1、word第二章 圓錐曲線 綜合練習求曲線方程（一）【例題精選】16 / 16例 1 ： 求經過兩圓 x 2y 2xy20和x 2y 25 的交點，圓心在3x4 y10 上的圓的方程。 分析：（ 1）從題設知：兩圓 O1： x2y 2xy2022 O2： xy5 的交點可以通過解方程求出，記作A、B，則 A、B 兩點在所求的圓上。（2） ）所求圓的圓心若設為（ a, b），則有3a4b10 。（3） ）可由待定系數法，設出所求圓的方程：( xa) 2( yb)2R 2 ，這方程中含有三個待定系數得到三個方程，解方程組求出：a 、b 、R 便可。另外，所求圓是過兩相交圓的交點，則可由“圓系”方程，

2、設出過兩圓交點的圓的方程，進而求出圓心坐標（含待定系數1 個）再將圓心坐標代入方程3a4b10 上，得解，于是得出如下解法：x 2 解法一：y 2xy20x11解出x22x 2y 25y12y21兩圓交于由題設有A(1, (1( 23a2)2a)a) 24bB(2,( 2( 1101)22b) Rb) 2R 2a1解得 b1R13所求圓的方程為 (x1)2( y1)213即 x 2y22 x2 y110 解法二：設過兩個已知圓的交點的圓的方程為：( x2y2x y2)m(x2y 25)0(m1, m0)即： (1m) x2(1m) y 2xy 25m0x2y 21yx1 m1m2 5m0m1圓

3、心為 (1,2(1m)1)2(1m)圓心在直線 3x4 y10 上有32(m1)210m1解出 m32則所求的圓為：(x 2y 2xy2)3 (x 22y25)0即： x 2y 22 x2 y110小結： 這兩種方法雖然都是待定系數法，從待定系數個數看：解法一中有a,b R 三個待定系數，而解法二中只有m 一個待定第數，從計算量看，兩解法都不繁 瑣。例 2：求中心在原點， 以坐標軸為對稱軸， 離心率為的橢圓方程。2 ，且過點 M（ 4，22 ）22分析： 由題意隨圓為標準方程，但焦點不明確，故而要考慮焦點在x 軸或 y 軸的兩種可能； 由離心率可得含 a、b 的一個方程， 再由點 M 的坐標滿

4、足橢圓方程得出 a、b 的另一個方程，解方程組求出 a、b 就可得到橢圓方程。2解：若橢圓焦點在 x 軸上，則設方程為 xa 2y1(ab0) b2e22又 c 2a 2b22b1 a22c2a2a 2b 21 a 22將 M 點坐標代入方程得到：1681a 2b 2解方程組：b21 a 221681a 2b2(1)(2)x2y 2解得： a 232b 216因此橢圓方程為：12若橢圓焦點在 y 軸上，則設方程為：ya 232162x1( a b2b0)同上可得：a 2ab 2將 M 點坐標代入這個橢圓方程中得到：8161a2解方程組：8a22b 216b2得到 a 2140b 2a 2b 2

5、20y 2x2因此橢圓方程為14020例 3：求焦點是（ 0， 52 ），截直線 y2 x1 所得弦的中點的橫坐標是2 中7心在原點的橢圓方程。分析：由題設知這是中心在原點，焦點在y 軸的橢圓。直線與橢圓相交所得弦的中點橫坐標已知是建立含待定系數a,b 的一個方程， 另一個是 a 2b 2(52) 2 解方程組便可。另外也可以先設出直線與橢圓相交結的端點P1 , P2 的坐標，由于P1, P2 兩點在橢圓上，故而坐標滿足橢圓方程，然后兩式相減，若P1 ( x1 , y1 )P2 (x2 , y2 ) 則：x1x2227y1y2x1x22 （直線的斜率）也可求出待定系數的值。22 解法一：設所求

6、的橢圓為： yx1a 2b 2y2x1b2 y2a 2 x 2a 2b 2代入化簡為：( a 24b 2 ) x24b 2 xb 2a 2 b 20c5 2c2a 2b 2a2b 250a 2b 250代入上式中得(5b 250) x24b 2xb 249b 20直線與橢圓交于兩點設該方程兩根為4b 2x1 , x2x1x2又x124b25b250x2274b225a 2755b2507y2x 2則所求的橢圓方程是17525解法二：設直線與橢圓相義于兩點P1 ( x1 , y1 )P2 (x2 , y2 )22又設橢圓方程為 yx1a 2b2即b2 y 2a2 x 2a2 b 2P1 P2點在

7、橢圓上1b2 y 2a 2x 2a 2b212212b2 y 2a 2x 2a2 b2兩式相減得21b 2 ( y 2y2 )a 2 ( x 2x2 )01b 2 ( yx1y2 )( y1x427y2 )a 2 ( xx2 )( x1x2 )01y1y22( x1x2)22(4 )2677又y1y2x1x22( x1x2 )將本式代入上式中得12 b 274 a27a 23b20即c 2(52 )2a 2b2解得 b 225a 275y 2x2橢圓方程為17525說明： 本題解法一是規 X 的待定系數法的解法。x21222解法二是利用曲線與方程的關系，化簡得到2x 2 ,2y 2 這樣兩個“

8、平方差”其中一個平方差(x1x 2 )為例分析12(x1x2 )( x1x2 )這兩個因式2xx表示的分別是弦P1P2 的中點橫坐標的 2 倍，又因直線 y2x1 中斜率為 2，因而2直線與橢圓交點P1 (x1,y1 ),P2 (x2 , y2 ) 中，x1x2 ，為些用x1x2 去除等式1b 2 ( y 2y2 )a 2 ( x 2x2)y120 的兩邊時，便得到x1y2 的式子，而這正是直線x21l 的斜率是已知的，為此較容易的得到a,b 的一個方程，此法涉及到直線與圓錐曲線相交弦的中點有關問題時 （若直線斜率未知也可以用此法求點） 使用較簡捷。例 4：雙曲線的中心在坐標原點O,焦點在 x

9、 軸上，過雙曲線右焦點且斜率為155的直線交于雙曲線 P，Q 兩點，若 OPOQ,PQ4 ，求雙曲線方程。2分析：要求雙曲線方程由于題設中焦點在x 軸，因而方程為 xa 2右焦點為 F(c,o)，需建立起 a,b 為未知的兩個方程，一個2y1 類型，其b 2可利用 OPOQ,的條件，另一個利用 PQ4 通過圖形關系完成向方程的轉化。22解：設所求的雙曲線方程為 xay1 ,右焦點為 F(c,0)22b由題設過 F 點的直線 l 方程為： y15 ( xc) 5P, Q兩點坐標滿足yb2 x215 (x5a 2 y 2c)a 2b 2c 2a2b2整理消去 y 化為：(5b 23a 2 )x 2

10、6a 2 cx(3a 2 c 25a 2 b 2 )0 ()y21現分析5b 23a 2 的取值若 5b 23a 2 =0，則有 ba3 這顯然與已知直線 l 的斜率相等而已知直線l 平行5于雙曲線的漸近線，則直線 l 與雙曲線只能交于一點與題設矛盾， 5b 23a 202xx6a c(1)因此若（）方程兩個根為12x1, x2 則有：xx5b2(3a3a 22 c 25a 2b 2 )(2)則： P( x1 , y1 )Q(x2 , y2 )125b 23a 2y1其中：y215 (xc)15215 (xc)5OPOQy1y21即x1x215 (x15c)15 5( x2c)x1x2即 3c

11、(x1x2 )8x1x23c 20將(1)2 式及c2a 2b 2 代入該式中得(a 23b2 )( 3a 2b 2 )0a23b203a 2b 20將該式代入(1)( 2)式中整理得 :x1x2x1x2a9 a 2124代入 PQ4中得 :PQ(1k 2 )( xx )24 x1x2 有 1(3 )2 (5a) 29 a 2 4解得a 21b 23y 2所求雙曲線方程為x 213例 5：求下列拋物線的方程（1） ）頂點在原點，焦點在y 軸上，拋物線上點（ 3，a）到焦點的距離是 5；（2） ）頂點在原點，焦點在x 軸上的拋物線截直線 y2x4 所得的弦長為 35 。分析：（ 1）由題設拋物線

12、焦點在 y 軸上，但開口方向并不明確，仍有兩種情況：x22 py和x22 py( p0) 其焦點分別為：( 0,p ), (0,2p) ，準線方程分別為2yp , y xp 由拋物線定義得到2| a |p 25 ，再由點（ 3，a）在拋物線上得到p,a 的另一方程，消去 a 求得 P .(2）由于焦點在 x 軸上，但不明確拋物線的開口方向， 故而可設拋物線方程：y2mx(m0) 通過題設條件，求得 m 值，便于確定方程。2 解：（ 1） 設所求拋物線為 x2 py( p0)則準線方程是 y由拋物線定義得p2p x| a |5(1)又 (3, a)點在拋物線上有 92 pa(2)由（ 2）得a9

13、 代入 (1)式中得2 pP 210P90解得 P1或P9所求的拋物線方程為x 22 yx2x 218 yx22 y18 y（ 2）設所求的拋物線方程為 y 2mx( m0)y2 x4y 2mx消去y得4 x 2(16m) x160當(16m) 2256m 232m0即 m0或m32時12設弦 AB的端點為A( x1 , y1 ), B(x2,y2 )則 | AB |(1k 2 )( xx )24 x2x2 由方程得到x1x2x2x216m44又直線斜率 k2有(1164) (4m) 216(35 )2即 16m20m4或m36均在 m取值范圍內所求的拋物線方程為 y 24 x或y236x小結

14、： 本題給出求拋物線方程的常用方法，主要是當題設只給出焦點所在的軸， 而不明確開口方向時作為待定系數法的第一步：“假設方程”時的兩類不同設。例 6：如圖，在面積為 1 的PMN 中, M1 , tgN22求出以 M，N 為交點且過點 P 的橢圓方程。2分析： 從圖中和題設知所求橢圓的焦點在x 軸上，而橢圓2方程為 xa 2y1(ab b 20) 形狀，建立 a,b 的方程組，求出 a,b由題意可設 M (c,0), N (c,0), ( c0)| MN |2c,又S PMN1, 故而將PMN 的高表示成c的關系式,若P( x,y)一種是P點為直線MP , NP的交點通過求兩直線交點方法求出P(

15、 x, y)點的坐標(用c表示)利用PMN 的面積已知求出c, 另一種是將PMN 中邊 MN 的高線作出 PHx軸交于H點再設法求出 c值2又 P 為橢圓上的點，由橢圓定義有 | PM |PN2a2解法一：設所求的橢圓方程為xa 2y1(ab0) b 2焦點 M (c,0),N (c,0)(c0)1tgM,2tgPNXtg(PNM )tgN2直線 PM :y直線 PN :y 11 (xc) 22( xc)5xcy( xc)32解出P(5c , 4c )y2(xc)y4 c333S PMN114c4c2又S PMNMN23324c1c 2334c3則P( 5233 , 23 )633M (,10

16、)2N (,0)2M , N為橢圓焦點 ,P點在橢圓上PM即 2aPN2a53 2(3)6222(3 )3533 2()6222(3 )153a152b2a 2c2153344x 2y 2橢圓方程為15314解法二：同解法一得 c3p( 53 , 23 )P 點在橢圓上263(53) 26a 23( 23 ) 231b 225即12a 2a 2343b 21b 2a 2b 244化簡得3b48b230b23或b 2a 21541 (舍去)3x2y 2橢圓方程為 15314 解法三：作 PHx軸于H點, 設 NHt(t0)由解法一知 tgPNX2 則PHt tgPNX2t又已知： tgM=1 ,

17、 MH4t2則MN3t在Rt在RtPMN中PMPMN中PN(2t) 2(2t ) 2( 4t )22 5tt 25tS PMN3t 21 MN21t 2PH1 3t 2t 21t33t 2于是PM3PN2a32 5t5t3 5t15MN3t3a152b2a 2c2154MN2cc3 2334x 2y 2所求橢圓方程為 15314 解法四：PNX PPMPNXMPNMMtgPtg(PNMM )tg(PNM )tgMtgPNMtgM1tg(212PNM )3tgM1tgPNMtgM1(2)142又P為銳角cos P45sin P35S PMNPM1 PM2PNPN sin P 1033 PN PN

18、1 10又PMPN2aMN2c由余弦定理得：( 2c) 222PMPN2 PMPN cos P( PMPN )22 PMPN (1cos P)即： 4c210424a2(1)3522ca3又tgM12b2tgN PM32sin M1 5PNMNsin N25PMPNMN由正弦定理有sin Nsin Msin P即sin Msin Nsin P即 2a2c335522aa3即 a5ca 2c2322a15b35因而所求的橢圓方程為4x2y211534小結： 本題比較新穎，題目在開始便給出“如圖”這無疑給出了坐標系，否則若去掉“如圖”這個詞。則在解題開始便應該先建立適當的坐標系，難度顯然加大 了，

19、解法也會隨之發生變化。在以此顯然將M，N 兩定點所在直線為 x 軸，線段MN 的垂直平分線為 y 軸建立的坐標系。如果改變坐標系的建立，如以M，N 所在直線為 y 軸，線段 MN 的垂直平分線為 x 軸，那么又如何求 P 點所在的橢圓方程呢？可以自己試試。這里提供四種解法， 解法一， 解法二是單純的典型的待定系數法通過解方程組求出兩直線的交點，橢圓定義；弦長公式三角形面積公式等求出待定系數a,b 的值來。解法規 X，也是常用方法。解法三，是數形結合的使用，充分使用平面幾何的處理方法， 由三角形面積公式， 啟發作出 PHx 軸于 H 點，多次使用解直角三角形的方法， 得到MN2c 與 PMPN2

20、c 的數值， 由橢圓定義寫出方程， 此法比前兩種解法簡捷。 解法四是三角知識在解析法中的應用， 主要因為題設給出的是內角的三角形數的值， 由此容易聯想到解中的正弦定理、 余弦定理。 來出求 PMN 的邊MN , PMPN 的點來。以上是用待定系數法求曲線方程的 （標準方程） 簡介， 下一講是用軌跡法求曲方程。【綜合練習】：1. 求下列橢圓的標準方程（1） ）與橢圓x24 y 216 有相同的焦點，過點P(5 ,6 )（2） ）一個焦點為（ 0,1）長軸和短軸的長度之比為 t.（3） ）橢圓過點P(4,12 ), 一條準線方程是 3 x250 。52. 求下列雙曲線的標準方程（1） ）一個焦點是

21、（ 4， 0），一條漸近線是 2 x3y0 。（2） ） (16 ,12 ) 是漸近線與準線的交點。55（3） ）焦點在 x 軸上的等軸雙曲線截直線x2 y0得弦長 25 。3. 求過直線 y22x和圓 x2y10x0 的交點， 關于坐標軸對稱的拋物線方程。2224. 過橢圓 xay1( a bb0) 的一個焦點作垂直于 x 軸的直線，交橢圓于 M,N2兩點， A,B 是長軸的兩個端點，若 MN1 。 AMBarctg8 , 求橢圓方程。35. 已知雙曲線的離心率為 2，點 F1F2 為左、右焦點， P 為雙曲線上的點，F1 PF2, 又 PF1F 2的面積是 1233 ，求雙曲線的標準方程。 【答案及提示】1（ 1） a 220, b 2t 228橢圓方程為1x 2