1、1 / 43第七章、反比例函數 1一、反比例函數知識要點點撥 1二,、典型例題 2三、反比例函數中考考點突破 8四、達標訓練 10(一)、基礎過關 10(二)、綜合應用 11五、分類解析及培優 13(一)、反比例函數 k 的意義 13(二)、反比例函數與三角形合 14(三)、反比例函數與相似三角形 15(四)、反比例函數與全等三角形 15(五)、反比函數圖像上四種三角形的面積 15(六)、反比例函數與一次函數相交題 191、聯手演繹無交點 202、聯手演繹已知一個交點的坐標 203、聯手演繹圖像分布、性質確定另一個函數的圖像分布 204、聯手演繹平移函數圖像，并已知一個交點的坐標 20(七)、

2、反比例圖像上的點與坐標軸圍成圖形的面積 21(八)、與反比例函數有關的幾種類型題目的解題技巧 23六、拓展練習 26練習(一)26練習（二）28練習(三)32本章參考答案 35第七章、反比例函數第七章、反比例函數反比例函數這一章是八年級數學的一個重點，也是初中數學的一個核心知識點。由反比例函數的圖像和性質衍生出了好多數學問題，這對“數形結合”思想還有點欠缺的中學生來說無疑是一個難點。一、反比例函數知識要點點撥一、反比例函數知識要點點撥1、反比例函數的圖象和性質：反比例函數(0)kykx的符號k0k 0k 2 / 43圖象的取值范圍是， x0 x 的取值范圍是y0y 當時，函數圖象的兩個分支分別

3、在第0k 一、第三象限在每個象限內，隨的增大yx而減小的取值范圍是， x0 x 的取值范圍是y0y 當時，函數圖象的兩個分支分別在第0k 二、第四象限在每個象限內，隨的增大yx而增大性質反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸，對稱中心是坐標原點2、反比例函數與正比例函數的異同點：(0)ykx k函數正比例函數反比例函數解析式(0)ykx k(0)kykx圖象直線，經過原點雙曲線，與坐標軸沒有交點自變量取值范圍全體實數的一切實數0 x 圖象的位置當時，在一、三象限； 0k 當時，在二、四象限0k 當時，在一、三象限； 0k 當時，在二、四象限0k 性質當時，隨的增大而增

4、大； 0k yx當時，隨的增大而減小0k yx當時，隨的增大而減小； 0k yx當時，隨的增大而增大0k yx二二,、典型例題、典型例題例例 1下面函數中，哪些是反比例函數？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3xyxy854 xy15 xy.81xy解解：其中反比例函數有（2），（4），（5）說明說明：判斷函數是反比例函數，依據反比例函數定義，它也可變形為xky )0( k及的形式，（4），（5）就是這兩種形式1 kxykxy xyOxyO3 / 43例例 2 2 在以下各小題后面的括號里填寫正確的記號若這個小題成正比例關系，填(正)；若成反比例關系，填(反)；若既不成正比例關系又不成反比

5、例關系，填(非)(1)周長為定值的長方形的長與寬的關系 （ ）；(2)面積為定值時長方形的長與寬的關系 （ ）；(3)圓面積與半徑的關系（ ）；(4)圓面積與半徑平方的關系（ ）；(5)三角形底邊一定時，面積與高的關系（ ）；(6)三角形面積一定時，底邊與高的關系（ ）；(7)三角形面積一定且一條邊長一定，另兩邊的關系（ ）；(8)在圓中弦長與弦心距的關系（ ）；(9)x越來越大時，y越來越小，y與x的關系（ ）；(10)在圓中弧長與此弧所對的圓心角的關系（ ）答答：說明說明：本題考查了正比例函數和反比例函數的定義，關鍵是一定要弄清出二者的定義例例 3 已知反比例函數，y 隨 x 增大而減小，

6、求 a 的值及解析式62)2(axay分析分析 根據反比例函數的定義及性質來解此題解解 因為是反比例函數，且 y 隨 x 的增大而減小，62)2(axay所以 解得. 02, 162aa. 2,5aa所以，解析式為5axy25 例例 4 （1）若函數是反比例函數，則 m 的值等于（ ）22) 1(mxmyA1 B1 C D13（2）如圖所示正比例函數）與反比例函數的0( kkxyxy1圖像相交于 A、C 兩點，過 A 作 x 軸的垂線交 x 軸于 B，連結 BC若的面積為 S，則：ABCA B C DS 的值不確定1S2S3S解：解：（1）依題意，得 解得, 12, 012mm1m故應選 D（

7、2）由雙曲線關于 O 點的中心對稱性，可知：xy1OBCOBASS4 / 4312122ABOBABOBSSOBA故應選 A例例 5 已知，與 x 成正比例，與 x 成反比例，當時，；當21yyy1y2y1x4y時，求時，y 的值3x5y1x分析分析 先求出 y 與 x 之間的關系式，再求時，y 的值1x解解 因為與 x 成正比例，與 x 成反比例，1y2y所以)0(,212211kkxkyxky所以xkxkyyy2121將，；，代入，得1x4y3x5y 解得 . 5313, 42121kkkk.821,81121kk所以xxy821811所以當時，1x4821811y說明說明 不可草率地將都

8、寫成 k 而導致錯誤，題中給出了兩對數值，決定了21kk、的值21kk、例例 6 根據下列表格 x 與 y 的對應數值x123456y6321.51.21（1）在直角坐標系中，描點畫出圖像；（2）試求所得圖像的函數解析式，并寫出自變量 x 的取值范圍解：解：（1）圖像如右圖所示（2）根據圖像，設，取代入，得)0( kxky6, 1yx 16k6k函數解析式為)0(6xxy說明說明：本例考查了函數的三種表示法之間的變換能力，即先由列表法通過描點畫圖轉化為圖像法，再由圖像法通過待定系數法轉化為解析法，題目新穎別致，有較強的趣味性5 / 43例例 7（1）一次函數與反比例函數在同一坐標系中的圖像大致

9、是如圖中的1xyxy3（ ）（2）一次函數與反比例函數在同一直角坐標系內的圖像的大致12kkxyxky 位置是圖中的（ ）解：解：的圖像經過第一、二、四象限，故排除 B、C；又的圖像兩支1xyxy3在第一、三象限，故排除 D答案應選 A（2）若，則直線經過第一、三、四象限，雙曲線的圖0k) 1(2kkxyxky 像兩支在第一、三象限，而選擇支 A、B、C、D 中沒有一個相符；若，則直線0k經過第二、三、四象限，而雙曲線的兩支在第二、四象限，故只有 C 正) 1(2kkxy確應選 C例例 8，已知函數是反比例函數，且其函數圖像在每一個象限內，24231mxmy隨的增大而減小，求反比例函數的解析式

10、yx解解：因為是的反比例函數，所以，所以或yx1242m21m.21m因為此函數圖像在每一象限內，隨的增大而減小 ，所以，所以yx031m，所以，所以反比例函數的解析式為31m21m.65xy 說明說明：此題根據反比例函數的定義與性質來解反比例函數，當時，xky )0( k0k隨增大而減小，當時，隨增大而增大yx0kyx例例 9 一個長方體的體積是 100 立方厘米，它的長是 y 厘米，寬是 5 厘米，高是 x 厘米（1）寫出用高表示長的函數關系式；（2）寫出自變量 x 的取值范圍；（3）當厘米時，求 y 的值； （4）畫出函數的圖像3x分析分析 本題依據長方體的體積公式列出方程，然后變形求出

11、長關于高的函數關系式解解 （1）因為長方體的長為 y 厘米，寬為 5 厘米，高為 x 厘米，6 / 43所以，所以1005xyxy20（2）因為 x 是長方體的高所以即自變量 x 的取值范圍是0 x0 x（3）當時，（厘米）3x326320y（4）用描點法畫函數圖像，列表如下：x0.5251015y401042311描點畫圖如圖所示例例 10 已知力 F 所作用的功是 15 焦，則力 F 與物體在力的方向通過的距離 S 的圖象大致是（ ）說明說明 本題涉及力學中作功問題，主要考查在力的作用下物體作功情況，由此，識別正、反比例函數，一次函數的圖象位置關系解解 據，得 15=，即，所以 F 與 S

12、 之間是反比例函數關系，故SFWSF SF15選（B）例例 11 一個圓臺形物體的上底面積是下底面積的如果如下圖所示放在桌上，對桌面的.32壓強是，翻過來放，對桌面的壓強是多少？Pa200解：解：由物理知識可知，壓力，壓強與受力面積之間的關系是因為是同一物FpS.SFp 體，的數值不變，所以與成反比例FpS設下底面是，則由上底面積是，0S032S由，且時，有SFp 0SS 200p.20020000SSpSF7 / 43因為是同一物體，所以是定值所以當時，0200SF 032SS 因此，當圓臺翻過來時，對桌面的壓強是 300 帕).Pa(3003220000SSSFp說明：說明：本題與物理知識

13、結合考查了反比例函數，關鍵是清楚對于同一個物體，它對桌面的壓力是一定的例例 12 如圖，P 是反比例函數上一點，若圖中陰影部分的矩形面積是 2，求這個反xky 比例函數的解析式分析分析 求反比例函數的解析式，就是求 k 的值此題可根據矩形的面積公式及坐標與線段長度的轉化來解解解 設 P 點坐標為),(yx因為 P 點在第二象限，所以0, 0yx所以圖中陰影部分矩形的長、寬分別為yx,又，所以因為，所以2 xy2xyxyk 2k所以這個反比例函數的解析式為xy2說明說明 過反比例函數圖像上的一點作兩條坐標軸的垂線，可得到一個矩形，這個矩形的面積等于中的xky k例例 13. 當 n 取什么值時，

14、是反比例函數？它的圖像在第幾象限內？在122)2(nnxnny每個象限內，y 隨 x 增大而增大還是減小？分析分析 根據反比例函數的定義可知，是反比例函數，)0( kxky122)2(nnxnny必須且只需且022 nn112nn解解是反比例函數，則122)2(nnxnny即 , 11, 0222nnnn. 10, 20nnnn或且1n故當時，表示反比例函數：，1n122)2(nnxnnyxy101k雙曲線兩支分別在二、四象限內，并且在每個象限內，y 隨 x 的增大而增大8 / 43三、反比例函數中考考點突破三、反比例函數中考考點突破1 1、（、（20102010 甘肅蘭州）甘肅蘭州）已知點（

15、-1，1y），（2，2y），（3，3y）在反比例函數xky12的圖像上. 下列結論中正確的是 A321yyy B231yyy C213yyy D 132yyy2、（、（2010 嵊州市）嵊州市）如圖,直線與雙曲線交于)0( kkxyxy2兩點,則的值為( ),(),(2211yxByxA122183yxyxxyBAoA.-5 B.-10 C.5 D.103、（、（2010 四川眉山）四川眉山）如圖，已知雙曲線經過直角三角形 OAB 斜邊 OA 的中(0)kykx點 D，且與直角邊 AB 相交于點 C若點 A 的坐標為（，4），則AOC 的面積為6A12 B9 C6 D4DBAyxOC4、（、（

16、2010 安徽蚌埠二中）安徽蚌埠二中）已知點（1，3）在函數的圖像上。正方形)0( xxky的邊在軸上，點是對角線的中點，函數的圖像又ABCDBCxEBD)0( xxky經過、兩點，則點的橫坐標為_。AEE5、（、（2010 內蒙赤峰）內蒙赤峰）已知反比例函數，當4x1 時，y 的最大值是xy2_.6、（、（2010 廣西欽州市）廣西欽州市）反比例函數（k 0）的圖象與經過原點的直線 l 相交于kyxA、B兩點，已知 A 點的坐標為（2，1），那么 B 點的坐標為9 / 43Ox第 6 題121ABly7、（、（2010 廣西南寧）廣西南寧）如圖 7 所示，點、在軸上，且,分1A2A3Ax32

17、211AAAAOA別過點、作軸的平行線，與分比例函數的圖像分別 交于點1A2A3Ay)0(8xxy、，分別過點、作軸的平行線，分別與 軸交于點、1B2B3B1B2B3Bxy1C2C，連接、,那么圖中陰影部分的面積之和為 3C1OB2OB3OB8、（、（2010 年山西年山西 15 題）題）如圖，A 是反比例函數圖象上一點，過點 A 作軸于點yAB B，點 P 在 x 軸上，ABP 面積為 2，則這個反比例函數的解析式為。【答案】xy49、（2010 江蘇鹽城）江蘇鹽城）如圖，A、B 是雙曲線 上的點， A、B 兩點的橫坐y= kx (k 0)標分別是 a、2a，線段 AB 的延長線交 x 軸于

18、點 C，若 SAOC=6則k=yxOBCA（第 10 題）10 / 431010、（、（20102010 福建德化）福建德化）如圖，直線43yx與雙曲線kyx（0 x ）交于點A將直線43yx向下平移個 6 單位后，與雙曲線kyx（0 x ）交于點B，與x軸交于點C，則 C 點的坐標為_；若2AOBC，則k OxyABC11、（2010 福建南平福建南平）函數 y= 和 y= 在第一象限內的圖像如圖，點 P 是 y= 的圖像上一4x1x4x動點，PCx 軸于點 C，交 y= 的圖像于點 B.給出如下結論：ODB 與OCA 的面積相1x等；PA 與 PB 始終相等；四邊形 PAOB 的面積大小不

19、會發生變化；CA= AP.其中13所有正確結論的序號是_.第 11 題DOCAPByx四、達標訓練四、達標訓練( (一一) )、基礎、基礎過關過關1在反比例函數 y=的圖象上的一個點的坐標是（ ）x2A.（2，1) B.（2，1) C.（2，) D.（,2）21212對于函數 y=，下列判斷正確的是（ ）x3A.圖象經過點（1，3）B.圖象在第二、四象限C.圖象所在的每個象限內，y 隨 x 的增大而減小；D.不論 x 為何值時，總有 y011 / 433已知反比例函數 y=的圖象經過點（a，b） ， （c，d） ，且 bd0，則 a 與 c 的大小關x6系是（ ）A.ac0 B.ac0 C.c

20、a0 D.ca04在反比例函數 y=（kx20，則xky1y2的值為( )A.正數 B.負數 C.非正數 D.非負數5設反比例函數 y=的圖象上有兩點 A（x1，y1）和 B（x2，y2） ，且當 x10 x2時，xm3有 y1y2，則 m 的取值范圍是( )6點（1，3）在反比例函數 y=的圖象上，則 k=_，在圖象的每一支上，y 隨xkx 的增大而_.7.若反比例函數 y=經過點（1，2） ，則一次函數 y=kx+2 的圖象一定不經過第_象xk限.8.正比例函數 y=x 的圖象與反比例函數 y=的圖象有一個交點的縱坐標是 2，xk求：（1）x=3 時反比例函數 y 的值；（2）當3x0 時

21、，y 隨 x 的增大而增大，求函數關系式.62a( (二二) )、綜合、綜合應用應用10函數 y=axa 與 y=（a0）在同一坐標系中的圖象可能是圖 1716 中的（ xa）圖 171611在平面直角坐標系內，過反比例函數 y=（k0）的圖象上的一點分別作 x 軸、y 軸xk的垂線段，與 x 軸、y 軸所圍成的矩形面積是 6，則函數解析式為_.12 / 4312.若函數 y=(2m1)x 與 y=的圖象交于第一、三象限，則 m 的取值范圍是_.xm313.在同一直角坐標系內，如果將直線 y=x+1 沿 y 軸向上平移 2 個單位后，那么所得直線與函數 y=的圖象的交點共有幾個？x214.已知

22、反比例函數 y=的圖象經過點 A（4，） ，若一次函數 y=x+1 的圖象平移后經過xk21該反比例函數圖象上的點 B（2，m） ，求平移后的一次函數圖象與 x 軸的交點坐標.15、三個反比例函數:(1)y=;（2）y=;（3）y=在 x 軸上方的圖象如圖 1717 所xk1xk2xk3示，由此推出 k1，k2，k3的大小關系是_.15 題圖 16 題 圖16、兩個反比例函數 y=,y=在第一象限內的圖象如圖 1718 所示，點x3x6P1，P2，P3，P2005在反比例函數 y=的圖象上，它們的橫坐標分別是x6x1，x2，x3，x2 005，縱坐標分別是 1，3，5，共 2 005 個連續奇

23、數，過點P1，P2，P3，P 分別作 y 軸的平行線，與 y=的圖象的交點依次是 Q1（x1，y1） ，x3Q2（x2，y2） ，Q3（x3，y3） ，Q2 005（x2 005，y2 005） ，則 y2 005=_.17、如圖 1719 所示，已知直線 y1=x+m 與 x 軸、y 軸分別交于點 A、B，與雙曲線 y2=（ky2.13 / 43 17 題 圖18已知一次函數 y=kx+b 的圖象與反比例函數 y=的圖象交于 A、B 兩點，且點 A 的x8橫坐標和點 B 的縱坐標都是2，求：（1）一次函數的解析式；（2）AOB 的面積.五、分類解析及培優五、分類解析及培優( (一一) )、反

24、比例函數、反比例函數 k k 的意義的意義代數意義：給出反比例函數圖象上一點坐標（x、y），則 k=xy（1）當 x、y 變為-x、-y 時，k 不變，可知雙曲線的兩支關于原點對稱。幾何意義：（1）過反比例函數圖象上一點分別作 x 軸、y 軸的垂線，與兩坐標軸圍成的長方形的面積為k（2）過圖象上的任一點 P 作 x 軸(或 y 軸)的垂線，連接 OP，則垂線段、OP、x 軸(或 y 軸)圍成三角形的面積為.21k（3）k0,雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一象限 y 隨 x 的增大而減小；k0,雙曲線的兩支分別在二、四象限，在每一象限 y 隨 x 的增大而增大；我們抓住反比例函數 k 的意義

25、可以快解題。A、 快得解析式例 1、某反比例函數的圖象過點 M（1,3）,則此反比例函數的解析式為。解析：由代數意義知 k=13=3 則解析式為 y=x3B B、 快判斷點是否在圖象上。例 2、在平面直角坐標系中有六個點 A（1，5）,B（-3，-）,C（-5,-1）D（-2，），3525E（3，）,F（,2）3525其中有五個點在同一反比例函數的圖象上，不在這個反比例函數圖象上的點是。解析:由代數意義分別求出 k，除 D 點的 k=-5 外，其它都為 5，因而點 D 不在這個反比例函數圖象上 C、快確定圖象所在的象限例 3、已知反比例函數 y=的圖象經過 p(-1,2)，則這個函數的圖象位于

26、第_象限。xk解析: k=-12=-2，所以雙曲線的兩支分別在二、四象限。D、快比較大小14 / 43例 4、若 A（，），B（，），C（，）是 y=（0）上的三點，且1x1y2x2y3x3yxkk1x0，則從小到大排列、為_2x 3x1y2y3y 解析:0，0，在第二象限，k0,y 隨 x 的增大而增大，所以0；0，1x2xk1y2y3xk0，所以0 所以3y3y2y1yE、快得圖形的面積例 5、如圖，直線 y=mx 與 y=交于 A、B 兩點，過 A 作 AM 垂xk直 x 軸，垂足為 M，連接 BM，若=2,則=_.kSABm解析：雙曲線的兩支關于原點對稱。所以 O 為 AB 的中點，又

27、=1，則OAMS=2.SABm 例 6、如圖，y=經過矩形 OABC 的邊 BC 的中點 E，交 AB 于 D，若梯形 ODBC 的面積為 3，則雙曲線的解xk析式為_ 解析：SDOA=，四邊形 ECOF 的面積為，由21kkSDOA+S=S，則+3=2；解得=2DBCE梯形矩形21kkkF、快得圖象上的兩點與原點構成三角形面積。如圖 1，由幾何意義知 SCOA=SDOB,則不重疊的兩部分面積相等。例 7、已知 A（1,2），B（4,b）在同一反比例函數的圖象上，求 SAOB.解析：由代數意義知 y=,b=,如圖 2，過分x221別 A、B 作 ADx 軸,BEx 軸,AD 交 OB 于 C,

28、由幾何意義知 SAOC=S 四邊形 BCDE則 SAOB=S 梯形 ABED =(+2)（4-1）=2121213=25415( (二二) )、反比例函數與三角形合、反比例函數與三角形合反比例函數與不同的三角形結合，展示出許多趣味橫生的妙題。本文對這一問題進行了歸納，僅供同學們學習時參考。15 / 431、反比例函數與直角三角形例 1、如圖 1 所示，P 是反比例函數 y=在第一象限分支上的一個動點，PAx 軸，6x隨著 x 的逐漸增大，APO 的面積將（ ）A、增大 B、減小 C、不變 D、無法確定（09 年德城）。分析：設點 P 的坐標是（a，b），所以 ab=6，根據坐標與線段長度的關系

29、，知道 OA=a，AP=b，所以，三角形 AOB 的面積是：=ab=3，AOAP2121因此，三角形的面積是不變的定值。解：選 C。2、反比例函數與底邊是定長的動態三角形例 2、如圖 2，在直角坐標系中，點是軸正半軸上的一個定點，點是AxB雙曲線（）上的一個動點，當點的橫坐標逐漸增大時，3yx0 x B的面積將會：A逐漸增大 B不變 C逐漸減小 D先增大后減OAB小（蘭州市 2009 年）分析：三角形 OAB 的面積是：OAh，因為，點是軸正半軸上的一個定點，21Ax所以，OA 是一個定長，所以，三角形 OAB 的面積有 OA 上的 h 決定，而這里的 h 恰好是點 B 的縱坐標，根據反比例函

30、數的性質，當 k 大于 0 時，y 隨 x 的增大而減小，所以，當點 B 的橫坐標增大時，其縱坐標將逐漸減小。解：選 C。( (三三) )、反比例函數與相似三角形、反比例函數與相似三角形例 3、如圖 3 所示，在直角坐標系中，OBADOC，邊 OA、OC 都在 x 軸的正半軸上，點 B 的坐標為（6，8），BAOOCD90，OD5反比例函數的圖象(0)kyxx經過點 D，交 AB 邊于點 E（1）求 k 的值（2）求 BE 的長（09 年長春市）分析：解答時，要用好相似三角形的性質，處理好線段長與點的坐標的關系。這是問題獲得解決的兩個關鍵點。解：解：（1）因為，OBADOC，所以，因為，B(6

31、，8)，BAO，所以，OCBADCOA908463OCDC在 RtCOD 中，OD5，所以，OC4，DC3所以，D(4，3)因為，點 D 在函數的圖象上，所以，所以，（2）因為，E 是kyx34k12k 圖象與 AB 的交點，所以，AE2所以，BE82=612(0)yxx126xyOAB圖216 / 43( (四四) )、反比例函數與全等三角形、反比例函數與全等三角形例 4、如圖 4 所示，在平面直角坐標系中，直線 AB 與 Y 軸和 X 軸分別交于點 A、點 8，與反比例函數 y=在第一象限的圖象交于點 c(1，6)、點 D(3，n)過點 C 作 CE 上 y 軸于xmE，過點 D 作 DF

32、 上 X 軸于 F (1)求 m，n 的值；(2)求直線 AB 的函數解析式；(3)求證：AECDFB分析：( (五五) )、反比函數圖像上四種三角形的面積、反比函數圖像上四種三角形的面積反比例函數的圖像經常與三角形的面積聯系在一起，下面就舉例說明。A、三角形面積的四個結論、三角形面積的四個結論結論 1、過反比例函數圖像上一點，向 x 軸作垂線，則以圖像上這個點、垂足，原點為頂點的三角形的面積等于反比例函數 k 的絕對值的一半。如圖 1 所示，設 P（a，b）是反比例函數 y=（k0）圖像上的一點，過點 P 作 PAx 軸，垂足為 A，xk三角形 PAO 的面積是 S，則|k|=2S。結論 2

33、、過反比例函數圖像上一點，向 y 軸作垂線，則以圖像上這個點、垂足，原點為頂點的三角形的面積等于反比例函數 k 的絕對值的一半。如圖 2 所示，設 P（a，b）是反比例函數 y=（k0）圖像上的一點，過點 P 作 PBy 軸，垂足為 B，xk三角形 PBO 的面積是 S，則|k|=2S。結論 3、正比例函數 y=k1x（k10）與反比例函數 y=（k0）xk的圖像交于 A、B 兩點，過 A 點作 ACx 軸，垂足是 C，三角形ABC 的面積設為 S，則 S=|k|，與正比例函數的比例系數 k1無關。如圖 3 所示。證明 1：因為，正比例函數 y=k1x（k10）與17 / 43反比例函數 y=

34、（k0）的圖像交于 A、B 兩點，xk所以，所以，x=，xkxk1111kkkkk當 x=時，y= k1x=，所以，點 A 的坐標是（，），11kkk1kk11kkk1kk當 x=-時，y= k1x=-，所以，點 B 的坐標是（-，-），所以，OC11kkk1kk11kkk1kk的長度是，三角形 ABC 的面積=三角形 AOC 的面積+三角形 BOC 的面積11kkk=OCAC+OCBD2121=+|-|2111kkk1kk2111kkk1kk=k+k=k。所以，與 k1無關。2121證明 2、根據結論 1，知道三角形 AOC 的面積是k，21三角形 BOC 的面積=OCBD|-212111k

35、kk|=k，1kk21所以，三角形 ABC 的面積= k。結論 4、正比例函數 y=k1x（k10）與反比例函數 y=（k0）的圖像交于 A、B 兩點，xk過 A 點作 ACx 軸，過 B 點作 BCy 軸，兩線的交點是 C，三角形 ABC 的面積設為 S，則S=2|k|，與正比例函數的比例系數 k1無關。如圖 4 所示。因為，正比例函數 y=k1x（k10）與反比例函數 y=（k0）的圖像交于 A、B 兩點，xk所以，所以，x=，xkxk1111kkkkk當 x=時，y= k1x=，所以，點 A 的（），11kkk1kk11kkk1kk當 x=-時，y= k1x=-，所以，點 B 的坐標是（

36、-，-），11kkk1kk11kkk1kk18 / 43所以，OC 的長度是，三角形 ABC 的面積=三角形 AOE 的面積+三角形 BOD 的面11kkk積+矩形 ODCE 的面積=OEAE+ODBD+ODDC2121=+|-|-|+|-|2111kkk1kk2111kkk1kk11kkk1kk=k+k+k=2k。所以，與 k1無關。2121B、結論的具體應用、結論的具體應用這些結論，在解答中考數學中選擇題、填空題都是非常有效的。下面就舉例說明。例 1、如圖 5，若點在反比例函數的圖象上，軸于點，A(0)kykxAMxM的面積為 3，則（08 年巴中市）AMOk 分析：根據結論 1，知道面積

37、 S 與 k 之間有如下的關系：|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6 或者 k=-6，因為圖像分布在二、四象限，所以，k0，所以 k=-6.解：-6.k 例 2、兩個反比例函數 y=和 y=在第一象限內的圖象，xkx1如圖 6 所示，點 P 在 y=的圖象上，PCx 軸于點 C，xk交 y=的圖象于點 A，PDy 軸于點 D，交 y=的圖x1x1象于點 B，當點 P 在 y=的圖象上運動時，以下結論：xk ODB 與OCA 的面積相等；四邊形 PAOB 的面積不會發生變化；PA 與 PB 始終相等；當點 A 是 PC 的中點時，點 B 一定是 PD 的中點其中一定正確的是（

38、08 年湖北省咸寧市）分析：因為，點 A、B 都在反比例函數 y=的圖像上，根據結論 1 和結論 2，知道;x1 ODB 與OCA 的面積相等,所以，是正確的；如圖 7 所示，連接 OP，根據結論 1 知道，三角形 POC 的面積為k，是個常數，三角形 OAC 的面積是，212119 / 43所以，三角形 PAO 的面積是k-，是個常數，2121根據結論 2 知道，三角形 POD 的面積為k，是個常數，三角形 OBD 的面積是，2121所以，三角形 PBO 的面積是k-，是個常數，2121所以，四邊形 PBOA 的面積等于三角形 PAO 的面積+三角形 PBO 的面積=k-+k-2121212

39、1=k-1，是一個定值，所以是正確的；設點 P 的坐標為（m，n），因為，點 P 在的圖象上，反比例函數在第一象限內，kyx所以，mn=k，m0，n0，因為，PCx 軸于點 C，交的圖象于點 A，1yx所以，點 A 的橫坐標為 m，所以，點 A 的縱坐標為，即點 A 的坐標為（m，）；m1m1因為，PDy 軸于點 D，交的圖象于點 B，所以，點 B 的縱坐標為 n，所以，點 A1yx的橫坐標為，即點 B 的坐標為（，n），PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=n1n1m1mmn1n1，nmn1分數的分子是相同的，但是，分母不同，只有當 m=n 時，PA=PB 才能成立，所以，即是不

40、正確的；當點 A 是 PC 的中點時，有 PA=AC 即=，所以，mn=2，即 k=2，mmn1m1所以，點 P 的坐標為（m，），即點 B 的坐標為（，），所以，點 B 是 PD 的中m22mm2點，所以，當點 A 是 PC 的中點時，點 B 一定是 PD 的中點即是正確的；因此，一定正確的是.例 3、如圖 8，一次函數的圖象分別交 x 軸、y 軸于 A、B，P 為 AB 上一點且122yxPC 為AOB 的中位線，PC 的延長線交反比例函數的圖象于(0)kykxQ，則 k 的值和 Q 點的坐標分別為_.（08 年荊州32OQCS市）簡析：根據結論 1 知道：因為 k 是大于 0 的，所以，

41、k=2S=2=3，即 y=，設 Q 的坐標為（m，n），則 mn 因23x3為，一次函數的圖象分別交 x 軸、y 軸于122yxA、B，所以，點 A 的坐標為（4，0），點 B 的坐標為（0，-2），所以，線段 OA =4,因為，PC 為AOB 的中位線，所以，點 C 是線段 OA 的中點，所以，OC=2,即點 Q 的橫坐20 / 43標為 m =2，所以，n=，所以點 Q 的坐標為（2，）。2323例 4、如圖 9，反比例函數 y=的圖象與直線 y=kx（k0）相交于 A、B 兩點，x5ACBC軸，則ABC 的面積等于 個面積單位。簡析：因為，反比例函數 y=中 k=5，根據結論 4，所以，

42、x5ABC 的面積等于 2k=10。本題的最大特點是吧，把幾何中的三角形全等問題引入函數的圖像中，充分體現數形的完美組合。解：（1）因為，點 c(1，6)在反比例函數 y=的圖像上，所以，16=m，所以，m=6，xm因為，點 D(3，n) 在反比例函數 y=的圖像上，所以，3n=6，所以，n=2；xm（2）設設直線 AB 的解析式是 y=kx+b，所以，解得：k=-2，b=8 所以，直線 AB 的解析式是 y=-2x+8。236bkbk（3）因為，直線 AB 的解析式是 y=-2x+8，令 x=0，得 y=8，即直線與 y 軸的交點坐標是（0，8），即 A 的坐標是（0，8），所以，OA=8,

43、令 y=0，得 x=4，即直線與 x 軸的交點坐標是（4，0），即 B 的坐標是（4，0），所以，OB=4,又因為，點 C(1，6)、點 D(3，2)，所以，CE=1,OE=2,OF=3,DF=2,所以，AE=OA-OE=8-6=2,BF=OB-OF=4-3=1，因此，AE=DF，CE=BF,因為,AEC=DFB90,所以,AECDFB( (六六) )、反比例函數與一次函數相交題、反比例函數與一次函數相交題反比例函數與一次函數，就象一對孿生姐妹，在考題中常常是成對出現，且每次出場都具有不同的色彩。本文就給出四例，讓同學們一起欣賞它們聯手的精彩。1 1、聯手演繹無交點、聯手演繹無交點例 1、函數

44、的圖象與直線沒有交點，那么 k 的取值范圍是：xk1yxy A、 B、 C、 D、(2008 年揚州市)1k 1k 1k1k分析：反比例函數 y=（k0）與正比例函數 y=ax（a0）要想沒有交點，函數的圖像必須不能分布在xk相同的象限內，具體應滿足如下的兩種情形：如果反比例函數的圖像分布在一、三象限，則正比例函數的圖像必須分布在二、四象限，即 k0，則 a0；如果反比例函數的圖像分布在二、四象限，則正比例函數的圖像必須分布在一、三象限，即 k0，則 a0。解：因為，函數的圖象與直線沒有交點，且正比例函數的圖像分布在一、三象限，xk1yxy 21 / 43所以，反比例函數的圖像必須分布在二、四

45、象限，所以，1-k0，所以，k1，所以，選擇 A。2 2、聯手演繹已知一個交點的坐標、聯手演繹已知一個交點的坐標例 2、已知直線與雙曲線的一個交點A的坐標為（-1，-2）則=_；=_；mxy xky mk它們的另一個交點坐標是_（08 梅州）分析:函數的交點坐標，一定同時滿足兩個函數的解析式。這是驕傲點坐標的一個最大的特點。所以，在具體的解答過程中，同學們只需把交點的坐標分別代入兩個函數的解析式。在求另一個交點的坐標時，建立起方程就可以。解：因為，直線與雙曲線的一個交點A的坐標為（-1，-2），所以，-2=m（-1）,-2=mxy xky ，1k解得：m=2，k=2，所以，函數的解析式分別是：

46、y=2x 和 y=；令：2x=，所以，x2=1，所以，x=-1，x2x2或 x=1；當 x=1 時，y=2，所以，另一個交點的坐標是（1，2）。3 3、聯手演繹圖像分布、性質確定另一個函數的圖像分布、聯手演繹圖像分布、性質確定另一個函數的圖像分布例 3、已知反比例函數=(0)的圖象，在每一象限內，的值隨值的增大而減少，則一次函數=-yxaayxy+的圖象不經過（ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 axa（08 茂名）分析：因為，反比例函數=(0)的圖象，在每一象限內，的值隨值的增大而減少，所以，a0，yxaayx因此，-a0，所以，y=-ax+a 一定經過二、四象限，和第一象限，因此，

47、函數的圖像一定不經過的是第三象限。選C。4 4、聯手演繹平移函數圖像，并已知一個交點的坐標、聯手演繹平移函數圖像，并已知一個交點的坐標例 4、在平面直角坐標系xoy中，直線yx向上平移 1 個單位長度得到直線l直線l與反比例函數kyx的圖象的一個交點為( 2)A a，則k的值等于（2008 年 蕪湖市）分析：由直線yx向上平移 1 個單位長度得到直線l的表達式是：y=x+1，將 A 點坐標代入 y=x+1，得：a+1=2，所以，a=1，所以，點 A 的坐標是（1，2），把（1，2）代入反比例函數的表達式kyx，解得：k=2。應該填 2.22 / 43( (七七) )、反比例圖像上的點與坐標軸圍

48、成圖形的面積、反比例圖像上的點與坐標軸圍成圖形的面積一般地，如圖 1，過雙曲線上任一點 A 作 x 軸、y 軸的垂線 AM、AN，所得矩形 AMON的面積為：S=AMAN=|x|y|=|xy|.又y=xk，xy=k.AMONS矩形=|k|.|21kSAOM.這就是說，過雙曲線上任一點，做 X 軸、Y 軸的垂線，所得矩形的面積為|k|,這是系數 k 的幾何意義，明確了 k 的幾何意義會給解題帶來許多方便，請思考下列問題：（1）、求函數的解析式求函數的解析式例例 1 如圖 2 所示，在平面直角坐標系中，一次函數1ykx的圖象與反比例函數9yx的圖象在第一象限相交于點A過點A分別作x軸、y軸的垂線，

49、垂足為點B、C如果四邊形OBAC是正方形，求一次函數的關系式解析四邊形OBAC是正方形及反比例函數9yx的圖象在第一象限相交于點A，則正方形OBAC的面積為：Sxy9，所以正方形的邊長為 3，即點 A 的坐標（3，3，）。將點 A（3，3，）代入直線得y=32x+1。（2）.特殊點組成圖形的面積特殊點組成圖形的面積例例 2 如圖 3，點A、B是雙曲線3yx上的點，分別經過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，若1S陰影，則12SS解析解析由 A,B 分別向兩坐標軸作垂線圍成圖形的面積相等，S1+S陰影S2+S陰影xy31S陰影，12SS224。例例 3 如圖 4，A、B 是函數2yx的圖象上關于原點

50、對稱的任意兩點，BCx軸，ACy軸，ABC 的面積記為S，則（）A2S B4S C24SD4S 圖 1ANMXYOACOBx圖 2xyABO1S2S圖 3圖 423 / 43解析解析A、B 是函數2yx的圖象上關于原點對稱的任意兩點，ABC 的面積記為S4SAOD=421xy=4.(3)、求字母的值、求字母的值例例 4 如圖 5，直線 y=mx 與雙曲線 y=xk交于 A、B 兩點，過點A 作 AMx 軸，垂足為 M，連結 BM,若ABMS=2，則 k 的值是（）A2B、m-2C、mD、4解析直線 y=mx 與雙曲線 y=xk交于 A、B 兩點，已知 A,B 兩點關于原點 O 對稱，所以ABM

51、S=2SAOM=221xy=xy=2k=2。例例 5 如圖 6，已知雙曲線)0k(xky經過直角三角形 OAB 斜邊 OB 的中點 D，與直角邊AB 相交于點 C若OBC 的面積為 3，則 k_解析：由雙曲線)0k(xky經過直角三角形 OAB 斜邊 OB 的中點 D，設點 D 的坐標（x,y），又 DEBA,點 B 的坐標為（2x,2y），OBC 的面積 3,21OA.AB=212x2y=2xy=2k=3,k=23.(4)、求線段的長度、求線段的長度例例 6 如圖 7，已知一次函數1yx的圖象與反比例函數kyx的圖象在第一象限相交于點A，與x軸相交于點CABx，軸于點B，AOB的面積為 1，

52、則AC的長為（保留根號） 解析：AOB的面積為 1，21k=1,k=2。解方程組y=x+1Y=x2,得A 的坐標（1，2）。由一次函數1yx的圖象與x軸相交于點C，OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得AC22。(5)、探討面積的變化探討面積的變化例例 7 如圖 7，在直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個定點，點B是xyOAB圖8圖 5圖 6yOxACB圖 724 / 43雙曲線3yx（0 x ）上的一個動點，當點B的橫坐標逐漸增大時，OAB的面積將會（）A逐漸增大 B不變C逐漸減小D先增大后減小解析A是x軸正半軸上的一個定點，OA 的長度是定值，即OAB的底邊一定。點B是雙曲線3yx（

53、0 x ）上的一個動點，當點B的橫坐標逐漸增大時，縱坐標 y 的值逐漸減小，故OAB的面積將會逐漸減小，選 B。(6).確定自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍例例 8 已知一次函數, 11 xy點 P 在反比例函數)0(2kxky 的圖象上,PAx 軸,垂足為A,PBy 軸,垂足為 B,且四邊形 AOBP(O 為坐標原點)的面積為 2.求 k 值;求所有滿足21yy 的 x;試根據這兩個函數的圖象,寫出滿足21yy 的 x 的取值范圍(只需直接寫出結論).分析分析:根據四邊形 AOBP 的面積為 2,可以求出反比例函數中的 k 值.再利用21yy 轉換為一元二次方程求出相應的 x 值.解解:

54、(1)四邊形 AOBP(O 為坐標原點)的面積為 2,k=2.,21xx解得 x=-2 或 x=1.由圖象得當-2x0 或 x1 時,滿足21yy .點撥點撥:反比例函數常與一次函數結合起來考查,而反比例函數獨有的特性就是反比例函數圖象上任意一點向坐標軸做垂線,形成矩形的面積為|k|.( (八八) )、與反比例函數有關的幾種類型題目的解題技巧、與反比例函數有關的幾種類型題目的解題技巧(1)、給出自變量 x 的取值范圍，讓我們判斷函數值 y 的范圍；如果每位學生都能把函數的圖像正確的畫出來，我們解決這種問題就相對比較直觀，也比較簡單，但是對于中學生來說好多學生不能對函數的圖像有一個很好的掌握，因

55、此這種題目很容易出錯。也是學生最容易失分的地方，下面我就對這類問題分以下幾種情況來逐一介紹：A、反比例函數 y= ( k0),當 xa 或 xb（a、b 是非零常數）時，求 y 的取值范圍。這種問題xk25 / 43只需要把這里的 a 或 b 代入函數的解析式中，得到 y 的值或，對應的 y 的取值范圍就是 y或akbkaky，由于反比例函數 y= 當 k0 時，y 隨 x 的增大而減小。例如：函數 y=,當 x-1 時，y 的取bkxkx2值范圍就是 y-2；當 x2 時 y 的取值范圍就是 y1。B、反比例函數 y= ( k0),當 xa 或 xb（a、b 是非零常數）時，求 y 的取值范

56、圍。我們同樣xk把這里的 a 或 b 代入函數的解析式中，得到 y 的值或，對應的 y 的取值范圍就是 y或 y，akbkakbk由于反比例函數 y= 當 k0 時，y 隨 x 的減小而增大。例如：函數 y=,當 x-1 時，y 的取值范xkx2圍就是 y2；當 x2 時 y 的取值范圍就是 y-1。C、反比例函數 y= （k0），當 axb，a、b 同號時，求 y 的取值范圍。我們還是把這里的xka、b 代入函數的解析式中，得到 y 的值、，然后對、按小到大排序，排好序后他們之間用akbkakbk“y”連接即可。若，則 y 的取值范圍就是y。例如：函數 y=，當-3x-1 時akbkbkak

57、x2求 y 的取值范圍，把-3 和-2 代入解析式得到的 y 的值為和-2,則 y 的取值范圍就是-2y。3232D、反比例函數 y= （k0），當 axb，a*b0 時，求 y 的取值范圍。同樣先是把這里的xka、b 代入函數的解析式中，得到 y 的值、，然后對這里的、進行大小比較，y 的取值范圍是akbkakbk“大于大的，小于小的”。若則 y 的取值范圍就是 y，y。例如：函數 y=，當-akbkakbkx22x2 時求 y 的取值范圍，把-2 和 2 代入解析式得到的 y 的值為-1 和 1,則 y 的取值范圍就是 y-1，y1。(2)(2)、已知反比例函數圖像上的若干個點，知道橫坐標

58、的大小關系，讓我們來判斷縱坐標的大小關系；、已知反比例函數圖像上的若干個點，知道橫坐標的大小關系，讓我們來判斷縱坐標的大小關系；對于這種問題，如果能正確的畫出反比例函數的圖像，并會熟練的分析反比例函數的圖像，那么這類問題也很容易解決，但面對一些實際情況，我們只能尋找一些學生更容易例接受的方式，下面我就對這些問題稍作分析：A、反比例函數 y= ( k0)，點 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函數的圖像上，已知xkX1X2X3Xn（X1、X2、X3Xn同號），求 Y1，Y2，Y3Yn的大小關系。這個問題我們直接利用反比例函數的性質（當 k0 時，y 隨著 x 的增

59、大而減小），很容易得到 Y1Y2Y3Yn。例如：已知函數 y=，點 A(1,Y1),B(,Y2),C(2, Y3)在函數的圖像上，求 Y1，Y2，Y3的大小關系。由于x22112，按照上面方法很容易得到 Y2Y1Y3。21B、反比例函數 y= ( k0)，點 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函數的圖像上，已知xkX1X2X3Xn（X1、X2、X3Xn同號），求 Y1，Y2，Y3Yn的大小關系。這個問題我們直接利用反比例函數的性質（當 k0 時，y 隨著 x 的增大而增大），很容易得到 Y1Y2Y3Yn。例如：已26 / 43知函數 y=，點 A(1,Y1),B

60、(,Y2),C(2, Y3)在函數的圖像上，求 Y1，Y2，Y3的大小關系。由于x22112，按照上面方法很容易得到 Y2Y1Y3。21C、反比例函數 y= ( k0)，點 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函數的圖像上，已知xkX1X2Xk0Xk+1Xn,求 Y1，Y2，Y3Yn的大小關系。這個問題就不能像上面一樣直接比較，A1、A2An這些點的橫坐標中間被“0”隔開，做這類問題要分兩塊來進行解決。我們首先要分清楚每個點所在的函數圖像在哪個象限，在每個象限內我們還是按照 1 和 2 的比較方式進行就可以了。反比例函數 y= ，當 k0 時，它的圖像在一、三象限