1、第1 1頁共 1919 頁2019 屆湖南省長郡中學高三下學期第一次模擬考試數學(理)試題一、單選題1 1 .已知集合北=1 1 沐J：，三：1 1 片：- - - ? ? -:必同解,又bjbj 都不為 0 0（= = 1,21,2）,所以知書所以“”是關于的不等式與同解”的必要不充分條件故選：B.B.【點睛】本題考查了充分必要條件的判斷，判斷一個命題為假只需舉一個反例即可5 5 .某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（4m25n25tiA A .4m第3 3頁共 1919 頁A.切亠1?店B.姿亠1沙C. 30 +百石D . 28 + 65【答案】C C【解析】通過三視圖復原的幾何

2、體的形狀，利用三視圖的數據求出各棱長，從而求出各面的面積，相加即可 【詳解】解：三視圖復原的幾何體是底面為直角邊長為4 4 和 5 5 的直角三角形，一個側面垂直底面的等腰三角形，高為4 4，底邊長為 5 5,如圖所以： ： .- I ；：，.：.-： I ：!，V-:-I ：左邊側面為等腰三角形，底邊為.，高為所以nA三棱錐的表面積g 飛沽-vQ 汁【點睛】本題考查了三視圖與幾何體的關系，空間幾何體表面積的求法，考查了空間想象能力與計算能力 6 6 .閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的，則該算法的功能是（）第4 4頁共 1919 頁A A 計算數列的前 1010 項和B B.計算數列的前 9

3、9 項和C C 計算數列的前 1010 項和D D 計算數列的前 9 9 項和【答案】A A【解析】從賦值開始，逐步分析寫出程序運行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能 【詳解】解：開始賦值：，；執行7十：-，；判斷 不成立，執行.丨二.丨二；判斷 |不成立，執行:I I1 1 I I1 1 = = 4 4判斷| 不成立，執行，=；判斷 成立，輸出F.十十- - :?.算法結束所以該算法的功能是計算數列的前 1010 項和故選：A.A.【點睛】本題考查了程序框圖中的循環結構，循環次數較多時，一般寫出前幾次循環找出規律. .7 7 .如圖是函數f(x)=Asi n( 2x+)蘭二|圖像的一

4、部分，對不同的x1,x2a,b，第5 5頁共 1919 頁 2丿若f Xi= f X2，有f N X2= 3，則正確的是()第6 6頁共 1919 頁【答案】C【解析】試題分析：根據題意可知A =2,2a 2b = :,從而有a2結合題中條件，可知為 x2=a b =2f (x1x22sin2() = 2sin(點F )=sin二,3結合的范圍，求得2_ nn所以f(x) =2sin(2 x)，結合函數的性質，可知C是正確的，故選C.33【考點】根據圖像求函數解析式，正弦函數的性質.X2Y28 8.如圖所示，直線為雙曲線：/-；二的一條漸近線， 是雙曲線 的左、右焦點，關于直線 的對稱點為 ，

5、且 是以 為圓心，以半焦距 為半徑的圓上C C. 2 2 D D. 3 3【答案】比三宣，又點在圓(x-uF十上，兒(牛一J+(_ =A A f%在一尋匸上是c c f X在春上是增函數B B.f X在，5上是減函數G 6丿D D.f X在，5上是增函數3 6【解設焦點關于漸近線T =的對稱點為，則cy第7 7頁共 1919 頁=- ，-，故選C.9 9.已知定義在上的偶函數b = fC円)，買k I 1巒2),則 Jb,的大小關系是()【答案】A A【解析】 先由偶函數求出，然后分析出函數在 上單調遞增，判斷出以/ - L !且都屬于|，然后可比較大小. .【詳解】解：由定義在上的偶函數 i

6、!.li!.，可得和=寺；即，解得所以 IIII ? ?；. . ：當1|時，-單調遞增，:單調遞減，所以在上單調遞增因為 ，、丿匚：.：.,L L1 11八1所以:七、L 斗暑，且都屬于.所以W ：i i即卩.故選：A.A.【點睛】本題考查了函數單調性與奇偶性的綜合運用，考查了學生分析解決問題的能力，屬于中檔題 1010 已知從 1 1 開始的連續奇數蛇形排列形成寶塔形數表，第一行為1 1，第二行為 3 3, 5 5,第三行為 7 7, 9 9, 1111,第四行為 1313, 1515, 1717, 1919，如圖所示，在寶塔形數表中位于第 行, 第列的數記為 ，比如，:y-扛，若:沈 n

7、，貝 U U( )I35110713 15 17 N292725 23 21* a e a a A A 7272B B. 7171C C 6666D D 6565【答案】B B【解析】 先分析出奇數 20192019 為第 10101010 個奇數，按照蛇形排列，第1 1 行到第 行末共有i(l I- i)個奇數，試值可以分析出第10101010 個奇數位于第 4545 行，從右到左第2020 列，從而得出答案. .- (其中為自然對數的底數)，記第8 8頁共 1919 頁【詳解】解：奇數 20192019 為第 10101010 個奇數,_. _ . + + ,i(l I i)按照蛇形排列，

8、第 1 1 行到第 行末共有個奇數，/XJ/則第 1 1 行到第 4444 行末共有 990990 個奇數,第1行到第45行末共有1035個奇數，則2019位于第45行；而第45行是從右到左依次遞增，且共有45個奇數；故2019位于第45行，從右到左第20列，貝叭=| -故選B.【點睛】本題考查了等差數列的前n項和，數與式中的歸納推理，屬于中等題.1111.已知函數丄=3 二一二，l-若存在.，使得關于 的方程撫W V =迖有解，其中為自然對數的底數則實數的取值范圍是（）A A.+）B.（-oo,0）C C .D D.（ 0“Up）【答案】D【解析】 分析：由題得II、l J:,令i I Tr

9、. rfc利用導數性質能求出實數的取值范圍.詳解：由2aJu（x） v（x）=羞，得x + aC2x + 2m-4ex） ln（x十m）-rDd =0,得JJ一d d i i : :即一】_ _ I I 八 J J 小令則咼：、I：，I / -1H：顯然 是函數 的唯一零點，易得.二一 /=：，.，即1 E（-卻）U苗 +J.故選D.點睛：本題考查實數的取值范圍的求法解題時要認真審題，注意導數性質、構造法的合理運用.，屬中檔題，二、填空題1212 .已知 為拋物線：宀-讓的焦點， 為其準線與 軸的交點，過 的直線交拋物線于 兩點，第9 9頁共 1919 頁為線段.的中點，且丄二，則沁=（）A

10、A . 6 6B B.C C. 8 8D D . 9 9【答案】A【解析】設直線，聯立拋物線方程得韋達定理， 求出點坐標，由.-列方程解出，然后可求出 L L丄【詳解】解：根據題意可知直線的斜率是存在的，拋物線的焦點坐標是，設直線、一 .:將直線與拋物線方程聯立：.，化簡得 a !:. I I：1 1zo2k-4得 X 一根據、丨 ，得:.丨 J JI I解得.，所以丨 V V 丨-： 二 .-:-二 | 二故選 A.A.【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系，拋物線焦點弦的性質，屬于中檔題1313 已知向量，向量恥的夾角是?，耳，=2 2, ,則血等于_. .【答案】2 2_ _0 0 二

11、蘭【解析】試題分析：由題意，得，:，向量 a,ca,c 的夾角-,則由； = = ,得菲總二則;故填 2 2 【考點】1 1 平面向量的數量積；2.2.平面向量的模.x0,x0,y y 0T1414.設耳丫滿足約束條件 x-yx-y -L-L ,則-即的最小值為x-yx-y 3,0,x0,V0 0解：先畫出約束條件所代表的平面區域，如圖中陰影x x + + y3y3：然后畫出目標函數如圖中過原點虛線所示第1111頁共 1919 頁平移目標函數，在點.處取得最小值由.，解得所以目標函數最小值為1 - - =故答案為：i .曲線y =x2所圍成的封閉區域面積為32【答案】323n的展開式中各項的系

12、數之和為81813n=81x-的展開式的通項公式為：Tr廠C4r2rx42,I X丿令4 - 2r = 0,解得r =2,展開式中常數項為a二C4222二24;二直線y =4x與曲線y =x2圍成的封閉區域面積為:42213432S)dx心 - W 盲故答案為:323 【點睛】本題考查了簡單線性規劃問題，平移目標函數時由目標函數故向上移越移越小. .中前系數小于 0 0，1515 .若x -I x的展開式中各項的系數之和為8181,且常數項為a，則直線yax與【解析】試題分析：x2I x丿第1212頁共 1919 頁【考點】二項式定理，定積分1616 .已知點幾、二二均在表面積為、.的球面上，

13、其中I I 平面ABCABC，厶BAC = 3八AC= 駄応，則三棱錐 P-ARCP-ARC 的體積的最大值為 _ .【答案】【解析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐.I.I：的體積的表達式，最后求函數的最大值. .詳解：設球的半徑為 R,R,所以=?。?工 匸設 AB=x,AB=x,則 、：.、,由余弦定理得 K-K- ：-： ；. . - - ：設底面 ABCABC 的外接圓的半徑為 r,r,則-所以 PA=.所以三棱錐丨.川：的體積0a=b=c0 時取等.(3).(3)函數的思想是高中數學的重要思想，一般是先求出函數的 表達式，再求函數的定義域，再求函數的最值 三、解答題1717在VA

14、BC中，三邊a,b,c所對應的角分別是 A,B,CA,B,C . .已知a,b,c成等比數列. .(1)若丄 - 乙3，求角B的值；tanA tanC 3(2)若VABC外接圓的面積為4二，求VABC面積的取值范圍. .【答案】(1 1) - ; (2 2) 0303、3 3 . .【解析】(1 1)化簡二-乙色，可得SinA C =-3，由a,b,c成等比數tanA tanC 3si nAsi nC3列，用正弦定理進行邊角轉化為sin2B二sinAsinC，又sin A C二sinB，可解出第1313頁共 1919 頁bsinB,從而求出角B； (2 2)由VABC外接圓的面積可求出外接圓半

15、徑，且2R,si nB1i i二cosB，當且僅當a = c時取等號，又/ B為VABC的內角，二0：B _ ,23K由正弦定理2R，得 b=4sinB. .si nB1 12 3二VABC的面積SABCacsinBb2sinB =8sin3B2 2 Tt 0 B -3【點睛】本題考查了三角函數式的化簡，正余弦定理在解三角形中的應用，三角形面積的最值問題，屬于中檔題 1818如圖 1 1,直角梯形中，中，分別為邊和 上的點，且m：-.將四邊形沿.折起成如圖 2 2 的位置，ADAD = = ARAR得 b =4sinB,SABC-1acsinB =8sin3B,再由余弦定理可求出2cosB的范

16、圍，得B的范圍，從而求出SAABC的范圍. .【詳解：(1 1)1 1-+-tanA tanCcosA cosCsin A C2 -3si nA si nCsin Asi nC3又a,b,c成等比數列，得b2=ac，由正弦定理有sin2B =sinAsinC, A C -二- B，二sin A C二sinB，得到IB，即sin B3,sin2B 32由b2= ac知，b不是最大邊，二B. .3(2 2) /VABC外接圓的面積為4二，二VABC的外接圓的半徑R= = 2 2 ,由余弦定理2 2 2b a c - 2accosB,得cosBa2c2b22ac又b2二ac，SA ABC03.3 第

17、1414頁共 1919 頁mi朋(1)求證：J?J?平面J ；(2)求平面I I 與平面 I I所成銳角的余弦值. .【答案】(1 1)見解析；(2 2)仁【解析】 試題分析：(1)取 DEDE 中點 G G,連接 FG,AGFG,AG ,，_平面，只需證平 面 AFGAFG /平面 CBDCBD，又FGz平面AFG，JG 二平面丄一,故只需證/平面CBDCBD ,_/ 平面 CBDCBD 即可；(2 2)要求平面與平面 .所成銳角的余弦值，需找兩平面的法向量，取 .中點為H H，連接 DHDH，可證 二十匚,故以.中點 H H 為原點，.為 軸建立如圖所- BC 0*示的空間直角坐標系，易知

18、甌是平面 QEQE 的一個法向量，由BD = Q可得平面 BCDBCD 的一個法向量為，然后由空間兩向量夾角公式去求平面u與平面 LL-LL-所成銳角的余弦值。試題解析：(1 1)證明：取 DEDE 中點 G G,連接 FG,AGFG,AG, CG.CG.因為 CFCF _ _ DG,DG,所以 FGFG / CD.CD. 因為 CGCG AB,AB, ,所以 AGAG / BC.BC.所以平面 AFGAFG /平面 CBDCBD , 所以 AFAF /平面 CBD.CBD.(2 2)解：取.中點為 H H，連接 DH.DH.丄二上匸亠-工， 二-,_一一工，干三丄_ .以.中點 H H 為原

19、點，.為 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則化二，,u所以的中點坐標為込亍因為二二二，所以-易知 是平面的一個法向量，：.叮JJ-設平面 LULU 的一個法向量為7 亠 1第1515頁共 1919 頁一 *3733 n2BC =（x xh hy yz z）- -紜,?。?+ + yzyz = = 0 0由 而=- - （1212 詬）hxhx 十卻 + y/3zy/3z = = 0 0令；=.則；=、，：-：，: - ./.z.I- */ / t t m m m m 2 2 0+2*0+2* * Q Q 運, ,ImlHImlH八計?所以面與面 LlLl所成角的余弦值為. .【考點】（1 1）

20、空間線面平行、面面平行、線面垂直判定定理的應用；（2 2）空間兩平面夾角的定義、平面法向量的定義的應用；（3 3）空間向量的基本運算。佃為了迎接 20192019 年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創建知識的網絡問卷調查 每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的 10001000 人的得分（滿分：100100 分）數據，統計結果如下表所示：組別30.40)40T50)50,60)60.70)70.80)80.90)I90J00頻數25251501502002002502502252251001005050（1 1） 由頻數分布表可以認為，此次問卷調查的得

21、分服從正態分布 L L 一上 I I ,近似為 這 1001000 0人得分的平均值（同一組數據用該組區間的中點值作為代表） ，請利用正態分布 的知識求 m mU（2 2）在（1 1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：（i i） 得分不低于.的可以獲贈 2 2 次隨機話費，得分低于的可以獲贈 1 1 次隨機話費；（iiii） 每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）20204040概率現市民小王要參加此次問卷調查，記(單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求.的分布列及數學期望.附：，三第1616頁共 1919 頁若，則: !,-.： 2 ：,一

22、一_1313得60分的情況為兩次機會，一次40元一次20元，概率- - ,1111得80分的其概況為兩次機會，都是40元,概率為，所以變量 X X 的分布列為X X2020404060608080第1717頁共 1919 頁P P35：目 一亠、，.?1J4I 75所以其期望為【點睛】該題考查的是有關概率的問題，涉及到的知識點有平均數的求法，正態分布的性質，離 散型隨機變量的分布列，屬于中檔題目2020 .已知橢圓 廠：丨暑1-，的離心率其左、右頂點分別為點，且點關于直線=、對稱的點在直線. =：上. .(1) 求橢圓的方程；(2)若點 在橢圓門上，點 在圓門：叮忙1 丁上，且都在第一象限，.

23、 軸，若直線I.-.I.-. -I-I 與軸的交點分別為.，判斷-是否為定值，若是定值，求出 該定值；若不是定值，說明理由. .【答案】(1 1)二 + ?= - ； (2 2) 1.1.【解析】(1 1)點二：盅”關于直線；=對稱的點在直線上,代入可求出，又- : .： -： - ,可解出 ，然后得出橢圓方程；(2 2)設，匚:，求出點的坐標，聯立直線與橢圓方程，由韋達定理求出関坐標，從而得到的方程，求出點 的坐標，設，求出廠化簡得 匚=：所以Y 卜二=工 u，工:亠 T-J1CT-J1C = = 為定值. .【詳解】解：(1 1 )點 關于直線丁二黑對稱的點在直線：上，-|；-;,解得 0

24、)0),令m，解得. .|y = k(x+ 2)、聯立：.，化簡得：，丄_ 廣 匚山.第1818頁共 1919 頁直線 的斜率= =. .2k3t LML 的方程:;匚，,令-解得 ，. .設勺Ox,、/，則NC =(-英M*2k -yj, =(-旳隔yJ.,.-。=2k +1 r r4kf、7T-.疋 F; = ,.、二，即2: :.,：亠-Jic =為定值 【點睛】本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，橢圓中的定值問題，解析幾何中的夾角類問題可嘗試用平面向量解決nx2121 .已知函數f x =mx + n(1) 若m =0, n =1，求函數f x的最小值；(2) 若m .0,n

25、.0，f x在0：上的最小值為 1 1,求-的最大值.n1【答案】(1 1)1; (2 2). .2【解析】 試題分析：(1 1)運用導數知識進行求解；(2 2)借助題設條件運用導數和分類整合的數學思想求解 試題解析：(1 1)m =0,n =1時，f x二e x，則f x二-e1，f x -0則x一0， f x在：,0 1單調遞減，0,=上單調遞增,f xmin=f 01=1，即函數f x的最小值為 1 1.第1919頁共 1919 頁(2 2)由題意：f x =eX，令t =m0則f X二ex,f 0 =1，mxxntx+1n第2020頁共 1919 頁x2x2f x _ 0 = e _

26、tx 1，令h x = e - tx 1，則h0=0,h x=ex-2t tx 1 , h 0 = 12t.當1 -2t : 0時，則 h0 = 1 -2t : 0,因為x上時h x：一 ：,二X。- 0使得 xEi0,x0時 hx : 0, -h x在0,x。上單調遞減，又因為h 0 =0,在0, xg上h x : 0，即f x : 0, 則f x在0,x0上單調遞減，即0,Xo時，f x :：f 0 =1，不合題意.11-2t_0時，即t，則h 0 =1-2t_0,又因為 hx =ex-2t _e-2t =1-2t _0,- hx在x0,xo上單調遞增，又h0=1-2t_0,x0,時 hx

27、 _0,即h x在x l.0=上單調遞增，又因為h 0 =0,x0,：時h x -0，即 x 0,：時f x -0,f x在x0：上單調遞增，又因為f 0 -1,所以f X斷=f 0 =1，滿足題意，m1綜上所述，的最大值為丄.n2【考點】導數在研究函數的最值中的運用.【易錯點晴】函數是高中數學的核心內容，也是高考必考的重要考點 運用導數這一工具研究函數的單調性和極值最值等問題是高考的基本題型 解答這類問題時，一定要先求導再對求導后的導函數的解析式進行變形(因式分解或配方)，其目的是搞清求導后所得到的導函數的值的符號 ，以便確定其單調性，這是解答這類問題容易忽視的 本題第二問的求解過程則先預見函數f(x)在區間0,上單調遞增，再運用分析轉化的思維f x - -e12tx 1ex（tx +1）ex（tx + 1）2第2121頁共 1919 頁2222 .以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點的直角坐標為若直線 的極