1、(44) 數列通項公式的求法 各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。一、定義法直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目例1等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，求數列的通項公式.解：設數列公差為成等比數列，即， 由得：，點評：利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。二、公式法若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式求解。例2已知數列的前項

2、和滿足求數列的通項公式。解：由當時，有，經驗證也滿足上式，所以點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并三、由遞推式求數列通項法對于遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。(2004全國卷I.22)已知數列中,其中，求數列的通項公式。P24（styyj）例3. 已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。(20

3、04全國卷I.15)已知數列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項 P24（styyj）例4. 已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，（2）由和確定的遞推數列的通項可如下求得：由已知遞推式有， ，依次向前代入，得，簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。（3）遞推式：解法：只需構造數列，消去帶來的差異例5設數列：，求.解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之.例6已知， ，求。解： 。類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。解法

4、：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。(2006.重慶.14）在數列中，若，則該數列的通項 P24（styyj）例7. 已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數）（2006全國I.22）（本小題滿分12分）設數列的前項的和，（）求首項與通項； P25（styyj）解法：該類型較類型3要復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再應用類型3的方法解決。例8. 已知數列中，,，求。解：在兩邊

5、乘以得：令，則,應用例7解法得：所以類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。解法：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足，再應用前面類型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小題滿分14分）已知數列滿足（I）求數列的通項公式； P26（styyj）例9. 已知數列中，,，求。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。類型6 遞推公式為與的關系式。(或)解法：利用進行求解。(2006.陜西.20) (本小題滿分12分) 已知正項數列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an

6、2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列an的通項an P24（styyj）例10. 已知數列前n項和.（1）求與的關系；（2）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應用類型4的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以類型7 雙數列型解法：根據所給兩個數列遞推公式的關系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11. 已知數列中，；數列中，。當時，,，求,.解：因所以即（1）又因為所以.即（2）由（1）、（2）得：， 四、待定系數法（構造法）求數列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對遞

7、推式變換，轉化成特殊數列（等差或等比數列）來求解，這種方法體現了數學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定系數法變換遞推式中的常數就是一種重要的轉化方法。1、通過分解常數，可轉化為特殊數列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過待定系數法對常數q分解法：設a+k=p（a+k）與原式比較系數可得pkk=q，即k=，從而得等比數列a+k。例12、數列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數列a的通項公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數列 a2是以為公比，1為首項的等比數列a2=（） a=2（）說明：這個題目通過對常數1的分解，進行適

8、當組合，可得等比數列 a2，從而達到解決問題的目的。例13、數列a滿足a=1，,求數列a的通項公式。解：由得設a，比較系數得解得是以為公比，以為首項的等比數列例14已知數列滿足，且，求解：設，則，是以為首項,以3為公比的等比數列點評：求遞推式形如（p、q為常數）的數列通項，可用迭代法或待定系數法構造新數列來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型例15已知數列滿足， ，求解：將兩邊同除，得設，則令條件可化成，數列是以為首項，為公比的等比數列因,點評：遞推式為（p、q為常數）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數）型2、通過分解系數，可轉化為特殊數列的形式求解。這

9、種方法適用于型的遞推式，通過對系數p的分解，可得等比數列：設，比較系數得，可解得。（2006.福建.文.22）（本小題滿分14分）已知數列滿足（I）證明：數列是等比數列；（II）求數列的通項公式；例16、數列滿足=0，求數列a的通項公式。分析：遞推式中含相鄰三項，因而考慮每相鄰兩項的組合，即把中間一項的系數分解成1和2，適當組合，可發現一個等比數列。解：由得即，且是以2為公比，3為首項的等比數列利用逐差法可得 = = = =例17、數列中，求數列的通項公式。解：由得設比較系數得，解得或若取，則有是以為公比，以為首項的等比數列由逐差法可得=說明：若本題中取，則有即得為常數列, 故可轉化為例13。

10、例18已知數列滿足,求解：設或則條件可以化為是以首項為，公比為的等比數列,所以問題轉化為利用累加法求數列的通項的問題，解得點評：遞推式為（p、q為常數）時，可以設，其待定常數s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型五、特征根法1、設已知數列的項滿足,其中求這個數列的通項公式。作出一個方程則當時，為常數列，即，其中是以為公比的等比數列，即.例19已知數列滿足：求解：作方程當時，數列是以為公比的等比數列.于是2、對于由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數列的通項為，其中A，B由決定

11、（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。例20：已知數列滿足，求數列的通項公式。解法一（待定系數迭加法）由，得，且。則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：數列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故3、如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。(2006.重慶.文.22)（本小題滿分12分）數列求數列的通項公式. 解：由已知，得，其特征方程為，解之，得，。 P26 (styyj)例21、已知數列滿足

12、性質：對于且求的通項公式. 解: 數列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例22已知數列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)對于都有(2) 令，得.故數列從第5項開始都不存在，當4，時，.(3)令則對于(4)、顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，則有令則得且2.當（其中且N2）時，數列從第項開始便不存在.于是知：當在集合或且2上取值時，無窮數列都不存在.說明：形如:遞推

13、式，考慮函數倒數關系有令則可歸為型。(取倒數法)例23：解：取倒數：是等差數列，六、構造法 構造法就是在解決某些數學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯想出一種適當的輔助模型，如某種數量關系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉換，產生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造”.若已知條件給的是數列的遞推公式要求出該數列的通項公式，此類題通常較難，但使用構造法往往給人耳目一新的感覺.1、構造等差數列或等比數列由于等差數列與等比數列的通項公式顯然，對于一些遞推數列問題，若能構造等差數列或等比數列，無疑是一種行之有效的構造方法.例24： 設各項均為正數的數列的前n項和為，對于任意正整數n，都有等式：成立，求的通項an.解：， ，. 即是以2為公差的等差數列，且.例25： 數列中前n項的和，求數列的通項公式.解：當n2時，令，則，且是以為公比的等比數列，.2、構造差式與和式解題的基本思路就是構造出某個數列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式.例26： 設是首項為1的正項數列，且，（nN*），求數列的通項公式an.解：由題設得.，.例27： 數列中，且，（nN*），求通項公式.解：（nN*）3、構造商式與積式構造數列相鄰兩項的商式，