-(ri!r!Cirq

5、設設 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨立，且獨立，具有可加性的兩個離散分布具有可加性的兩個離散分布q 設設 X P ( 1), Y P ( 2), 且獨立，且獨立，則則 X + Y B ( n1+n2, p)則則 X + Y P( 1+ 2) 若若X B(n1,p),則則X 是在是在n1次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A出現出現的次數的次數,每次試驗中每次試驗中A出現的概率都為出現的概率都為p.同樣，同樣，Y是在是在n2次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A出現的次數出現的次數,每每次試驗中次試驗中A出現的概率為出現的概率為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1

6、+n2次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件A出現的次出現的次數，每次試驗中數，每次試驗中A出現的概率為出現的概率為p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）為參數的二項隨機變量，即為參數的二項隨機變量，即Z B(n1+n2, p).二、連續型隨機變量函數的概率分布二、連續型隨機變量函數的概率分布1. 已知已知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. ),()(zYXPzZPzFZ若若Z為連續型隨機變量為連續型隨機變量,則在則在f(z)的連續點處的連續點處)( )(zFzfZZ zyxdxdyyxf),(),( .),0(), 0( , 222的概率密度的概

7、率密度求求且均服從且均服從相互獨立相互獨立已知已知YXZNYX 2222exp21)(), 0( xxfNXX 解解 22222exp21),( yxyxf 2222exp21)(), 0( yyfNYY例例1X,Y相互獨立相互獨立).(),(zfzFZZ設設Z的分布函數和概率密度分別為的分布函數和概率密度分別為0)(,0 zFzZ時時當當22YXZ )(,0zZPzFzZ 時時當當22zYXP zyxdxdyyxf22),(,0時時當當 z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)( sincosryrx zrdrdrr 2exp21222222exp1z 其其它它 , 00,2e

8、xp1)(22zzzFZ 其其它它 , 00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分分布布的的瑞瑞利利服服從從參參數數為為RayleighZ 例例2 已知已知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對對任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),( )(xyz 令令dxdzxzxfba),( dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率的概率密度為密度為dxxzxfzfZ),()( 例例2 已知已

9、知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 對對任任意意解解2)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dydxyxfybya),( )(yxz 令令dydzyyzfba),( dzdyyyzfba ),(xyoayxbyx)(bZaP 由概率密度的定義可知，由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率的概率密度為密度為 dyyyzfzfZ),()(dzdyyyzfba ),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推論推論 設設(X,Y)關于關于X,Y的邊緣密度分別為的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y). 若若X和和Y獨立獨立,

10、 則則 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(兩個隨機變量和的概率密度的一般公式兩個隨機變量和的概率密度的一般公式卷積公式卷積公式為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數不為先找出使被積函數不為 0 的區域的區域 例例3 若若 X 和和Y 獨立獨立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式1010 xzx也即也即zxzx110zx zxOz1zx211zz1z 暫時固定暫時固定 0.Zfz 故故 當當 或或 時時 ,0z 2z

11、 0zZfzdx 當當 時時 ,01z 12z 當當 時時 ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它dxxzfxfzfYXZ)()()(zxzx110 例例4 若若X和和Y 是兩個相互是兩個相互獨立獨立的隨機變量的隨機變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 令令,2ztx22412zteedt 2412ze 2222122ze 可

12、見可見 Z=X+Y 服從正態分布服從正態分布 N(0,2).用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨立獨立,),(),(222211NYNX 結論又如何呢結論又如何呢? 此結論此結論可以推廣到可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形個獨立隨機變量之和的情形. 若若X和和Y 獨立獨立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 則則Z=X+Y 服從正態分布服從正態分布 N(0,2). 有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布分布.2iiiNX，相互獨立，如果隨機變量nXXX21，令：niiiXaZ1n

13、i，21 niiiniiiaaNZ1221 ，則則個實常數，為，又naaan21 有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態有限個獨立正態變量的線性組合仍然服從正態分布分布.q 若(X ,Y );,;,(222211N則)2,(22212121NYX 特別特別, 若若X1,X2, .Xn獨立同正態分布獨立同正態分布N(,2) ,niiXnX1,1)n,(NX2則則記記:相相互互獨獨立立，且且與與特特殊殊地地：如如果果隨隨機機變變量量YX ，nYmX22 ，YXZnmZ2則.,), 2 , 1(,12121分布分布的的服從參數為服從參數為則則分布分布的的服從參數為服從參數為且且相互獨立相互獨立若若

14、 XXXniXXXXniiniin三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 設設 X，Y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為布函數分別為FX(x) 和和 FY(y),我們來求我們來求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函數的分布函數.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函數為布函數為: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函數的分布函數即有即有 FM(z)= FX

15、(z)FY(z) Mz XzYz 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函數的分布函數Nz XzYz 由于由于 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函數為函數為: =1- - P(Xz)P(Yz)FN(z).zYzXP 或或 設設 X1,Xn 是是 n 個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量,它們的它們的分布函數分別為分布函數分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函數的

16、分布函數.(i = 1, , n) 用與二維時完全類似的方法，可得用與二維時完全類似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函數是的分布函數是 M=max(X1,Xn)的分布函數為的分布函數為: 12nMXXXFzFz FzFz 121111nNXXXFzFzFzFz iXFz 特別地，當特別地，當X1,Xn相互獨立且具有相同分相互獨立且具有相同分布函數布函數F(x)時，有時，有 nMFzF z 1 1nNFzF z 例例5 設系統設系統 L 由兩個相互獨立的子系統由兩個相互獨立的子系統 連接而成連接而成,連接的方式分別為連接的方式分別為 (i) 串聯串聯, (ii) 并聯并聯, (iii

17、)備用備用 (當系統當系統 損壞時損壞時, 系統系統 開始工作開始工作) , 如下圖如下圖所示所示.設設 的壽命分別為的壽命分別為 已知它們的概已知它們的概率密度分別為率密度分別為12,L L12,L L1L2L, ,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 試分別就以上三種連接方試分別就以上三種連接方式寫出式寫出 的壽命的壽命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2LXY1L2L解解 (i) 串聯的情況串聯的情況 由于當系統由于當系統 中有一個損壞時中有一個損壞時, 系統系統 L 就停就停止工作止工作,12

18、,L L所以此時所以此時 L 的壽命為的壽命為 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx 因為因為 X 的概率密度為的概率密度為所以所以 X 的分布函數為的分布函數為 xXXFxft dt xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 當當 x 0 時時 ,1xe 當當 x 0 時時 , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 類似地類似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函數為的分布函數為 ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx xatXdtaeodtxF00)(于是于是 的分布函數為的分布函數為 min,ZX Y = 1-1-FX(z

19、)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度為的概率密度為 min,ZX Y (),0 ,0 ,0 , z ezz minminfzFz 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy XY1L2L(ii) 并聯的情況并聯的情況 由于當且僅當系統由于當且僅當系統 都損壞時都損壞時, 系統系統 L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此時所以此時 L 的壽命為的壽命為 max,ZX Y 故故 的分布函數為的分布函數為 max,ZX Y (1)(1) ,0 ,0 ,0 ,zzeezz 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy FZ(z)= FX(z)FY(z) 于是于是 的概率密度為的概率密度為 max,ZX Y . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzzXY1L2L(iii) 備用的情況備用的情況因此整個系統因此整個系統 L 的壽命為的壽命為 由于當系統由于當系統 損壞時損壞時, 系統系統 才開始工作才開始工作,1L2LZXY ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy dyyfyzfzfYXZ)()()(當且僅當當且僅當0,0,yzy 0yz即即 時時,上述積分的