1、第1頁共 20 頁2020 屆江蘇省南京市高三下學期5 月模擬考試數學試題一、填空題1.設集合 M = m| 3vmv2, m Z, N= R,貝UMAN=_.【答案】 - 2,- 1, 0, 1【解析】可以求出集合 M，然后進行交集的運算即可.【詳解】 M= - 2, - 1, 0, 1, N = R, MAN =-2,-1,0,1.故答案為： - 2,- 1, 0, 1.【點睛】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題.2復數 z 復平面上對應的點位于第 _象限.1i【答案】一【解析】首先進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數，分母變成一個實

2、數，分子進行復數的乘法運算，整理成復數的標準形式，寫出對應點的坐標，看出所i 1 i 1 i 11.|,1 i 1 i 2221 1復數對應的點的坐標是（ ，一）22復數丄在復平面內對應的點位于第一象限，1 i故答案為：一【點睛】本題考查復數的實部和虛部的符號，是一個概念題，考查了復數的四則運算，屬于簡單題.3 某次測驗，將 20 名學生平均分為兩組，測驗結果兩組學生成績的平均分和標準差分別為 90, 6; 80, 4 .則這 20 名學生成績的方差為 _ .在的象限.【詳解】復數丄1 i第2頁共 20 頁【答案】51【解析】 由方差定義可得 n 個數與其平均數，方差間關系 x2x；Lx2nS

3、+nX2,利用此關 系可結合條件把 20 個數據中的前 10 個數，后 10 個數分別找出其平方和，及平均數， 進而求出 20 名學生成績的方差.【詳解】設 X1 ,X2Xn的方差 S21 -2-_(X1x)2+( X2Xn)+( XnX )1222-X1X2LXn2xn(X1+X2+-2+ Xn)+nx122 2X1+x2LxnnnX2/x1x；LX：n S2+ nX2,222222則 XiX2LX1010 36+10 902= 81360,X12LX2010 X16+10 802=64160,x1x2Lx2010 90 10 8085.2020S2 x；x2LX2020 x21281360

4、+64160 - 20 852 = 51,2020故答案是：51.【點評】本題依托平均數，方差，標準差的定義關系，考查學生的數據處理能力和計算能力，屬 于中低檔題.4 執行如圖所示的程序框圖，輸出的S 值為_日尸1第3頁共 20 頁【答案】8【解析】根據程序框圖進行模擬運算即可.【詳解】第 1 次循環：k= 0, S= 1;第 2 次循環：S= 1X21= 2, k= 2;第 3 次循環：S= 2X22= 8, k= 3;此時不滿足循環條件 kv3,輸出 S= &故答案為：8.【點睛】本題主要考查了程序框圖的識別和判斷問題，根據條件模擬運算是解題的關鍵，考查了計算能力，屬于簡單題.5.

5、拋擲甲、乙兩枚質地均勻且四面上分別標有1 , 2, 3, 4 的正四面體，記底面上的數字分別為x,y，則x-為整數的概率是y1【答案】丄2【解析】總數為4 4x16,為整數有(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(4,2),(3,3),(4,4)y共 8 個，所以概率是_8_11626. (2014?中山市校級三模)函數 f (x) = ( x - 3) ex的單調遞增區間是 _.【答案】(2, +1【解析】試題分析：首先對 f (x) = (x - 3) ex求導，可得 f( x) = (x - 2)e，令 f(x) 0,解可得答案.解：f(x)=(x-3)ex+(x-

6、3) (ex)=(x-2)ex，令 f(x)0,解得 x2.故答案為：(2, +s).【考點】利用導數研究函數的單調性.1的離心率為-，那么此雙曲線的準線方程為m 537 .已知雙曲線【答案】y928第4頁共 20 頁【解析】第5頁共 20 頁41的離心率為一，求出 a, c,再求出雙曲線的準線方程.3【詳解】雙曲線的準線方程為y【點睛】本題考查雙曲線的準線方程，考查離心率，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.48 .已知正四棱錐P ABCD的體積為一，底面邊長為2，則側棱PA的長為_3【答案】,3【解析】 先設底面正方形ABCD的中心為0，根據題意得到OA,2，再由1Vp ABCDPOS

7、ABCD求出PO，結合勾股定理即可得出結果 3【詳解】設底面正方形ABCD的中心為0，又底面邊長為 2 可得0A2PA .PO2AO23【點睛】 本題主要考查棱錐的結構特征，熟記棱錐的結構特征及體積公式即可，屬于基礎題型利用雙曲線x2雙曲線m 31的離心率為( m-3) (m+5)v0,a- 5vmv3,m 53 m43，169故答案為：y9.28由Vp ABCD；P0SABCD3-1PO 22PO 1第6頁共 20 頁9.已知函數f(x) sin( x周期為_.-)(02),若f (丁)i,則函數y f(x)的最小正【答案】 4【解析】 【詳解】試題分析：2 2 f () sin()i，所以

8、2336-2k-,(kZ)，由此可得：36 23k1-(k Z)，又因為02,所以令k0得i-,所以函數y f (x)的22最小正周期2T4.【考點】 三角函數的性質.10 .已知等差數列an滿足：ai=- 8, a2=- 6.若將 ai,a4, a5都加上同一個數m,所得的三個數依次成等比數列，則m 的值為_【答案】-1【解析】由題意可得公差 d= a2- ai= 2,從而 an= ai+ ( n- 1) d= 2n - 10,設所加的這個數為 x,2根據 心4x)(ai+x) (a5+x)，解出 x 的值.【詳解】已知等差數列 an中，ai=- 8, a2=- 6, 公差d=a2ai= 2

9、,-an= ai+ (n - i) d= 2n- I0.將 ai, a4, a5都加上同一個數，所得的三個數依次成等比數列，設所加的這個數為x,則有(a4x)(ai+x) (a5+x)，即卩(2+x)2=( - 8+x) (0+x)，解得 x=- i. 故答案為：-i.【點睛】本題主要考查等比數列的定義和性質，求等差數列的通項公式，求得 解題的關鍵，屬于中檔題.II設函數 f=+ $和aW =的圖象在爐軸左、右兩側靠近 軸的交點分別為 M、川，已知。為原點，則.a【答案】飛an= 2n - I0,是第7頁共 20 頁y = 3sin TTX+ 3) ) Siil( JX - y)-* V -

10、y) 【解析】試題分析：由y=sinx)得3丿 耳3，即sin(?rx + ) = 0，所以nx + = kutkE Z，即工=一；+ 比* E Z, 則M(-空噸-芻，所 以|_ _一15.3農8訂R T7N=_石飛+豊.(孕=飛；【考點】1 三角函數的恒等變換；2平面向量的數量積；12 .設 f (x)= asin2x+bcos2x (a, b R),若 f (x)的最大值為 J5，貝Ua+b 的取值范圍為_ .【答案】,10,. 10 【解析】由條件利用輔助角公式、正弦函數的最值求得a2+b2= 5,再利用基本不等式求得(a+b)2 10 從而求得 a+b 的取值范圍.【詳解】 f(x)

11、=as in 2x+bcos2x腸 sin(2x+0) (a,bR),若 f (x)的最大值為.a2b25，二 a2+b2= 5,( a+b)2=a2+b2+2abW2(a2+b2) =10,-.10a+b，故 a+b 的取值范圍為,10 ,10,故答案為：訂 0,10.【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值，基本不等式的應用，屬于中檔題.13 .在ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別是 a, b, c,已知 b= 2，且 cos2B+cosB+cos(A - C )= 1,貝Ua+2c 的最小值為 _ .【答案】4、2【解析】利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數，結合正弦定理

12、以及基本不等式求解即可.【詳解】解：由 cos2B+cosB+cos (A C) = 1? 1 2sin B+cosB+cosAcosC+sinAsinC= 1第8頁共 20 頁2? 1 - 2sin B - cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC= 1 ? sinAsinC = sin2B,由正弦定理得到 ac= b2,而a 2c2 .2ac 2b , 2，當且僅當a 2 . 2, c , 2等號成立由b=2,可得(a 2c)min4.2.故答案為：4 2-【點評】本題考查兩角和與差的三角函數，正弦定理基本不等式的應用，考查分析問題解決問題 的能力.14 .已

13、知正實數 x，y 滿足 x+ + 3y + = 10，則 xy 的取值范圍為即 253x 什詈 + 143(xy)2- 11xy+8W012,由此能求了軌跡 E 的方程.y kx m(2)法一：設直線 AB 的方程為 y= kx+m，由x22，得(1+2k2) x2+4kmx+2m2乙y 1-2= 0由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出 AOB 面積 S 的最大值.y kx m(2)法二：設直線 AB 的方程為 y= kx+m，由x22，得(1+2k2) x2+4kmx+2m2Ty 1-2= 0由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式，結合已知

14、條件能求出1 2k10|30 k 115-1 k2,k2解得t 20k或t60k(舍),OA 20,又當AB/ON時，OA10、2,所以10.2 OA20；綜上知，當10 2OA20時，即設計出入口A 離市中心 O 的距離在10 2km到 20kmL 及其延伸段不經過保護區(不包括臨界狀態)D( 1，0)，點 P 在直線 DM 上,0，動點 N 的軌跡為曲線 E.(2)若AB 是曲線 E 的長為 2 的動弦，O 為坐標原點,求AOB 面積 S 的最大值.【答(1)7y2 1.(2)子【解之間時，才能使高架道路第13頁共 20 頁 AOB 面積 S 的最大值.【詳解】2第14頁共 20 頁uuu

15、u uuuruuu uuuu(J解：因為DM 2DP,NP DM 0,所以 NP 為 DM 的垂直平分線，所以 |ND|=|NM|,又因為CN NM 2J2,所以CN ND 2j22所以動點 N 的軌跡是以點 C (- 1, 0), D (1 , 0 )為焦點的長軸為242的橢圓.2所以軌跡 E 的方程為y21.2(2)解法一：因為線段 AB 的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、0、B 能構成三角形,則弦 AB 不能與 x 軸垂直，故可設直線 AB 的方程為 y= kx+m,y kx m，消去 y,并整理，得(11+2k2) x2+4 kmx+2 m2- 2 = 0.4km2 12，設 A (X

16、1, y1), B ( X2, y2),又厶=16k2m2- 4 (1+2k2)(2m2- 2) 0 ,x1x2 m211 2k22第15頁共 20 頁24km1 2k228 m 11 2k212因為1+k2i所以mv1.21因為S -AB hh,21 1所以 S2= h2= 2m2(1 - m2)2(m2_)2_L22則弦 AB 不能與 x 垂直，故可設直線 AB 的方程為 y = kx+m,y kx m，消去 y,并整理，得(11+2k2) x2+4 kmx+2 m2- 2 = 0.因為|AB|= 2,所以.1 k22 22，即1 k X2x) 4xx2設A(x1, y1), B (X2,

17、y2),又厶=16k2m2- 4 (1+2k2)(2m2- 2) 0 ,所以1 k2124，即2 1 m21 k又點 O 到直線 AB 的距離h所以0vS2-，即 S 的最大值為2(2)解法二：AB 的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、0、B 能構成三角形,第16頁共 20 頁C2,所以x x4km 2 m 1所以X1/，為冷牙1 2k1 2k2因為 |AB= 2,所以.1 k2X2【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查了三角形面積的最大值的求法，解題時要注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用，要求較高的計算能力，本 題屬于難題.19.設首項為 a1的正項數列 an 的前

18、 n 項和為 Sn, q 為非零常數， 已知對任意正整數 n , m , Sn+m=Sm+ qmSn總成立.(1) 求證：數列an是等比數列；(2)若不等的正整數 m, k, h 成等差數列，試比較 amm応hh與 ak2k的大??；1 1 2(3)若不等的正整數 m, k, h 成等比數列，試比較amah 與ak 的大小.amahak【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】(1)令 n =m=1,得a2= qa1,令 m= 1,得 Sn+1= S1+qSn(1),從而 Sn+2= S1+qSn+1兩式相減即可得出 an+2= qan+1，進而可判斷出數列an是等比數列(2)根據 m

19、, k, h 成等差數列，可知 m+h= 2k,進而可判定m2h21m h? 2k2,2進而根據等比數列的通項公式分q 大于、等于和小于 1 三種情況判斷.因為k22x1x24x1x2所以k24km21 2k28 m21 2k2所以m22k212 1 k2，又點O 到直線 AB 的距離m-2，所以SAB hh所以S2= h22m1 k22k212 1 k2 2所以11 k2，則S2-t2t Ovt 1,2OvS21，即 S 的最大值為2第17頁共 20 頁(3)正整數 m, k, h 成等比數列，則 m?i = k2,判斷出 丄m-，進而根k據等差根據等比數列的通項公式分ai和 q 大于、等于

20、和小于1 三種情況判斷.【詳解】(1)證：因為對任意正整數n,m,Si+m= Sm+qmSn總成立,令 n= m= 1,得 S2= S1+qS1，則a2= qai令m=1,得 Si+1= Sl+qSn( 1 ),從而 Sn+2= S1+qSn+1(2),(2) ()得an+2=qan+1, (n1綜上得an+1= qan(n1),所以數列an是等比數列(2)正整數 m, k, h 成等差數列,則 m+h = 2k,所以m2212h2(m h)2k2當當當(3)所以當當當ma1q = 1 時,q 1 時,m2m h h2q cqh 2k m2h2m h4 qamm?ahh= a12k= ak2k

21、mamhah2kam2h2qm h 2 k 2k2a1q2k(討1)2k2kak0vqv1 時,正整數1 1aS；aha1= q,a1 q,a1vq,【點睛】mam2k m2a1qh22k22k(討m, k, h 成等比數列,1(a1qm 1)m(a1qh1m?i = k2,則一m1-2h1mh2akk1)2k1時,1am11a$1時,q彳v1時,1a1m1 2hq1h2ak1am丄am?1a$1a$1q2(Pq1 -q2L)1 1q2(色戶hq本題主要考查了等比關系的確定和等比數列的性質,查了分類討論思想和計算能力，屬于難題.22/引卩 q2akk2akk考查了等比數列與不等式綜合，考第18

22、頁共 20 頁已知函數二加 二:( e 是自然對數的底數).(1) 若曲線y f(x)在X 1處的切線也是拋物線y24(X 1)的切線，求a的值；(2) 若對于任意x R, f (x) 0恒成立，試確定實數a的取值范圍；(3) 當a 1時，是否存在Xo(0,)，使曲線 C:y g(x) f(x)在點x Xo處的切線斜率與 f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的X。的個數；若不存在，請說明理由【答案】(1)a 1 e或a1 e；(2)a (e,0(3)相等，一個【解析】(1)求出,.,L-j-：在x 1的切線，與2y4(x 1)聯立, 根據切線與拋物線只有一個交點，則0；(2)分a 0

23、，a0，a0根據導數討論；(3)轉化為函數的零點通過導數求解【詳解】(1)f (x) exa,fe a，所以在x 1處的切線為y(e a) (e a)(x1)即：y (e a)x與y24(x 1)聯立，消去y得(e a)2x24x40，由0知，a 1 e或a1 e(2)f (x) exa當a 0時，f (x)0, f (x)在R上單調遞增，且當X時，ex0, axf (x)，故f (X)0不恒成立，所以a0不合題意；2當a 0時，f(x) ex0對x R恒成立，所以a 0符合題意;3當 a 0 時令f (x) exa 0，得x ln( a)，當x ( , ,ln( a)時，f (x) 0，當x

24、 (ln( a),)時，f (x)0，故 f(x)在(，ln( a)上是單調遞減，在(ln( a),)上是單調遞增所以f(x)minf (ln( a) a aln( a) 0,第19頁共 20 頁x1(X)o,故方程e (lnx 1)0有唯一解為 1,x所以存在符合條件的xo，且僅有一個x 1 .【點睛】本題考查導數的綜合應用復雜方程的根問題：1、轉化為函數的交點求解；2、轉化為函數的零點求解21 設矩陣 A1 2，求矩陣 A 的逆矩陣的特征值及對應的特征向量.2 1=0,求得矩陣的特征值，代入求得特征向量.a e,又 a 0 ,a ( e,0),綜上：a(e,0當a1時，由(2) 知f (x

25、)minf(ln( a)a aln( a) 1,設h(x)g(x) f (x)exIn xxe x,則h (x)xxe In x e1x彳e 1xexIn x11 1,x假設存在實數xo(0,),使曲線 C:yg(x) f (x)在點xX0處的切線斜率與在R上的最小值相等，x0即為方程的解，令h(x)1得：ex(lnX11)x0,因為ex0,所以Inx 1 1x0.x 12，x令(x)1In x1x,則(x)1 1 _ 2 xx當0 x1是(x)0，當x1時(x)0,所以(x)1 In x 1在(0,1)上單調遞減, 在(1,)上單調遞增，f(x)【答案】入1= 1,對應的一個特征向量為11，

26、匕丄，對應的一個特征向量為1131【解析】由矩陣 A,求得丨 A 丨及 A, A1A,求得 A1，由特征多項式 f (入)第20頁共 20 頁【詳解】第21頁共 20 頁121 2丨 A 丨1 -4=_ 3,A2 12 112133A 的逆矩陣為A1-A1 A211421則特征多項式為 f（ =（入一）2於入，3933令 f （入）=01解得：入1=-1,肚1 3，12x33xx設特征向量為，則C3y21yy331可知特征值 入一=-一對應的一個特征向量為【點睛】本題考查求矩陣特征值及特征向量，考查逆矩陣的求法，考查計算能力，屬于中檔題.【答案】=2sin【解析】將曲線和直線的極坐標方程轉化成

27、直角坐標方程，從而求得對稱曲線的直角坐標方程，再轉化成極坐標方程.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x 軸建立直角坐標系，則曲線=2cos的直角坐標方程為（x 1）2y21，且圓心 C 為（1,0）.直線二一的直角坐標方程為yx,4因為圓心 C（1,0）關于y x的對稱點為（0,1）,所以圓心 C 關于y x的對稱曲線為x2（y 1）21.同理可得特征值心一，對應的一個特征向量為322 .在極坐標系中，求曲線=2cos關于直線（R）對第22頁共 20 頁所以曲線=2cos關于直線=一（R）對稱的曲線的極坐標方程為=2sin.4【點睛】 本題考查極坐標方程與普通方程的互化問題，考查函數與方程思想、

28、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力23.若關于 x 的不等式 x2-ax+bv0 的解集為(1,2)，求函數 f(x) = (a- 1)、X3(b - 1)4 x的最大值.【答案】.5 .【解析】由題意可得 1, 2 是方程 x2- ax+b= 0 的兩根，運用韋達定理可得a = 3, b= 2,即有 ffx)= 2、,門，運用柯西不等式即可得到所求最大值.【詳解】關于 x 的不等式 x2- ax+bv0 的解集為f1, 2),可得 1, 2 是方程 x2- ax+b = 0 的兩根，即有 1+2= a, 1X2= b,解得 a = 3, b = 2,則函數 f(x)= ( a- 1)、x3(b- 1).、4_x2._3 4_x,由 x-30,4-x0 可得 3$W4,由柯西不等式可得，(2 .x 3 . 4 x)22的值，再根據 P (X2 P (Y