1、二次根式復習專題講義一、二次根式的概念：1. 二次根式：形如、a (a > 0)的式子叫做二次根式，“廠 稱為二次根號。 .式子中，被開方數(式)必須大于等于零。 .,a (a>0)是一個非負數。 .(罷)2= a (a> 0); Va2=a (a >0)2. 二次根式的乘： .一般的，有|ya 品=+阪.(a0, b0) .反過來，有v'ab = Va X Jb ( a 0 , b0 )3. 二次根式的除：.一般地，對二次根式的除法規定:_a二冷（a0, b>0）,A -=-g （a0, b>0）b +E|.反過來，例2.當x是多少時，丄在實數范圍

2、內有意義？X+1變式題1 :當X是多少時，,31在實數范圍內有意義？變式題2:.當x是多少時，上衛+x ( a2 2a 1 )4在實數范圍內有意義?X例3.已知y=、.k+.、口+5，求的值.y. | 小 _2004- 2004 占/士.右a 1 + .b -1 =0,求 a +b 的值.已知x-y 1+ x-3=0,求xy的值.例4.計算.(3、5)5. 計算.(,4x2 -12x 9)變式題：計算1.2.(2 ,3 3、2)(2、-3 - 3、2)例6.在實數范圍內分解下列因式：(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x 2-3例7.化簡(1) .9(2) (-4)2(3)、25(4)(

3、3)2例8.填空：當a>0時，/=；當a<0時，.孑=,?并根據這一性質回答下列問題.(1 )若、a2=a，則a可以是什么數？(2 )若.a2 = -a，貝y a可以是什么數？(3) . a2>a,則a可以是什么數？例 9.當 x>2，化簡(X：)2 - , (V2x)2 .例10.先化簡再求值：當a=9時，求a+j-2a a2的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式 =a+.,(i匚a)2 =a+ (1-a ) =1；乙的解答為：原式 =a+.、(1-a)2 =a+ (a-1 ) =2a-仁17 .兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是變式題 1.若丨 1995-

4、a | +Ja2000 =a，求 a-19952 的值.(提示：先由a-2000 >0,判斷1995-a?的值是正數還是負數， 去掉絕對值)變式題2.若-3 < X < 2 時，試化簡丨 X-2 | + J(x + 3)2 + Jx2 - 10x + 25。例11 .計算(1)5 x ,7(2).1 x ,9(3)9 x 方(4). 1x J6分析：直接利用、-a b =、一 ab ( a> 0 , b> 0)計算即可.解：(1)、5 X ,7=. 35(2) 1 X 9=p=3(3) .,9 X . 27 = 927 ：92 3=9 3(4) 2 x.、.6加=

5、3例12 .化簡(1) 、9一16(2) .1681(3) . 81 100(4)9x2y2( 5) x 54例13 .判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1 )4)廠9) j匸4-9(2 ) t 41 X , 25 =4 X. H X、25=4 筈 X . 25=4 12 =8、3變式題1:若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為15cm和12cm, ?那么此直角三角形斜邊長是().變式題2：化簡a a的結果是().變式題 3: >A0i4=. V169X6變式題4: 一個底面為30cmX 30cm長方體玻璃容器中裝滿 水，?現將一部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵

6、桶裝滿水時，容器中的水面下降了 20cm,鐵桶的底面邊長是 多少厘米？變式題5:探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.2 _2 2(23 - 2) 2(2) 3驗證：33 332 -13(32 -1) 3 _ 3(32 -1)3同理可得：432 -132 -14 1；4155 2：，通過上述探究你能猜測出:aa2 -1(a>0),并驗證你的結論.例14.計算:832(3)(4)書例15.化簡:649a264b2(3)9x64y2(4)5x169y2例16.已知9-x ,9-x且X為偶數，求(1+X)x2 - 5x 4x2 -1的值.變式題1.計算、訃變式題4.有一種房梁的截面積是一個矩形，

7、且矩形的長與寬之比為,3 : 1 , ?現用直徑為3 ,15 cm的一種圓木做原料加工這種 房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？變式題5.計算 "事（-申）* 壓（m>0 n>0）m Y 2mm V mV 2m -3-（ ?曾）乂厚（a>0）V 2a22 a2Ym-n的結果是（）.變式題2.閱讀下列運算過程：1 _ V3 732 _ 2屈 _2兵3 3,335 55 5數學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化” 那么，化簡呂的結果是（）.變式題3.已知x=3, y=4, z=5，那么 “xy的最后結果是例 18.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90

8、°, AC=2.5cm, BC=6cm求AB的長.例19.觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：同理可得：.43 = 4- 3，1 = 1( -.2)乜 /2仁3.2)( , 3 - .2)1 二仆(運1)_ 721 =臣_1 .2 1 ( .2 1)( . 2 -1) 2 -1 " '春=3-、2從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算（+ 廠1 廠 + 廠1 廠 + 1） （ J2002 +1 ）的值.、2 1、3、2“4”3. 2002、2001練習：一、選擇題1 .如果x （y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）

9、A .丄（y>0） B . xy（ y>0） C .（y>0） D .以 yy上都不對2 .把（a-1 ） , 一 1中根號外的（a-1 ）移入根號內得（）.Y a-1A . a-1 B .1-a C . - ,a-1 D . - ,1-a.在下列各式中，化簡正確的是（A.5=3 15 B .2=±Y3V22C. , a4b =a b D .x3-x2=Xx-14 .化簡雪的結果是(A . -T B2""3詩 D . -2、填空題.化簡.x4 x2 y2 =i(x > 0)2 . a J孚化簡二次根式號后的結果是 .三、綜合提高題1.已知a

10、為實數，化簡：.二3 -.已知.5 2.236，求(.80- ,14 ) - (, 3- +，45 )的值.(結V 5155果精確到0.01 )，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，？請寫出正確的解答過程：2.若x、y為實數，且y=莊牛手乙，求j廠yR 的值.例20.計算(1 ) 、8+、18(2) 、16x +、64x總結：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，?再將被開方數相同的二次根式進行合并.例21 .計算(1 ) 3 . 48 -9 t 1 +3 12(2) (、.48 +、20 ) + ( .12 - ,5 )例 22.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0

11、，求(2x、9x+y2 二)-3 v y(x2H )的值.練習：一、選擇題1 .以下二次根式：.12 :遼2 ；，| :、27中，與，3是同類二次根式的是().A .和B .和 C .和D .和2 .下列各式： 3,3+3=6.3 : 5=1 :2 + 二=、8=22 ；=2 2，其中錯誤的有().A . 3個 B . 2個 C . 1個 D . 0個二、填空題1 .在 罷、x/75a、 x/9a、J125、J3a3、3/0.2、-2 .11 中，與33a廟是同類二次根式的有.2 .計算二次根式5-心-3" -7 2 +9 ,b的最后結果是 三、綜合提高題 12 .先化簡，再求值.（

12、6x 憶+三歷3） - （4x E+J麗）,其中 x=2 , y=27.V X y y2例23.如圖所示的Rt ABC中，/ B=90° 點P從點B開 始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向點 A移動；同時，點Q也從點B 開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點 C移動.問：幾秒后 PBQ 的面積為35平方厘米？ PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二 次根式表示）例23.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m） ?例24 .若最簡根式3aJb4a 3b與根式、2ab2 b3 6b2是同類二次根 式，求a、b的值.（？同類二次根式就是被開方數相同的最簡二 次根式）練習：一、選擇題

13、1 .已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,那么斜邊的長應為（）.（?結果用最簡二次根式）A . 5 2 B . -、50 C . 25 D .以上都不對2 .小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，？為了增加其穩定性，他沿長方形的對角線又釘上了一 根木條，木條的長應為（）米.（結果同最簡二次根式表示）A . 13 '.100 B . 1300 C . 10 帀 D . 5 13二、填空題1 .某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m 3-2 .2= (、，2-1 )求：(1)3 2/2 ；(2) , 4 2.3 ；(3) 你會算 4

14、- 一 12 嗎？( "3-1)（4）若；a 一 2. b = '、m _ n，則m、n與a、b的關系是什么?，?魚塘的寬是m.（結果用最簡二次根式）2 .已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為.2 , ?那么這個等腰直角三角形的周長是 .（結果用最簡二次根式）三、綜合提高題1 .若最簡二次根式2（3m2 _2與4m210是同類二次根式，求3m n的值.2 .同學們，我們以前學過完全平方公式a2± 2ab+b2= （a± b）2,你一定熟練掌握了吧！現在，我們又學習了二次根式，那么所 有的正數（包括0）都可以看作是一個數的平方，如3= （. 3 ）5= （ ：

15、5 ） 2,你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察：（ 2-1 ） 2= （ -.2 ） 2-2 1 、2+12=2-2 2+1=3-2 2反之，3-2 2=2-2 ,2+1= ( ,2-1 )并說明理由.例25 .計算：(2) (4.6-3 ,2 )+ 2 互(1) ( ,6 + ,.8 ) X ,3例26.計算(1) ( .5+6) ( 3- 5)(2) ( .,10 +、7 ) ( .,10- ,7 )例27.已知 耳=2-x a，其中a、b是實數，且a+bz0, ab化簡x+ x_ x，并求值。.x T、x 、x 1 -，x練習：、選擇題1. ( , 24-3 ,15+2.2i)>

16、 X ；2的值是（）A.3-3 .30B. Q.3、30 - ” 333C . 2 30 - 2、3D.空用-30332.計算(x +, x-1)(.x- . x -1 )的值是A . 2 B . 3 C . 4 D . 1)二、填空題1.（-】 +魚）2的計算結果（用最簡根式表示）是2 22. （1-2 .3 ） （1+2,3 ） - （2 3-1 ） 2的計算結果（用最簡二次 根式表示）是 .3 .若 x=V2-1，貝U x2+2x+1=.4 .已知 a=3+2 逅,b=3-2 <2，貝U a2b-ab2=.三、綜合提高題化簡亦+J7.1.14.1.21當"右時,求+x十疋

17、的值.X 1,x2 x（結果用最簡二次根式表示）課外知識1 .同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數相同，？這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本 書中所講的被開方數相同的二次根式.練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A. ,2x 與 2y B .一 8a3b4 與' 9a5b8C. , mn 與n D . m n 與、m n2 .互為有理化因式：？互為有理化因式是指兩個二次根式的 乘積可以運用平方差公式（a+b） （a-b ） =a2-b2,同時它們的積是 有理數，不含有二次根式：如x+1- . x2 2x與X+1 + x2，2x就是互為有理化因式；X與也是互為有理化因式.vx練習：近+爲的有理化因式是；x- 百的有理化因式是.-Jx +1 - Jx-1的有理化因式是.3 .分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、？分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中的根號的目的.練習：把下列各式的分母有理化(1)15-1(2)(4)4 .其它材料：如果 n是任意正整數，那么3、，3 4J2=n理由：用匚呼= =n練習：填空屈=；?8=； 4辭.例28.比較32與,2-1的大小。變式題1 :比較'-4-''3與，3-、2的大小。變式題2:試比較市-丘與'、齊-、百的大小。例29.已知6 1的整數部分為a,