1、一、高一、高 斯斯 公公 式式二、簡單的應用二、簡單的應用三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度四、小結四、小結 第六節第六節 高高 斯公斯公 式與散度式與散度 設空間閉區域設空間閉區域 由分片光滑的閉曲面圍成由分片光滑的閉曲面圍成, ,函數函數),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一階連續偏導數一階連續偏導數, , 則有公式則有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高一、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或這這里里 是是 的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的外外側側， cos,cos,cos是是 上

2、上點點),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明設設閉閉區區域域 在在面面xoy上上的的投投影影區區域域為為xyD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三三部部分分組組成成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD根據三重積分的計算法根據三重積分的計算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據曲面積分的計算法根據曲面積分的計算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下側側, , 2 取取上上側側, , 3 取取

3、外外側側) ),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR于于是是R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)dxdy . 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：GaussGauss公式的實質公式的實質 表達了空間閉區域上的三重積分與其邊界表達了空間閉區域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系曲面上的曲面積分之

4、間的關系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關系知由兩類曲面積分之間的關系知二、簡單的應用二、簡單的應用使用使用Guass公式時應注意公式時應注意:(1)(1)1. P,Q,RC ()1. P,Q,RC ()xozy1解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式.29 (利用對稱性利用對稱性)xyzoh xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域為面上的投影域為xoyxyD)(:2221hyxhz 補充補充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側，取上

5、側，1 構構成成封封閉閉曲曲面面，取取外外側側1 .1 圍成空間區域圍成空間區域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 zdvdvzyxdSzyx2)(2)coscoscos(1222 xyxyh h0 0D D2zdzdxdy2zdzdxdy h h2 20 02z2z z dzz dz .214h 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 例例4:4:222222I(yx)dydz(zy)dzdx(xz)dxdyI(yx)dydz(zy)dzdx(xz)dxdy 設設

6、 為曲面為曲面21,222zyxz取下側取下側, , 求求 解解: 作取上側的輔助面作取上側的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI1111 3 d x d ydz3 d x d ydz 2 2(x1)d x d y(x1)d x d y xyD 2 21 13 3 (2z)dz(2z)dz 2 20 0d d 1 122220 0(r cos(r cos 1)d r1)d r 9 9 4 4 1zoxy211( (見見習習題題課課) )例例: :設設 是一光滑閉曲面是一光滑閉曲面, ,azuyuxuuCzyxu 222222)2(,),(所圍立體所圍立體 的體積為的體積為V V, ,試

7、證試證.d31aVSnu )(的外法向量的外法向量為為 n三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度設設有有向向量量場場 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( 沿沿場場中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二類類曲曲面面積積分分為為1.1. 通量通量( (或流量或流量) )的定義的定義: : RdxdyQdzdxPdydzSdF2. 2. 散度的定義散度的定義: :zRyQxPFdivdivFzyxFzRyQxPkzyxRjzyxQizyxPzyxFzyx 即即記為記為處的散度處的散度在點在點為為稱數量稱數量設向量場設向量場,),(),(),(),(),(),(高

8、斯公式可寫成高斯公式可寫成 SdFdVFdiv.的的邊邊界界曲曲面面的的外外側側是是空空間間閉閉區區域域其其中中 設設有有向向量量場場),(zyxF, ,在在場場內內作作包包圍圍點點M 的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區區域域為為V, ,記記體體積積為為V. . 源頭強度在立體源頭強度在立體 上的三重積分等于單位時間內上的三重積分等于單位時間內流體通過流體通過 的邊界流向外側的總流量的邊界流向外側的總流量.,)(, 0,0)(, 0,0)(為為無無源源場場稱稱在在場場內內處處處處為為零零如如果果處處有有負負源源在在稱稱有有時時當當處處有有正正源源在在稱稱有有時時當當FMFdivMFsdF

9、MFdivMFsdFMFdiv 高斯公式的物理意義高斯公式的物理意義: 222222r r例例4 :4 : 設設 Af(r),rxyz ,Af(r),rxyz ,求求div Adiv Ar r)(,)(,)(:zrrfyrrfxrrfA 解解)( )(2rfrrfAdiv 222222222222例例5 :5 : 求求向向量量A(xyz) i(yzx)j(zxy)kA(xyz) i(yzx)j(zxy)kxyzxyz從從1 1的的內內部部穿穿過過外外部部的的通通量量abcabc( (習習題題課課的的課課外外作作業業) )總結總結:第二類曲面積分計算第二類曲面積分計算IPdydzQdzdxRdx

10、dy 閉合閉合()PQRIdVxyz 非閉非閉補充曲面再用高斯補充曲面再用高斯公式公式 化化為為第第一一類類曲曲面面積積分分I=(Pcos +Qcos +Rcos )dSI=(Pcos +Qcos +Rcos )dS( (指指定定) )投投影影化化為為二二重重積積分分四、小結四、小結 SdFdVFdiv（1）應用的條件）應用的條件（2）物理意義）物理意義2、高斯公式的實質、高斯公式的實質1、高斯公式、高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdVzRyQxP)(思考題思考題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答思考題解答曲面應是分片光滑的曲面應是分

11、片光滑的閉閉曲面曲面.一、一、 利用高斯公式計算曲面積分利用高斯公式計算曲面積分: :1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 為球面為球面 2222azyx 外側；外側；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之間的圓柱體之間的圓柱體922 yx的整個表面的外的整個表面的外 側；側；3 3、 xzdydz, , 其中其中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上側的上側 . .練習題練習題二、證明二、證明: :由封閉曲面所包圍的體積為由封閉曲面所包圍的體積為 dszyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,co

12、s,cos是曲面的外法線的方向余弦是曲面的外法線的方向余弦 . .三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2( , ,穿過曲面穿過曲面 : :為為立方體立方體ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流向外側的通量向外側的通量 . .四、求向量場四、求向量場kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的散的散度度 . .五、設五、設),(,),(zyxvzyxu是兩個定義在閉區域是兩個定義在閉區域 上的上的具有二階連續偏導數的函數具有二階連續偏導數的函數, ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法線方向的方向導的外法線方向的方向導數數 . .證明證明: :dsnu